PLANES

PRéLUIINAl&ES.

N" 990. — Nous avons admis (n^ 8) comme évident que y — Par trois points , non en ligne droite, on peut toujours /aire passer w plan, et qu'on ne peut en faire passer qu'un : — Or, cette [iroposition peut être établie rigoureusement.

Soient A, B, G (Jig. 244), ^^^^^ points situés arbitrairement Fie. a44* dans Tespace ; et concevons qu^un plan [matérialisé par la peniée]soit disposé de telle sorte qu*i] passe par les deux points A, B; Il droite AB y sera contenue tout entière, d*après la définition do plan (n® 7). — Cela posé , faisons tourner le plan autour de AB comme autour d'une charnière jusqu'à ce qu'il vienne passer par le troisième point C. Il est clair que le plan est alors fixé de position dans l'espace, en ce sens qu'il ne peut plus continuer son mouvement autour de AB , sans que le point C cesse de s'y trouver. — Le plan est ainsi assujetti à passer par les trois points A, B, C.

Je dis maintenant que tout autre plan passant par les mêmes points coïncide avec le premier dans toute son étendue. — En effet , les points A, B , C , appartenant tous trois aux deux plans , il s'ensuit (n"8) que les droites de jonction AB, AC, BC, de ces ^ points pris deux à deux , se trouvent à la fois contenues tout entres dans les deux plans. Il en est par conséquent de même de la

3i4 Liv. III. — en*». 1.

droite CD qui joint le point C à un point qudcoDque D du pnloDgement de AB, et de tontes lec droites AE, AF,... mniradi point A aux difTéreiits points de BC, CD. Or toutes les droite menées ainsi autour du point A , et prolongées indéfininmt, btment, pour ainsi dire (□" 1), par leur ensemble, les deux Mubn que nous considérons. Donc, enfin, ces deux surfaces colnciilai dans toute leur étendue.

N" S91. — Delà résultent les conséquences suivantes, «peiiM avons déjà énoncées aux n*" B , 9, 10 et 3S :

1* — L'intersection commune de d^ux plans ett une ligne drau, — puisque S trois des points de cette intersection n'étaient pua lijjne droite, les deux plans coïncideraient; ce qui est contnim l'hypothèse.

2" — Deux plant indéfinis qui passent parun m/inepoiiu * une Infinité d'autres points communs, et tous ces points swt "' une même droite.

3" — Deux droites qui se coupent sont dans un méhie piat . K en déterminent la position , — puisque deux points de la prenum et un point de la seconde forment un système de trois points odd en ligne droite-

4° — De^tx parallèles sont toujours dans un même plmn , d'»f«>

leur définition (n" M) , et elles en fixent la position , — puisque des"

ts de l'une des parallèles et un point de U seconde fonDrU

rc un système de trois points non en ligne droite.

tus ajouterons, comme oonséqiieoces de cette dernière pw

— Par an point de l'espace, on ne peut mener deux l'aies A une même droite, — car, s'il en était autrement, k)

parallèles seraient dans un même plan avec la droite, réwlu' nie(n''S4, x" eontéq.).

— Toutes les parallèles qu'il est possible de mener pari" rents points d'une même droite , sont dans un même plan.

' S9S. — Un plan se représente ordinairement sur une léiiih «sin au moyen d'un parallélogramme, et de deux lettres pU' aux sommets opposés ; ainsi , l'on dit le plan MH ifig- A^i-

►V^ï^iï:;

PAKUMIRAIRES.

Ce plan , qu'il faut toujours concevoir prolongé indéfiniment , partage Fespace en deux portions indéfinies que Ton nomme régions (voj>len«iI).

Une droite est dite parallèle à un plan lorsqu'elle ne peut rencontrer le plan , quelque prolongés qu'on les suppose l'un et Tautre.

De même , deux plans sont dits parallèles en^ eux lorsqu'ils De peuvent se rencontrer, quelque prolongés qu'on les suppose.

N® 295. — Définition des angles dièdres , trièdres^.,, — De même que deux droites, en se coupant, partagent l'étendue de leur plan en quatre portions que nous avons nommées angles plans ^ ou simplement angles (n*^ iO) , de même deux plans qui se coupent, partagent l'espace en quatre portions indéfinies que l'on nomme Aholbs Diàdxes. — Les côtés de chaque angle plan sont ici rempLicés par deux moitiés de plan qui comprennent chaque ai^e dièdre, et que l'on nomme ^e& faces; et le sommet de l'angle est remplacé par l'intersection commune OP {fig» 245) des deux pic. 345. plans, que l'on nomme V arête de l'angle dièdre. — Un angle dièdre , quand il est isolé , se désigne par deux points pris sur son arête ; mais quand plusieurs angles dièdres ont la même arête, on emploie, pour désigner chacun d'eux , quatre points [ou quatre lettres] dont les Jeux intermédiaires sont pris sur l'arête , et les deux extrêmes dans chacune des faces. — Ainsi , les quatre angles dièdres de la figure 245 s'énonceront respectivement AOPE, COPG, BOPF, DOPK , tandis que chacun d'eux , pris isolément , serait désigné simplement par OP.

Maintenant, si, par un point quelconque S {fig. 246) de Tin- Fig. a4jS. tersection SA de deux plans, ou en fait passer un troisième qui coupe cette intersection, on décompose chacun des quatre angles dièdres formés par les deux premiers plans, en deux portions indéfinies d'espace, de même nature, par conséquent , que les angles dièdres, et que l'on nomme des Angles Triàdees; d'où l'on voit que trois plans qui se coupent en un même point décomposent toujours l'espace en huit angles trièdres, comme on le voit sur la figure 246 , figure dans laquelle