SABC, SA'B'C, SA'BC, SAB'C, SABC', SA'B'C, SA'BC, SAB'C

3l6 LIV. m. — CRAP. 1.

sont les huit angles trièdres auxqoeb donnent lieu les trois plans S AB , SAC , SBC , indéfiniment prolongés en tous sens.

N^ 994. — On nomme, en général, Anols PoLTinas [et quelquefois, mais improprement. Angle Solide], la portion indéfinie de l'espace , comprise entre plusieurs plans qui se coupent en on Fm. «47. même point S {fig- 347)* — Ce point se nomme le sommet; et l'on appelle/âc^ , chacun des angles plans qui comprennent Tangle polyèdre ; leur ensemble forme la surface , et les intersections de ces mêmes faces, prises deux à deux, SA, SB, SC,..., sont les arêtes, — Chacune des arêtes sert en même temps de côté à deui faces contiguës. — Il faut encore distinguer dans un angle polyèdn^ autant d'angles dièdres qu'il a de faces.

Un angle polyèdre se désigne par la lettre de son sommet, après laquelle on énonce ordinairement [à moins que cet angle ne soit isolé] des lettres qui servent à représenter respectivement un point de chaque arête.

On nomme plan diagonal, tout plan SAC , SAD , mené par deux arêtes qui n'appartiennent pas à la même face. — Au moyen d'un nombre convenable de pareils plans , tout angle polyèdre peut se décomposer en angles trièdres , de la même manière qu'un polygone est décomposable en triangles.

On distingue deux sortes d'angles polyèdres, i^ — les angks polyèdres convexes y dont tous les angles dièdres sont saillants; 2^ — les angles polyèdres concaves , qui ont un ou plusieurs angles dièdres rentrants.

Les caractères principaux des angles polyèdres convexes sont [voyez le n** 5i$)

1** — Qu'tf/itf droite ne peut /?ff/tr«r sa surface en plus de deux points ;

7,^ — Que ses plans diagonaux sont tous intérieurt ;

3® — Qu'une face quelconque étant prolongée indéfiniment dans tous les sens , chacune des autres faces est située tout entière d'un même côté [ou dans la même région (n** 898)] par rapport à la première.

W" 205. — Un PolY€dre\o\ï improprement, un Solide] est re*-

FmiuiiiHAimis. 3 1 7

pace entièrement circonscrit par plusieurs plans qui se coupent deux h Hfttx»

Les différents polygones qui limitent cet espace se nomment \ei faces àvL polyèdre > les côtés de ces faces sont les arêtes, et les points d^intersection de ces arêtes sont les sommets. — Enfin , on Domiue diagonale f toute droite menée entre deux sommets qui ne terminent pas une même arête; et plan diagonal ^ tout plan passant par trois sommets non situés sur la même face.

Les caractères des polyèdres convexes sont les mêmes que ceux des angles polyèdres (n"* 994).

>'• 996. — Ce chapitre aura quatre paragraphes, dont \e premier traitera des droites et des plans perpendiculaires , ainsi que des angles dièdres et de leur mesure ; le second , des droites et des plans . parallèles ; le troisième , des angles trièdres et polyèdres j ainsi que delà théorie des angles trièdres égaux; enfin, le quatrième , des différentes sortes de polyèdres et de leurs propriétés principales , abstraction £ûte de leur étendue. — (Fbir la page 33, pour la division du premier chapitre du premier livre.)

Mais avant d'entrer en matière, nous dirons quelques mots sur la manière de représenter sur une feuille de dessin un système de points, de lignes et de plans, dont les diverses parties ont entre (lies une relation quelconque de position.

Le premier moyen, celui qui donne, en général, Tidée la plus ïxacte de la figure , conàste à ombrer, afin de mieux faire ressortir es parties vues et les parties cachées. — {Voiriez fig. 245, 246, FM.ai5,a46,

Quelquefois on indique suffisamment le relief d'une figure, en représenUntdes déchirures ACB, A'B'C, ABCDE {fig. i^&j 247), Fig. 346,^47. >pérées dans les faces.

Lorsque plusieurs droites PA , PB {fig. 248) , sont menées par p». 148. in même point F d'nu plan MN, et que Ton veut faire comprendre p'elles sont situées dans ce plan , on a coutume de les indiquer ittr des traits pleins que Ton prolonge jusqu'à leur rencontre avec es côtés du parallélogramme qui figure le plan ; et les prolongenents sont ensuite désignés par des lignes ponctuées.

Lorsqu^ati contraire, une droite, telle que EF, ne doit avoir

3l8 LIV. m. — GH4P. I. — ^ I.

qu^un point P commun avec le plan; en d'autres termes, quand elle ne fait que percer le plan, on la figure par un mît plan ao delà même des côtés du parallélogramme , en ayant soin , toutefois, de ponctuer la partie PK qui , par rapport à l*œil, est cachée par le plan MN.

De même, si, par les droites P£, PB, qui se coupent en on point P, on veut conduire un nouveau plan, comme alors il ji une portion du plan MN qui est cachée par le plan £PB , on poDctv la portion GB de la droite MI , dont la vue est interceptée par k plan EFB.

Au surplus, ces moyens, qui sont de pure convention, «kviennent superflus pour quiconque s*est exercé k lire dans Vespacc, c*est-à-dire à juger, sur le dessin , de la position relative des diverses parties d'une même figure.

§ I. — Des droites et des plans perpendiculaires entre eiix. — jéngles dièdres.

Fi& 349. LsMMc. {Fig, a490

N** 297. — Par un point quelconque P d'une droite EF situff arbitrairement dans l'espace, on peut mener une infinité de droites perpendiculaires à la droite donnée.

En effet, conduisons un plan suivant PE, ce qui est toojoon possible (n® 291), et dans ce plan , menons la droite PA perpeih diculaire à PE ; puis , faisons tourner ce plan autour de PE supposé fixe. Dans ce mouvement , la droite PA prendra les positioas successives PA', PA", PA*,...; et l'on aura ainsi une infinité de droites perpendiculaires à PE , en un même point P de crOr droite.

ScoLix. — Nous avons vu (n** 97) que , dans un plan donné, Ton ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite par on point de cette droite ; mais , dans l'espace , on peut en mener utt infinité. [Nous verrons bient^ de quelle nature est le liesL de toute ces perpendiculaires.]

t>ES DROITKS F.T DES PLANS PKEPKffDIClTL AIRES. SlQ

THÉORiHE I. {Ftg. 25o.) FlG. oSo.

N° 298. — Si une droite OP est perpendiculaire à deux autres Iroites PA , PB y menées par un de ses points, F y elle est perpendiculaire à toute autre droite PL menée par le même point P dans le » }lan MN tie ces deux autres droites.

Prolongeons OP de l'autre côté du plan MN, et prenons PO'=PO; lois, après avoir coupé P A, PL, PB, par une transversale quel- »nqne CED, tirons les droites OC, 0£, CD, et O'C, 0'£, O'D. - Cela posé , on a OC = O'C, OD = O'D (n» 40) ; donc , les deux rangées OCD, O'CD, sont égaux (n^ 63, S*^*" cas) ; et dans la superwtttion de ces triangles , les droites 0£ , O'E , coïncideraient ; par x>pséquent , la droite P£ est perpendiculaire à 00' (n® 48).

N,B. — Le même raisonnement s'appliquerait à toute droite fiiïérente de PL , menée par le point P dans le plan BfN.

TiiioEÂME n. {Fig. ^9-) FiG. 349.

N® 299. — Le lieu de toutes les perpendiculaires PA, PA', PA" , . . , , % une droite £F, menées par un de ses points , P, est un plan.

II suffit de prouver que les trois droites PA, PA', PA", par exemple, sont dans un même plan. — Or, supposons qu'il n'en loit pas ainsi , et que le plan conduit suivant PA , PA", ne contienne pas PA' ; faisons passer par P£ , PA', un second plan dont l mtersection avec le plan APA" sera alors une droite PK difféfente de PA'. — Cela posé , en vertu du théorème précédent , PE , perpendiculaire à PA, PA", le sera aussi à PK; mais, par hypotbèse, PE est également perpendiculaire à PA'. On aurait donc deux droites perpendiculaires à PE, en un même point et dans un même plan contenant cette droite , ce qui est ahcurde (n** 27).

Ainsi, l'on ne peut supposer que PA , PA', PA", ne soient pas dans un même plan.

Même raisonnement par rapport aux autres droites quelconques PA^PA'^,..., Donc, etc.

ScoLiE. — Le plan qui contient toutes les droites PA, PA', PA", . . . , perpendiculaires à EF, est dit un plan perpendiculaire à cette

3aO LIV. III. — CHAP. I. — § I.

droite; réciproquement , la droite £F étant perpendiculaire î toutes les droites qui passent par son pied P dans le plan qui la contient y est dite une droite perpendiculaire au plan.

CorollaiaeI. — Par un point donnée sur une droiteY,Y[fç. 2^1, ^^ on peut toujours mener un plan perpendiculaire à cette droite;et l'on n'en peut mener qu'un.

La première partie de cette proposition résulte immédiateaMot de ce qui précède.

Quant à la seconde partie , admettons ^ poar le moment, qv'a puisse mener par le point P deux plans perpendiculaires à £F;si nous conduisons suivant cette droite un plan quelconque [anlre que celui qui passe par Fintersection des deux premiers], ce plu coupera les deux autres suivant deux droites auxquelles PE sa perpendiculaire. — On aurait donc deux perpendiculaires à ok même droite, par un même point et dans un même plan contenaM cette droite, ce qui est absurde y — donc, etc.

FiG a5 CoEOLiAiBE II. — De même , — Par un point C (J!g. aSo) dosx hors d'une droite 00', on peut toujours mener un plan perpendialaireàla droite, et Von n'en peut mener qu'un.

Premièrement, après avoir conduit un plan par le point G et par la droite 00' (n° 890} , menons dans ce plan , la droite GP perpendiculaire à 00'; puis, du point P, dans un autre plan quelcooqot passant par 00^, traçons une seconde droite PD perpendicobs* à 00' : celle-ci sera perpendiculaire au plan GPD (n°* 298 et 899, scoL) ; et réciproquement , le plan GPD sera perpendiculaire à 0(/ (^co//> précédent) ; donc, etc.

En second lieu, soit, s*ii est possible, un second plan perpendiculaire à 00' et passant par le point G : le plan OPG couperait les deux plans perpendiculaires à 00', suivant deux droites qui contiendraient le point G, et seraient à la fois perpendicubires à 00'; ce qui est absurde; — donc, etc.

iV. B, — Un plan se trouve déterminé par la double conditioa ^ passer par un point, et à' ètte perpendiculaire à une droite; ce q« prouve que la condition de perpendicularité équivaut à deas^ puisqu'il faut généralement trois conditions pour fixer la positioo d^un plan dans Tespace (voyez le n<* 991).