DES DROITES ET DES PLANS PERPENDICULAIRES

THioBiMB m. (Fig, 25 1.) f'»c. a5i.

N" 500. — Lorsqu'une droite AP est perpendiculaire à un plan MN, si Von mène à volonté y dans ce plan , une autre droite BC, et que du pied P de la première ^ on abaisse une perpendiculaire PD sur la seconde f celle-ci est perpendiculaire au plan des deux autres droites, AP,PD.

PrenoDSy à partir du point D sur BC, deux dislances égales DE, DF; tirons PE, PF, et joignons un point quelconque A de la droite AP aux mêmes points E , F. — Cela posé , les deux triangles APE, APF, sont égaux, car les deux angles en P sont droits (n«298); de plus, AP est commun, et PE = PF (n<» 40) ; et de Tegalité de ces deux triangles , il résulte que A£ = AF ; donc (n** 42) la droite A P est perpendiculaire sur £F. La droite BC étant alors perpendiculaire aux deux droites DA, DP, qui passent par soD pied dans le plan APD , est perpendiculaire à ce plan (n** S98) ;

ScouE I. — Si , par le point D , dans le plan APD , on mène la droite DL parallèle à PA , la droite BC , perpendiculaire au plan APD, est nécessairement perpendiculaire à DL (n? 298); réciproquement , la droite DL est perpendiculaire à BC ; or elle est en même temps perpendiculaire à la droite DP {o? 54, 2^); donc enfin DL est perpendiculaire au plan MN (n^ S98).

Scous II. — \a figure a5i offre l'exemple de deux droites AP, Fie. a5i. BC, perpendiculaires à une même droite PD , et qui , cependant , ne sauraient se rencontrer, puisque AP ne fait que traverser le plan MN, tandis que l'autre y est située tout entière. — (Voyez à ce sujet la définition des parallèles ^ n° 32.)

THioaÀMEiy. [Fig. 262, 253.) Fic.a5a,a53

N" 301. — Par un point donné sur un plan ou hors d'un plan MN , — 1*^ — on peut toujours mener une perpendiculaire au plan ; — 2*> — on n'en peut mener qu'une.

Démontrons d'abord les deux propositions, pour le cas où le point donné est dans le plan MN.