DES O&CHTES VT I>KS PLANS PERPENDICULAIRES

laire lorsque leurs pieds sont à même distance de oeltii de la perpendiculaire. — €ela posé, '

TaioaÀME V. (Fig, 2540 F>g- ^^4*

N** 305. — Si d'un point O pris hors d*un plan MN on mène la perpendiculaire OP et différentes obliques OA, OA^..., OB, à ce plan ,

I® — La perpendiculaire est plus CQurte que toute oblique;

2*> — Deux obliques OA, OA', qui s'écartent également de la perpendiculaire f sont égales;

3^ — De deux obliques, OB, OA, qui s'écartent inégalement de la perpendiculaire, celle, OB, qui s'en écarte le plus, est la plus longue.

En effet, — i° — Soit OA une oblique quelconque : le triangle recungle OPA donne OP < OA (n*» 59) ;

2*> — SoitPA'=: PA; les triangles rectangles OPA, OPA', sont égaux (n** 65 , 2"« cas)^ et donnent OA' = OA;

30 — Puisque Ton a PB [>> PA , prenons sur PB une distance PA' égale à PA, et tirons OA' : il en résulte OB > OA' (n° 40); mais on a OA' = OA: donc aussi OB > OA; C. Q. F, D,

Les réciproques sont vraies et sont des conséquences du principe établi au n"* 2t.

CoaOLLAiEK I. — La perpendiculaire abaissée d'un point sur un plan mesure la vraie distance du point au plan,

Co&OLLAïaE n. — Un point quelconque O de la perpendiculaire OP à un plan est également distant de tous les points de la circonférence décrite du pied de la perpendiculaire comme centre, apec un rayon quelconque,

ScoLiE I. — Cette perpendiculaire se i^rome Va^e du cercle* — Tous les points de Taxe peuvent être considérés conime autant de centres du cercle ^ et les obliques, confine des rayons correspondants , lesquels peuvent être également employés à le décrire.

SooLix n. — Au moyen d*un fil tendu , dont Tune des extrémités serait fixée au point 0, et dont Tautré [armée dHin crayon]

3^4 ^^^'' ï"' — CHAP. 1. — § I.

touclierait le plan , marquez trois points quelconques A , A', Â'; puis déterminez (n^ 181) le centre du cercle passant par cestros points.

Vous obtiendrez ainsi \e piedàt la perpendiculaire abaissée du point O sur le plan : c'est le moyen pratique de fixer cette posidoo.

N® 504. ScoLiE III. — Les propriétés comprises dans TénoDor du théorème précédent sont analogues à celles des n*" 59 et 40 — La proposition suivante répond aux propriétés qui ont fiit l'objet du n*» 41 .

Lorsqu'un plan est mené perpendiculairement par le milin d'une droite ,

i" — Tout point du plan est également distant des deux extrémités de la droite;

Et !i® — Tout point situé hors du plan est inégalement distant de ces extrémités.

En d'autres termes, — Le lieu de tous les points égaiement datants des extrémités d'une droite est le plan perpendiculaiir u cette droite, mené par son milieu.

Pour se rendre compte de cette proposition , il suffît de cooct voir par la droite un plan quelconque , lequel coupe le plan doDoe suivant une droite perpendiculaire à la droite donnée , et passiot par son milieu. — Dès lors, la proposition rentre tout à fait dans celle du n*" 41.

Des angles dièdres et de leur mesure.

N® SOIS. t>KFiiriTioNs. — Lorsque^deux plans indéfinis se coujiat FiG. 045. (n« Î95, fig- 245) , ils déterminent quatre espaces que nous aîons nommés des angles dièdres, — Cela posé ^

Deux angles dièdres sont dits égaux entre eux quand on peut lés disposer de manière que les plans du premier coïncident aver ceux du second.

Fw. a55. Ainsi, soient les deux angles MABP, M'A'B'F (Jig, aSS}; et concevons que le plan M^A'B' ait été transporté sur le plan MAB de manière que l'arête A'B' coïncide avec AB; si, par cela même, il arrive que le plan P'A'B' qui a dû suivre le même mouvement

MESURE nE L\!<f(;LE DIEDBE. 325

se confonde avec le plan PAfi, alors les quatre pfans coïncidant chacun à chacun , les deux angles dièdres se confondent pour n*en plus former qn*un seul; et il en est de même de leurs adjacents et de leurs opposés.

Maintenant, un pian est dit perpendiculaire à un autre plan quand le premier forme avec lé second deux angles adjacents égaux; et ces angles sont nommés des angles dièdres droits.

Nous pourrions, dès à présent, établir sur les angles dièdres adjacents ou opposés, ainsi que sur les plans perpendiculaires, des propositions analogues à celles qui ont été établies dans les préliminaires du premier Livre (n®' flO, 50, Si); mais elles résulteront plus simplement de ce qui va suivre.

Lemme I. {Fig. 255.) Fie a55.

N® 506. — Si , sur les arêtes AB, A'B', de deux angles dièdres égaux, on prend à volonté deux points C^ G', et que par ces points on mène dans les quatre plans , des droites , CD et G£ , CD' et CE', respccti^ment perpendiculaires aux arêtes , les angles rectilignes DGE, D'C'E', ainsi formés, et correspondant aux angles dièdres supposés égaux, sont aussi égaux.

En effet , portons comme ci-dessus les deux angles dièdres l'un, sur Tautre, de manière, toutefois, que le point G' tombe en G et que les arêtes coïncident. Gomme , par construction , les droites G'iy, G'E", sont perpendiculaires à A'B', et GD, G£, perpendi> culaires à AB., il s^ensuit qu'après la superposition des plans , le^ droites Ciy» G'E'» coïncideront respectivement avec les droites GD, GE (n'' 299) ; donc les deux angles GDE, G'D'E', sont égaux.

iV. B. — Nous devons remarquer ici [et cette remarque est fort importante] que, comme on a pu faire coïncider Tangle D'G'E' avec l'aaigle.DGE , quelle que soit la position du point G sur Taréte AB, l'angle DGB a constamment la même valeur, en quelque point de l'arête que l'on élève des perpendicuieUres dans les deux plans qt^i lui correspondent,

IlicipmoQUEJiKifT, — Si les angles rectilignes DCE , D'C¥/, sont f'^aux, les angles flièdres auxquels ils correspondent sont égaux.

lii:

3x6 uv. m. — cMAt. I. — $ I.

Car, si l'on porte l'angle IVCE' snr son é^ DCE, «mum \a arêtes A'B', AB , Mnt respectivement perpendicoUires anx dnttM CD' et CE', CD et CE, et par conséqnenl aussi à leur plu (d^SOS), et que, d'ailleurs, le poiut C est pbcé sur le pmnlC. la droite A'B' doit coïncider avec AB ; donc les plans nteara pr A'B' et CD', A'B'etCE', doivent se conrondreavecles plans or nésparABet CD, AB etCE; (iaar, etc.

N. B. — Ponr abréger le discoars, nous conviendronade nosmer angk plan correspondant i un ai^le dièdre, l'angle nnligne que forment les perpendiculaires derées à l'arête de cet ugir dièdre, dans les deux plans qui le déimninent.

S. Lehmb II. (Fig. a55.)

pi" 807. — Deux anght dièdres quelconques tant entre euxcoi*a,. tes onglet plant correspondants — [celte dernière expresàon «tu: prise dans le sens que nous venons de lui donner].

^ons supposerons, poiirplus desimpUcilé, lesdenx anglesdiêdre placés l'un dans l'antre , de manière que l'angle HAfiP smt le plo* : grand , et NABP le plus petit. — Cela posé , je dis que Fou a

MABP : ISABP :: dce : fce.

Il peut se présenter detix cas , suivant que les angles rectil^De OCE, FCE, sont commensurables ou incommensurables entrée»

Pauiiu c*s. — Soit DCE : FCE :: 12 : 7, par exemple. Coccevons l'unité angulaû^ portée la fois sur l'angle DCE, et par ivtoséqueot, 7 fois sur l'angle FCE; puis, parles droites dediriin et par l'arête AB, conduisons une série de plans. — I.'aa^ ^re MABP se trouvera ainsi partagé en 1 2 angles partiels égiiu ' Soe) , dont 1 seront nécessairement contenus dans l'angle dièe NABP. On aura donc

HABP : HAfiP :: la : 7 :: dce : fce.

Quant au cas où les angles rectiUgnes DCE, FCE, sont incon- ;nsurables , nous renvoyons au mode de démonstration empkivi' nslesii" 118,189,....

La réciproque est vraie et se démontrerait aussi Cacilemenl.

1>ES PLANS PKRPENOICULAIRRS KNTBE F.tX. 32^

THEO&iME VI.

y^ 308. — Tout angle dièdre a pour mesure l'angle plan cor rcsondanî.

Ce théorème est une conséquence évidente du lenune qui vient l*étre établi, parce qu'on doit entendre par là (n*" 119) que le npport de Tangle dièdre proposé , à l'angle dièdre droit (n» 305), tt égal au rapport de l'angle. plan correspondant au premier, à 'angle plan correspondant au second (*).

Ceci suppose , à la vcrilé , que — Tous les angles dièdres droits ont égaux; — mais cette proposition résulte nécessairement de ce [ue tous les angles droits formes par des lignes droites sont égaux n<»52e).

Co&OLLAXRB. — Puisque , sous le point de vue des valeurs numériques , les angles dièdres peuvent être remplacés par les angles plans correspondants, il s'ensuit que ,

1° — Tous les angles dièdres droits sont égaux , ainsi que nous renoos de le dire;

2° — «Se un plan est perpendiculaire à un autre, réciproque- OBeot , celui-ci est perpendiculaire au premier; — et les deux plans K>nt ^ts perpendiculaires entre eux;

3** — Lorsqu'un plan forme avec un autre deux angles dièdres adjacents inégaux, la somme de ces deux angles vaut deux angles dièdres droits;

4^ — Deux angles dièdres opposés par l'arête sont égaux, etc.,.

Des plans perpendiculaires entre eux.

THioaàMB Vn. (Flg. 256.) ^'c- **

N*^ 300. — Lorsqu'une droite AB est perpendiculaire à un plan MN, tout autre plan PQ , conduit suivant la droite donnée , est per^ P^ndieulaire au plan donné.

(*) Noos revieudruiu plus loin aur ce sujet, et nous ferons voir que lan^leplan correspondant [tel que noiis Pavons défini] est le seul, parmi li^ angles rectilignes, qui puisse servir de mesure à ^an(;^" dièdre (t'orrr 'a noie du n» 351).

328 LIV. ni. — CHAP. I. '^— § I.

Menons par le point A , dans le plan MN , une perpendicnUûe AC à rintersection commune PR des deux plans ftIN et PQ. — Puisque les deux droites AB, AC, sont perpendiculaires à PR, l'angle BAC mesure (n*" 508) l'angle dièdre QPRN. Or, AB , étant supposé perpendiculaire au plan MN, Test aussi à AC; donc Tangle BAC est droit. — Ainsi les deux plans sont perpendiculaires entre eux.

ScoLiB. — Comme, par une droite quelconque on peut conduire une infinité de plans , il en résulte que

Suwant une droite perpendiculaire à un plan ^ on peut /aire passer une infinité de plans perpendiculaires au plan donné,

Fms. a56. THÉORiME Vin. {Fig. 256.)

N^ 5i0. — Par une droite PR située dans un plan M^ , on pem toujours mener un autre plan perpendiculaire au premier; — a l'on n'en peut mener qu'un.

D'abord, en un point quelconque A de PR , élevons la droite Afi perpen^icul^re au plan MN; puis, conduisons un plan suivant AB et PR: ce plan sera perpendiculaire à MN , en vertu du tbéorème précédent. Ainsi , la première partie de la proposition est démontrée.

En second lieu, soit, s*il est possible, un second plan PQ' passant par PR et perpendiculaire à MN : les deux angles dièdres QPRN, QTRN , étant droits l'un et l'autre , seraient égaux (n« 506, coroL)\ et la partie serait égale au tout, ce qui est absurde; — donc, etc., etc.

Fie. a56. Théo&èmk IX. {Fig. 256.)

N** 51 1. — Lorsque deux plans , MN, PQ, sont perpendiculains entre eux, toute droite AB, A'B',... perpendiculaire à l'un d'eus , MN, menée par un point de leur intersection commune PR, est sîtacf tout entière dans l'autre , PQ.

En effet , si AB, par exemple , n'était pas situé dans le plan PQ, comme le plan conduit suivant AB et PR serait perpendiculaire au plan MN en vertu du théorème précédent, et que déjà, le plan

DES PLANS PKEPENDICULAIRES EUTES EUX. 32^

PQ passant par PR est aussi perpendiculaire à MN, il s'ensuivrait que par une droite située dans un plan , on pourrait mener plus d'an plan perpendiculaire à celui-ci y ce qui est absurde.

CoBOiXAiAB. — Le lieu des perpendiculaires à un plan, menées par tous les points et une droite de ce plan , est un second plan perpendiculaire au premier et passant par la droite.

Scous. — Comme la droite Afi, perpendiculaire au plan MN, est, par cela même , perpendiculaire à l'intersection commune RS des deux plans , et qu'elle est complètement déterminée par la double condition d*étre située dans le plan PQ et d*étre perpendiculaire à RS 9 il en résulte ce nouveau théorème :

Lorsque deux plans sont perpendiculaires entre eux , toute iiroite menée dans l'un des deux perpendiculairement à leur intersection , est nécessairement perpendiculaire à l'autre.

Thcorâme X. (Fie. ^Sn.)

^ ** ' ' Fie. 257.

N'* 518. — L'intersection commune AB de deux plans PQ, RS, perpendiculaires à un troisième MN, est aussi perpendiculaire à ce troisième plan.

En effet , ai du point A où les droites PP', RR', intersections des deux premiers plans avec le troisième, se rencontrent, on élève ose perpendiculaire à celui-ci , cette droite devra se trouver à la fois dans chacun des deux autres plans PQ, RS, en vertu du théorème précédent ; elle se confond par conséquent avec leur intersection.

CoaoLLAiRE. — Par une droite AB{fig. 258) oblique ou pa^ eo

ralièle à un plan MN , on ne peut mener plus d'un plan perpendiculaire çu premier : — cela résulte immédiatement du théorème qui vient d'être démontré.

D'ailleurs, il en existe toujours un, que Ton obtient en abaissant d*nn point quelconque A de AB une perpendiculaire AA' sur le plan MN. — Le plan conduit suivant AB et AA' est perpendiculaire à lO (n? 309).

Ce plan est en même temps le lieu de toutes les perpendiculaires

33o Liv, m. — CHAP. I. — § u.

abaissées des différents points de ia droite AB sur le plan ICi (d** 31 i 9 coroL) ; d'où il suit que les pieds A', B% C, ... de ces perpendiculaires sont tous sur une même ligne droite, — Nous aorou souvent occasion de revenir sur cette proposition.

ScouE. — Lorsque trois droites passant par un même point, sont, deux à deux, perpendiculaires entre elles, chacune d'elles est perpendiculaire au plan des deux autres; et les trois plans sont perpendiculaires entre eux.

Réciproquement: — Si trois plans sont perpendiculaires entre eux, leurs irUertections sont aussi perpendiculaires entre elies.

En d'autres termes : — Si les trois angles dièdres d'un angle trièdre (n" S95) sont droits, les trois arêtes sont perpendiculaires entre elles deux à deux; — et vice versé pour la proposition directe.

§ IL — Des droites et des plans parallèles.

Fie. a53. THÉORàMB I. [Fig, 253.)

N® 515. — Deux droites AP, A'P% perpendiculaires à un snéme plan MN , sont parallèles entre elles.

Faisons passer un plan par la droite AP et par le point P^, pied de la seconde droite sur le plan MN : le plan APF, contenant AP, doit être perpendiculaire au plan MN (n® 509); donc il contieni aussi (n® 311 , coroL) la droite P'A', menée perpendiculairement au plan MN par on point P' de l'intersection commune des deiu plans. Les droites AP, A' P', étant alors dans un même pUo et perpendiculaires à la même droite PP', sont parallèles entre elles (n^" 58).

Réciproquement : — Si une droite AP est perpendiculaire à un plan MN, toute droite A!'^' parallèle à la première AP est perpendiculaire au même plan.

Cette réciproque, qui se démontre facilement par l'absurde et au moyen de la directe, rentre d'ailleurs , à peu de chose près, dans le scolie I du n<> 300.

On peut encore l'énoncer ainsi : — Les droites parallèles ont lemrx plans perpendiculaires communs.