CHAP. I. § II

Par la droite AB conduisons un plan quelconque dont les intersections avecMN, PQ, seront deux droites BD, AC , parallèles entre elles (n® 518). — Cela posé, AB étant perpendiculaire au plan MN , Test aussi à BD (n® 899) ; d'ailleurs AC est parallèle à BC ; donc AB est en même temps perpendiculaire à AC. • — Comme le plan passant par AB a été mené arbitrairement , il s'ensuit qoe AB est perpendiculaire à toute droite située dans le plan PQ et passant par le point A ; donc elle est perpendiculaire au plan PQ.

N, B, — On dit en conséquence que : — Deux plans parallèlts MN, PQ, ont leurs droites perpendiculaires communes.

Co&OLLAi&K. — Par un point donné hors d'un plan MN , on ne peut mener qu'un seul plan parallèle au premier ; — en effet, par le point A Ton ne peut mener qu'un seul plan perpendiculaire à U droite AB (n*» 899, coroL I).

FiG. a&». TsioRÀME VII. {Fig, 262.)

N* 580. — Deux plans parallèles MN, PQ, sont partout également distants.

De deux points quelconques A et C du plan PQ , abaissons AB, CD, perpendiculaires à MN; ces deux droites sont parallèks (n** 515) , et déterminent un plan dont les intersections BD, AC, avec MN et PQ , sont parallèles (n<> 518). La figure ABDC est dooc un rectangle dans lequel on a AB = CD; C. Q. F. J).

ScoLiK I* — La perpendiculaire , AB, commune aux deux plans, mesure leur vraie distance; car toute autre droite , non parallèle à AB, serait oblique à chacun des plans MN, PQ, et serait, par conséquent , plus longue que AB (n'^ 505).

ScOlie n. — Les parties de parallèles comprises entre des plan f parallèles sont égales.

Il suffit de supposer que AB, CD, au lieu d'être perpendiculaires au plan MN, sont deux droites parallèles quelconques menées entre les deux plans.

DIS nKOITlS ET DES PLANS PARALLÈLES. 335

THioaàME Vm. {Fig. 264.) Fie. 264.

N'' 581. — Les portions de deux droites quelconques , AB, CD, comprises entre trois plans parallèles , MN, PQ, RS, sont en proportion.

Soient A, B, E, les points où la première droite perce les plans MN, PQ , et le plan intermédiaire RS , puis , C , D, F, les points où la seronde droite perce les mêmes plans. Joignons le point A au point D, et soit O le point d'intersection de la droite AD avec le plan RS. — Enfin , tirons les droites BD, £0, AC , OF.

Cela posé 9 les droites AB, AD, qui ont le point A commun , sont dans un même plan (n** 890) dont les intersections BD, EO , avec les plans MN, RS, sont parallèles (n» 518). On a donc (n® 185) la proportion

AE : £B :: ao : OD.

Par la même raison , les droites AC , OF, sont parallèles , et donnent

AO : OD :: CF : fd;

d'où , à cause du rapport commun , on tire

AE : EB :: CF : fd;

N, B. — Il pourrait arriver que les deux droites AB, CD, fussent dans un même plan ; auquel cas les trois points seraient [n^ 518) sur une même droite parallèle à BD et AC ; et la proposition rentrerait dans celle du n^ i85, ou dans le scolie U du n* 580.

TnioaiME IX. {Fig- 265.) p,g^ 265

M® 5ftS. — Lorsque deux angles BAC, WA!C [non situés dans le même plan] 9 ont les côtés parallèles chacun à chacun , ils sont égaux ou supplémentaires; — et de plus, — les plans de ces deux angles sont parallèles.

Il peut se présenter plusieurs cas , les mêmes que si les angle» étaient dans le même plan (n° 52).

336 Liv. m. — CHAP. I. — § II.

En supposant d'abord les côtés AB et A' B', AG et A'C, diriges chacun à chacun dans le même sens, prenons sur AB, A'B',