AE = A'E

puis tirons AA', DD', EE'. — Les deux quadrilatères AA'D'D, AA'E'E, sont des parallélogrammes (n° 74); donc les droites DD', EE^ sont égales et parallèles entre elles comme étaint respectivement égales et parallèles à AA' (n° 315, coroL I). Maintenant, menons DE, D'E': le quadrilatère DEE'D' sera aussi un parallélogramme ; donc les droites DE , D' E% sont égades et parallèles. Donc les deux triangles ADE , A'D'E', sont égaux (n*> 63, troisième cas); donc les angles DAE, D'A'E', on BAC, B'A'C, sont aussi égaux.

Pour les autres cas , la démonstration s^achève comme dans le n° K2.

Il reste à prouver que les plans des deux angles sont parallèles.

— Or supposons, pour le moment, qu'il n'en soit pas ainsi; et concevons par le point A un plan parallèle au plan B'A'C : ce plan couperait nécessairement l'une des deux droites DD' ou EE'r en un point différent du point D ou du point E. Soit donc G, par exemple, le point d'intersection du plan B'A'C avec la droite DD'.

— On aurait alors GD' = A A' (n° 320, scoi. I); mais on a aussi DD' = AA', d'après ce qui a été dit plus haut; donc, il en résulterait Giy = DD', ou la partie égale au tout, ce qui est absurde: donc, etc.

ScoLiE. — Si trois droites A A', DD', EE' [dans l'espace], sont égales et parallèles , les droites qui Joignent leurs cxtrémiiés cor-respondantes forment des triangles égaux et parallèles [c'est-àdire dont les côtés sont chacun «\ chacun, égaux et parallèles].

Plus généralement, — Si des sommets d* un polygone on ment [dans l'espace] des droites égales et parallèles [et dirigées dans le même sens] , leurs extrémités opposées seront les sommets d'tui polygone égal et parallèle au premier. [Voyez le scolie du n* 165.

DES D&OITKS KT DES PLANS PARALLELES. SSy

THioRÈME X. (Fig. 266.) Fie. 366.

29^ 595. — Deux droites quelconques AB , CD , sont toujours dans an même plan, ou dans des plans parallèles.

En effet, si elles ne sont pas dans un même plan , par un point quelconque I de la première, menons IK parallèle à la seconde, et par un point G de la seconde, menons GE parallèle à la première: les deux angles KIB, DGE, seront situés dans des plans parallèles, d*après le théorème précédent; ainsi la proposition est démontrée.

ScoLXE I. — Ce système de deux plans parallèles, MN, PQ, dootTun condent la première droite, et Tautre la seconde, est wîique. — Car, tout plan passant par AB et parallèle à CD, doit contenir la droite IK (n^ 515 , coroL I): donc il ne peut être que le plan KIB ; par la même raison , le plan passant par CD et parallèle à AB, ne peut être que DGE.

Pour désigner ces plans dont le système est unique pour chaque iTstème de deux droites non situées dans un même plan, nous les nommerons les plans parallèles de ces droites.

N. B, — Ces deux plans se confondent lorsque les droites sont ians un même plan.

ScoLiE n. — Il résulte d'ailleurs de la démonstration exposée plus haut que, deux droites n'étant pas dans un même plan, on peut toujours par chacune d'elles faire passer un plan parallèle à l'antre; et ce plan est unique,

ScoLiE m. — Toutes les fois que deux droites ont une perpendiculaire commune [et le scolie H du n? 500 en offre un exemple], cette droite est perpendiculaire aux plans pam Hèles des deux droites y et mesure la plus courte distance des deux droites.

Admettons, pour un instant, que la droite IL [fig, 266) soit p,^ ^^^ perpendiculaire à la fois aux deux droites AB, CD: — Menons par le point I la droite IK parallèle à CD : cette parallèle se trouvera tout entière dans le plan Wi (n° 515, corol,). Or, IL étant, par hypothèse, perpendiculaire à CD , est aussi perpendiculaire

338 Liv. m. — CHAP. I. — § II.

à sa parallèle IK ; donc IL, perpendiculaire aux deux droites AB. IKy qui passent par son pied dans le plan MN, est perpendiailaire' à ce plan (n^ S90) , ainsi qu*au plan PQ parallèle an premier. La perpendiculaire OL commune aux deux plans MN , PQ, wttsurant leur plus courte distance (n** 5M), est aussi la |>lus comte distance des deux droites AB, CD.

FiG. 267. TnioRàMB XI. (Fig. 267.)

Pfo 594. — Entre deux droites AB, CD, non situées dans ir. m^me plan, — i** — il existe toujours une perpendiculaire ^Ba^ mune ; — 2® — il n'en existe qu'une.

Le système des deux plans parallèles MN, PQ, étant suppi»' construit, menons par AB un plan ABEF perpendiculaire an plan PQ : — l'intersection £F de ces deux derniers plans, étis( parallèle à AB (n^ 315), ne saurait Tétre en même temps à CD: autrement, CD, AB, seraient aussi parallèles (n'' SIS , coroL I], o: qui serait contre Thypothèse ; donc la droite EF, et par conséquent { le plan ABEF, coupe CD en un certain point L« — De même, si par CD nous conduisons un plan CDGK perpendiculaire au plac MN , il coupera AB en un certain point I. Ces deux plans ABEF, CDGR9 passant l'un par AB et par le point L, l'antre par CD et par le point I, se coupent nécessairement suivant la droite IL; et| cette droite est à la fois perpendiculaire aux deux plans MI<i, PQ. (n"" Sl!l),idnsi qu'aux deux droites AB, CD (n<» S98).

Donc la première partie de la proposition est démontrée.

Biaintenant, toute perpendiculaire commune aux deux droites, devant passer par un point de CD et être perpendiculaire la plan BfN (n® 595, seoL III), doit être contenue dans le plan perpendiculaire CDGR; par la même raison, elle doit être conteon^ dans le plan ABEF. Donc elle ne peut être que Tintersectiai commune de ces deux plans. — Donc enfin , les droites ont ua^ seule perpendiculaire commune.

N. B. — Cette perpendiculaire se nomme la plus godets 01»- TAMCE des deux droites (n** 3S3, scoL lU).

Fie. a66. Autre moyen de démonstration. — Soient AB , CD {fig. 266) , Id

DES UftOITBS ET DES -PLANTS PARALLELES. SSq

deux droites données. — D'un point quelcopque F de la droite AB, menons FH parall^e à CD; puis, par AB et FH, conduisons un plan MN, lequel est parallèle à la droite CD {p? 514 , coroL), — Maintenant , d*un point G de CD , abaissons GK perpendiculaire au plan MN : l'intersection du nouveau plan CGRI avec MN, étant une droite Kl parallèle â CD (n^Sttf), rencontrera AB en • un certain point I ; ot si de ce point nous menons , dans le plan CGKI, la droite IL parallèle à KG, nous obtiendrons la droite demandée.

En effet, IL étant parallèle à KG, est perpendiculaire au plan MN (n°51S, ré^i/r.) ; donc elle est perpendiculaire aux deux droites AB, IK (n^* 998), et aussi à la droite CD (n» SIS); donc enfin, elle est perpendiculaire commune aux deux droites.

Cest d'aiHeurs la seule droite qui puisse posséder cette propriété; car toute perpendiculaire commune, devant être perpendiculaire au plan MN , et passer par un point de CD , doit se trouver dans le plan C6KI (n° Sti, corol,); or la droite IL est évidemment la seule droite comprise entre AB et CD, qui puisse être en même temps perpendiculaire au plan MN; donc, etc.

N. B, — Cette démonstration peut, an premier abord, paraître moins simplfqne la première ; mais elle a sur celle-ci l'atantage ée n'exiger que la construction de Tun des plans parallèles des denx droiles. — Nous reviendrons sur ce sujet dan» le chapitre des problèmes.

THKORàMR XIL {Fig, a68.) Fio. 268.

N* 55MJ- — Deux plans respectivement perpendiculaires à denx droites non parallèles, se rencontrent toujours.

Soient AB, CD, deux droites qui se rencontrent, ou qui, sans être parallèles, ne se rei\contrent pas. Soient de plus MN, MP, deux plans respectivement perpendiculaires à ces droites.

D^abord , ces plans ne peuvent se confondre en un seul , car pour que Gela fût, il faudrait que AB^CD, étant alors perpendiculaires à un même plan» lussent p^aUèles (n^ SIS), ce qui est contre Fhypothèse. — En second lieu, les^deux plans ne sau-