LIV. III. — CHAP. I. § II

raient être parallèles^ paisqu*il en résulterait encore (n** Std) que les droites AB, CD, seraient parallèles. — Donc les deux plans st. coupent suivant une certaine droite MR. — (ro^ez le n® 50.)

ScoLiE I. — Lorsque les deux droites se coupent en iin certain point O, les plans MN, M^, «encontrent le plan BOD suivam • deux droites IG, GK, respectivement perpendiculaires à Tintersection commune MR; et l'angle IGK formé par ces droite [lequel mesure l'angle des deui^ plans MN, MP (n" 508)], est supplémentaire de l'angle des deux droites données (n* 70).— L'angle KGI', supplémentaire de IGK, est égal 4 l'angle de ces mêmes droites»

D'où l'on peut conclure que — L'angle de deux plans resptrtivement perpendiculaires à deux droites qui se coupent dans l'apace y est égal à V angle de tes droites ou en est le supplément y suivant que ces angles sont de même espèce ou d'espèce différente.

Lorsque les deux droites sont dans des plans différents , on nomme angle des deux droites, celui que forme Tune d'elles avec une droite parallèle à l'autre , menée par un point quelconque de la pren^ère [plus g?éncralement , c'est l'angle de deux droit» menées par un point quelconque de l'espace, parallèlement aiu premières] ; ot la proposition subsiste encore dans ce cas.

ScoLiE n. — A proprement parler, l'angle de deux droites qiiî se croisent dans l'espace sans se rencontrer, est V angle dièdre que forment entre eux les plans perpendiculaires aux plans parallèkN des deux droites, qui contiennent cellesH^i respectivement. Fie. 2G7. Ainsi , dans là figure 267, l'angle des deux droites AB» CD, el l'angle dièdre ELIG, qui, en effet, a pour mesure (n*> 8O8) Tangle BIG , c'est-à-dire l'angle que forme AB avec la droite KG menée par le point B , parallèlement à CD. — Telle est du moins Tidéc b , plus nette qu'on puisse se former' de l'ang^ de deux droîlcs non situées dans un même plan.

Lorsque l'angle dièdre EUG est droite les droites donnée?

Fw. aSi. sont dites perpendiculaires, entre elles. — La jigure aSi en oflfre

im exemple: les droUes AP, BC, sont à angle droit; ce qui veut

AIMA&QUK OSIfiKALK SOm LES PABAGB4PHBS PBiCKDBMTS. 34 i

iire que la ssoonde est située dans un plan perpendiculaire à la première.

N» 526. — ScoLis m. — Jnglc d'une droite et d'un pian.

Soit Afi (fig. 269) une droite oblique à un plan MN. — D'un Fie. a6g^ )oiDt quelconque B de cette droite, abaissons BB' perpendiculaire iir ce plan; et tirons la droite AB' : [cette droite est dite ia pro^ ection de AB sur le plan MN].

I^ plan BAB' étant {pp 311 , scoL) le lieu de toutes les perpenliculaires abaissées des différents points de la droite AB sur le >lan MN, il en résulte que la droite AB^ est elle-même le lieu des >iieds de toutes ces perpendiculaires.

Cela posé, on nomme angle d'une droite et d'un plan, Tangle (lie forme la droite avec sa projection sur le plan.

La raison de cette dénomination est que Fangle BAB' est le iiHiMUM de tous ceux que la droite AB forme avec les difTérentes Iroites menées par son pied dans ce plan.

En effet, menons par le point A, dans le plan MN, une tout iutrt; droite AL , et prenons sur cette droite AG = AB% puis irons BG : les deux triangles ABB', ABG, ont deux côtés égaux lucun à chacua \^^kfi commun et AB' = AG] ; le troisième côté iB' du premier est moindre que le troisième côté BG du second ; loDc (n» 64) Tangle BAB' est moindre que Tangle BAG.

Considérons maintenant dans le plan MN , et de deux côtés difféents par rapport au plan BAB', deux droites quelconques AL, ^', puis un cercle décrit du point A comme centre avec un rayon [uelconque: on démontrerait comme ci-dessus que les angles UL, BAL', ne peuvent être égaux qu'autant que Ton a

a/rB'G' = fl«?B'G.

D*où l'on déduit cette conséquence importante :

Une droite ne peut former des angles égaux avec trois droites

ituées dans un même plan, à moins d'être perpendiculaire à ce

*lan et par conséquent à chacune des trois droites.

Remarque générale sur les deux paragraphes précédents. >" 597. — Les propositions qui ont fait Tobjct de ces para-

34^ MV, m. — CHAP. I. — § II.

graphes peuvent être regardées 'comme fondamentales dans k géométrie de l'espace. En réduisant le plus possible le ncmtbie des propositions principales, et rattachant à chacun d'eux, soii des corollaires, soit des scolies, nous avons cherché à rendre plus facile à saisir l'enchaînement des diverses propoâtÎQBs; car on ne saurait se dissimuler que les difficultés qui se reooontrent dans la théorie des plans consistent moins dans ks démonstrations même , que dans Tenchainement 4f^nt nous menons de parler.

G*est surtout dans cette théorie, que, guidés par des analogies apparentes avec certaines propositions de la géométrie plane , la élèves peuvent être conduits à énoncer des propositions fausses; ces erreurs proviennent en grande partie de ce que rindétermination est nécessairement plus fréquente quand les objets sur lesquels on raisonne peuvent être situés d'une manière quelconqui dans Tespace, que lorsqu'ils sont assujettis h la condition d*étre compris dans un même plan.

C'est encore pour cela que le nombre des réciproques est fort restreint dans la théorie des plans, ainsi qu'on a pu le remarquer.

IS'* SS8. — Nous terminerons ces deux paragraphes par les énoncés de quelques théorèmes dont les démonstrations sont facâks à déduire de ce qui précède.

IMomàMS I. — Deux droites parallèles sont également ineUnèti sur un plan quelconque. — [La réciproque est^nuse.]

TniOEànE II. — Deux plans parallèles sont également incbnés sur une droite quelconque. -*~ [La réciproque est^usse.]

TiiioaiMx III. — Lorsqu'une drçite et un plan se reneontrtMty toute droite perpendiculaire au plan , et tout plan perpendieulairt à la droite, se rencontrent aussi, — [Réciproque évidente.]

Théorkmk IV. — Deux plans parallèles coupés par un troisième forment apec celui-ci des angles dièdres altemes-intemes . correspondants, etc.. égaux entre eux. — [Voyezle n^4^.][La réciproque est fausse . ]

DBS ANGLES POIiYKD&ES» 343

TBio&iME V. — .Si d'un point pris y soit dans l'intérieur, soit au dehors d'un angle dièdre, on abaisse une perpendiculaire sur chacune dêi /aces , l'angle dièdre et l'angle formé par les deux perpendiculairement égaux ov!^ supplémentaires.

TBioBims TI. — Le plan bissecteur d'un angle dièdre est le lieu de tous les points'^é gaiement distants des deux faces.

THEORixE Vn. — LfUpla/i mené par la bissectrice d'un angle plan perpendiculairement au plan de cet angle, est le lieu de tous les points également distants des deux côtés de cet angle.

Ges|derDière9 propositions se ramènent facilement à leurs ana* logues de la Géom^e plane.

§ III. — Des angles polyèdres.

N** 529. — Observations préliminaires. — Il ne sera question, dans tout ce qui va suivre y que des angles polyèdres convexes, don^ les caractères ont^été énumérés au n^S95.

Une autre propriété dont jouit essentiellement un angle polyèdre convexe , cousin en ce que l'on peut toujours concevoir par son somoiet S {fig. 270) , un certain plan PQ , d'un même côté Fie. a;o. duquel ae^tronvent situées toates les faces ; — d'où il résulte que si , par un point quelconque de l'une des arêtes , on mène im pian y MN , parallèle au premier PQ , ce nouveau plan coupera nécessairement toutes les autres arêtes ( n^ 31 tf , corol. I ) » et déterminera par ses intersections avec les faces un certain polygone ABCDEF. — A la vérité , cette propriété appartient élément à certains polyèdres concaves , comme on le voit dans \^ figure 27 1 ; Fie. a; 1 . mais ce qui distingue alors l'angle polyèdre convexe de l'angle polyèdft concave 9 c'c%t que le polygone obtenu dans le premier cas est lui^néme un polygone conveûce (n*' 36), tandis que le second donne lieu à un polygone ayant un ou plusieurs angles rentrants ; d^où il soit que , dans les angles polyèdres concaves y une même droite peut rencontrer la surface latérale en plus de deux points 0,(y,O",O^....

Nous admettrons donc dorénavant que — lout angle polyèdre