Ï^XV. III. — CHAP. I. § III

eonvexe peut être coupé par un certain plan dont les tniersectims avec les faces déterminent un polygone convexe,

L*aDgIe trièdre est , d'après cette propriété , un ang^e polyèdre convexe / et , conformément à la«iarche que nous avons suivie dam la Géométrie plane (3* paragr. , chap. i, liv. I) , nous commencerons rétude des angles polyèdres convexes par celle des angles trièdres.

^'*^- ^:'- THio&ÂMC I. {Fig. 272.)

N® S30. — Si d*un point quelconque \s\ pris dans l'intérieur d'un angle trièdre SABG , on abaisse des perpendiculaires sur m • faces \sa sur SBC, sh sur SAC, se sur SAB], lï en résultera tm nouvel angle trièdre \sahc\ dont les faces seront les supplémenl^ respectifs des angles dièdres du premier; — et réciproquement — les faces du premier seront les suppléments respectifs des ùngln dièdres du second.

Observons d^abord que le plan mené par les deux arêtes sc^d, est perpendiculaire à chacune des faces SAB , SAC (n*' 509) , et par conséquent/, perpendiculaire à leur intersection commune SA (n** 819); donc il coupe ces faces suivant deux droites Ac , Aè, perpendiculaires à l'arête SA (n" 998). Pareillement, le plan uic coupe SAB, SBC, suivant Bc, Ba, perpendiculaires à Taréte SB, et le plan sab coupe SAC, SBC, suivant C^, Ca, perpendÂculaire» ' à Taréte SC. — Maintenant , de ce que SA esl perpendiculaire i A^ , Ac , il s'ensuit que SA est aussi perpendiculaire à la face /éc du second angle trièdre; et par la même raison , SB , SG , sont respectivement perpendiculaires aux faces sac , sab.

D'où Ton doit conclure que Pangle trièdre SABC est par rapport à l'angle trièdre sabc dans la même condition que oelui-ci par rapport au premier.

Gela posé, si nous considérons le quadrilatère SAcB, noo» voyons que les deux angles en S et en c sont supplémentaires. | [ yojrez d'ailleurs le scolie I du n** 5245. ] Or, l'angle AcB mesuir l'angle dièdre suivant se (n** 508) ; donc déjà, la face ASB est le supplément de l'angle dièdre suivant se, — On prouverait de la

DKS ANGLFS TRIÀDAES. 345

même manière que les faces ASC , SSG , sont les suppléments respectifs des angles dièdres suivant sb^ sa.

Donc aussi , d'après la remarque ci-dessus , les faces asb y asc , hscy sont les suppléments respectifs des angles dièdres suivant se y SB 9 SA*

N. £. — Chaque face du premier angle trièdre est le supplément de Tangle dièdre opposé dans le second ; et vice vend.

En raison de cette propriété réciproque , les deux angles trièdres S et / sont dits supPLixENTiUBEs Fun par rapport à Vautre.

ScoLu. — La dj^onstration précédente suppose que les pieds CybyO, des perpendiculaires abaissées du point s sur les faces de Tangle trièdre S, sont intérieurs à ces faces, ce qui n'a pas toujours lie« quand on prend le point s tout à fait arbitrairement dans l'angle S. — Mais on peut toujours en chdflir un qui remplisse cette condition : il suffît , par exemple , de prendre un point quelconque de Tintersection des plans bissecteurs de deux angles dièdres suivant SA, SB (n*» 528, théor. VI). [FoyezU D° 70. ]

Ce théorème doit d'ailleurs être considéré comme fondamental dans la théorie des angles trièdres.

THÉoaiME n. {Fig. 273. ) Fig. a^S.

N'^ o51 . — Détns tout angle trièdre 8 , une face quelconque est 1** — plus petite que la somme des deux autres, — et 2" — plus grande que leur différence.

1^ — Il n*y a lieu à démontrer la première partie de la proposition , que pour la plus grande des trois facea. — Soit donc ASB la plus grande des trois faces.

Menons une droite AB qui coape SA, SB, en deux points A, B; puis, par le point S, et dans le plan ASB, tirons SC qui fasse un angle BSC égal à Tangle BSC , et qui coupe AB en un ])oint C. Prenons sur Taréte SC une longueur SC égale à SC ; enûn, tirons CA, CB.

D'après cette construction , les triangle^ BSC, BSC, sont égaux (n* 65 , deuxième cas) ; donc BC = BC Or, dans le triangle ABC ,

346 Liv. m. — CHAP. I. — § m.

on a AB<AC-+-CB, ou AC'-hC'B< ACh-CB;

donc, à cause de C'B =:CB, AC < AC,

et par conséquent ( n"" 64) ASC < ASC.

Ajoutant respectivement aux deux membres de cette inégaliir les angles égaux BSG', BSG, on obtient

ASC'-|-BSC'<ASC + BSC, ou ASB<ASG + fiSC.

2» — En supposant en outre , ASC ]> BSC ,

comme on a aSB -4- BSC > ASC ,

il en résulte ASB > ASC — BSC ;

CoaoL^iftEl. — Si trois angles ASB, ASC« BSC , afatH m soin/nei commun S, sont tels que l'un d'entre eux soii égal à k somme des deux autres, les plans de ces trois angles doivent k confondre; — car autrement , les côtés SA, SB, SC, fonnersfientui angle trièdre; et le plus grand des trois angles serait moindre qoe la somme des deux ailtres ; ce qui serait contre Thypothèse {*}.

(*) C^est ici le lieu dedémontrer que V angle plan correspondant a. vu ov*^ dièdre, tel qaMl a été défini au n^ 506, est le leul qui puisae mesurer c« augle dièdre.

En effet, il faut d'abord qne les côtés de Taogle plan propre à aerrirde

mesure soient également inclinés sur Taréte, puisqu'on doit deveuir nsien

mtoie temps qne Tangle dièdre.

FiG. a55. (oient donc BM', BI«K, W{fg. a55), trois droites tracées par «11 mtae

point B de ParèteAfi, dans les faces MAB, NAB, PAB.^Pour que iV

ait consUmmeut MABP 9 NABP : : M' BP : N' BP,

il fiiut que les angles ABM', ABN', ABP, soient égaux. Ensuite, puisque Ton a entre les trois angles dièdres la relation

MABP = M ABN -f NABP,

il dut encore que les anglae jrectilignes M'BP, M'BN', K'BP, soiat lurs entre cui pir la relation M'BP = M'BN'-+-N'BP;

DBS ANGLES TAIBOEKS. 34?

Co&OLLAXEB II. — Si par le sommet S {fig. 274) à'un angle Fia. 374» triêdre quelconque SAfiC , on mène une droite SO dans l'intérieur, et par cette droite, deux plans aboutissant aux deux arêtes SA ^ SB, d'une même /ace ASB y la somme des deux angles plans ASD, BSD| qui en résulteront, sera moindre que la somme des deux autres /aces ASC, BSG , de l'angle triêdre.

[Pour faire mieux concevoir la figure , on a coupé l'angle triêdre par un plan quelconque qui détermine dans les faces que Ton a à considérer, les droites AC, CB, AB, et les droites AD, DB; — mais la construction de ce plan n'est pas indispensable pour la démonstration.

Prolongeons le plan ASD, par exemple, jusqu'à la rencontre de la face ASB, suivant tine droite SE; on aura, en vertu du théorème précédent,

i« — Dans l'angle triêdre SAGE, ASE<ASG + GSE,

2« ^ Dans Fangle triêdre SDEB, DSB <DS£+ ESB;

d*où, en ajoutant ces inégalités membre à membre,

ASE4-DSB<ASC4-CSE-hDSE-hESB,

cest-à-dire ASD + DSE + DSB<ASG+I)SE + CSB;

ou bien enfin , en retranchant DSE des deux membres,

ASD+ DSB < ASC + GSB;

Scoux. — Ce corollaire et le théorème qui 7 a conduit, correspondent à la troisième et à la première proposition du n® 58; et les deux modes de démonstration sont tout à fiiit analogues. — La deuxième proposition du même numéro a également sa corres-

ce qui eiige , d'après le corollaire qui Tient d'être démontré , que lei trois droite! BM', EN', BP, soient dans nn même plan.

£nfln, ces trois droites deyant être dans nn même plan, et également inclinées sur Tarête AB, celle-ci est nécessairement perpendiculaire au:^ trois droites BM ', BN', BP (n<» 396) \ C. Q, F. D.