LIV. II. CHAP. 1. § III

pondante dans ies angles trièdres ; mais nous nous bornerons à Fie. 375. l'énoncer d'après \^ figure, — La fig* 276 représente deox angks trièdres SABG, SADE, opposés par l'arête SA; et il s'agirait de prouver que

I» BSC-hDSE<DSC-hESB,

2° ESC + DSB<DSC4-ESB;

ce qui est facile d'après le théorème précédent , si l'on considère alternativement les angles trièdres

SABC, SADE, puis SABD, SAGE.

FiG- a:6. TnioRÂMS III. [Fig. 276.)

N*» 559. — Dans tout angle trièdre S, la somme des trois faca est moindre que 4 angles droits.

Coupons l'angle trièdre par un plan ABC (n°599); et après avoir pris un point quelconque 0 intérieur au triangle ABC, tirons les droites OA , OB , OC ; nous formerons ainsi trois triangles a^i respectivement pour bases AB, AC, BC, et pour sommet commun le point S; puis, trois autres triangles ayant les mêmes bases et pour sommet commun le point O. — Cela posé , l'angle CAB, formé de la somme des angles OAC , OAB , est moindre que 1^ somme des angles SAC , SAB (n® 851) ; de même,

ACB<ACS4-SCB, et ABC< ABS-hSBC;

d'où Ton voit que la somme des angles à la base , des triangles qui ont leur sommet au point 0 , est moindre que la somme des angles à la base , des triangles qui ont leur sommet en S. Or, la somme des angles des trois triangles de chaque système est b même (n** 5^) ; donc la somme des angles en S est moindre que la somme des angles en O; et puisque celle-ci vaut 4 ^'^ (n^ 5i), il s'ensuit que la première est moindre que 4 droits;

CoROLLAïas. — Dans tout angle trièdre, la somme des angles dièdres est plus grande que 2 droits et plus petite que 6 droits.

DES AKGLES TIUÈOEBS. 349

En effet, la somme des angle» dièdi«s de l'angle trièdre proposé, augmentée de la somme des faces de son angle trièdre supplémentaire, forme 6 droits (n^ 550). Or, la première somme partielle est comprise entre zéro et 4 droits; donc la seconde est moindre que 6 droits et plus grande que a.

ScoLis L — Il est facile de concevoir que les faces d'un ^gle trièdre puissent être trois anglei aigus à la fois [aussi petits ou aussi grands que l'on reut], ou bien, doux angles aigus et un obtus, ou un angle aigu et deux obtus, ou bien encore , trois angles obtus; elles peuvent aussi être des angles droits.

Donc la somme des trois angles dièdres peut elle-même passer par tous les états de grandeur, depuis 2 droits jusqu'à 6 droits.

Ainsi, un angle trièdre peut avoir un ou deux ou trois angles dièdres droits, un ou detix ou trais angles dièdres obtus.

Cela posé , un angle trièdre est dit unirectemgle [ou simplement rectanglé\y birectangle, tri rectangle ^ suivant qu'il sl un, deux ou trois angles dièdres droits.

Lorsque les trois aiudes dièdres sonf droits, les trois arêtes sont elles-mêmes perpendiculaires deux à deux (n** SSM) , et les trois faces sont des angles plaxis droits.

Si l'angle trièdre est birectangle, une seule des trois arêtes est perpendiculaire aux deux autres; et celles-ci font entre elks un angle qui mesure le troisième angle, dièdre (n^ 508}*

ri^ 555. — ScoLtE n. — On pourrait établir sur l'angle trièdre, des propositions analogues à plusieurs des âiéorèmes démontrés pour le triangle dans- le chapitre I du premier livre , en exceptant toutefois celles cpii sont fondées sur la propriété du n^ M, par la raison que dans Fangle trièdre, la èomme des angles dièdres n'est pas constante, et qii^elle peut varier depuis 2 droits ]\x^f\\y\ 6 droits.

Mais les propriétés du triangle isoscèle ont leurs correspondantes dans Tangle trièdre.

Ainsi, i** — Lorsque deux faces d'un angle trièdre sont égales ^ les angles dièdres opposés sont égaux; — d'qù il résulte immédiatement que y — si les trois faces sont égales, les trois angles dièdres sont égaux;

35o Liv. in. — cHAp, I. — § III.

2© — Lorsque deux faces sont inégales, à la plus grande faa est opposé le plus grand angle 'dièdre;

3** — Réciproquement, etc., etc. — {Foyez les n~ 118 et suk.\

Un angle tri€dre\el, en général, un ai^le polyèdre] est dhn^gulier, lorsqu'il a toutes ses faces égales et tous ses angles dîèdm égaux .

Quant aux angles trièdres qui ont deux faces égales , on peut. par analogie avec le triangle isoscèle , les nommer des angles trièdres isoèdres; — la troisième face, différente des deux autres, est dite alors la hase de l'angle trièdre.

Nous nous bornerons ici à démontrer la prejpière des propositions qui viennent d'être énoncées.

FiG. 377. Soit SABG [fig* 277) un angle trièdre dans lequel nous supposons ASC = BSC.

Tirons la bissectrice SD de la base ASB : le plan mené par SP, perpendiculairement à la face ASB, qtant le lieu de tous \r> points également distants des côtés 9A, SB (n^^SSB, théor,^ , contient nécessairement la droite SG, ainsi que la perpendimlaire DG élevée d'un point quelconque ÎD de SD, au pian ASB (n** 5ii). Maintenant, si du même point B, nous abaissons DA, DB, perpendiculaires à SA, SB, et que nous joignioDS iei points A et B au point G où DG rencontre SG, les droites CA, • CB, seront (n*' SOO) respectivement perpendiculaires auxdroir^ SA, SB; et les angles GAD, CBD, mesureront les angles die<!rps suivant SA, SB.

Gela posé, les deux triangles GDA, GDB, sont égaux, puisque GD est commun, et queDA=DB; donc les angles CAD, CBD. sont égaux ; et il en est de même des angles dièdres qui leur correspondent.

N. B, — Nous aurions pu simplifier la démonstration en abaKsant directement d'un point G de l'arête SG une perpendiculaire sur le plan SAB ; mais nous avons préféré employer un mode àt démonstration qui fût plus en rap\>ort avec celui du n^ 43,

DIS AHOLVS TAliDKBS. 35 1

De l'égalité des angles trièdres.

N** 5S4. — Rkhabques pr^liminaiiiss. — Lorsque deux angles trièdres sont superposables, on dit qu'ils sont égaux; et alors, ils ont tous leurs éléments égaux chacun à chacun \^faces et angles]. Or, deux angles trièdres peuvent encore avoir les trois faces égaies chacune à chacune , mais inversement disposées; auquel cas, ils sont dits des angles trièdres symétriques

Afin de mieux faire comprendre cette définition, considérons d'abord, en particulier, un angle trièdre SABG [fig» 278); p,ç ^^ et prolongeons chacune des arêtes SA , SB , SG , dans le sens opposé par rapport au point S : il en résulte un nouvel angle trièdre Sa^c, dont les faces et les angles sont évidemment les mêmes que les faces et les angles de SABG. Or, on voit facilement que ces deux angles trièdres ne sauraient coïncider; mais il est possible de donner au second , SaAc, diverses autres positions par rapport au premier.

Imaginoiis, par exemple, que Ton fasse pivoter la face Sa&, dans son plan, autour du point S, de manière que Sa vienne prendre position sur SA , et S6 sur SB. — Dans ce mouvement , conune Tarète Se est , par rapport à l'œil, en arrière du plan Sa6, tandis que Taréte SG est en avant, la première prendra une position SG% telle que l'angle dièdre G'SAB sera é^ à l'angle dièdre cSa^, ou CSAB , que Tangle dièdre G'SBA sera égal à l'angle dièdre (&ha , ou CSBA , et que les faces ASG', BSG', seront respectitrement égales aux faces aSc, ^Sc, ou ASG, BSG. On obtiendra donc ainsi deux angles trièdres SABG, SABG', opposés par la face ASB, et ayant d'ailleurs tous leurs éléments égaux [faces et angles]. ^

On peut imaginer maintenant que la face Sab fasse une deniirévobitîon autour de la bissectrice LL' des angles AS6 , aSB. — Dans ce mouvement, l'arête Sb viendra s'appliquer sur Taréte SA, l'arête Sa sur l'arête SB; et comme les deux faces bScy aSc, se trouveront alors en aVant de la face ASB , il s'ensuit que l'angle trièdre Sabc prendra une position telle que SABG'\

Rien n'empêche de faire mouvoir ensuite celui-ci parallèlement à lui-même (n^ 6S), de manière qu'il prenne la nouvelle position

352 LIV. III. — GHA». I. — § ni.

TDEF, dans laquelle les faces DTE, ETC, CTD, seront respecd- ▼ement égales anx faces GSB , BSA, CSA , mais disposées dans os ordre inperse par rapport à celles-ci.

Les quatre angles trièdres Sabc^ SABC\ SABC^, TDEF n'a font, à proprement parler, qu*un seul, puisque les trois derniers ne sont autres que le premier Sahc changé de position; — et comme trois angles plans ne peuvent évidemment être assemblée entre eux, pour former un angle trièdre, que de deux manièro essentiellement différentes, la définition se trouve justifiée.

Mais on voit en même temps qu^il n'en est pas de deux angles trièdres symétriques comme de deux triangles symétriques, qui, par un renversement, peuvent toujours être superposés (n** 6, Àpp,f scoL I).

N, B, — Deux angles trièdres symétriques isoèdres (n* SS5) sont égaux et superposahles ; car, du moment où Ton a fait coïncider les deux bases , et que les deux angles trièdres sont d'ailleurs {dices d'un même côté par rapport à cette face commune , les antres faces coïncident, à cause de l'égalité des angles dièdres adjacents.

Dans ce cas, les deux angles trièdres sont à la fois symétriques et superposables.

Maintenant, nous pouvons, comme pour les figures plaoes (n** 6!l), établir une espèce de lemme propre à faciliter Tétude des propriétés relatives à l'égalité [ou à la similitude] des figures de l'espace.

LKMMS.

N" 55tf. — Lorsque deux polyèdres ont les faces égales chacune à chacune et assemblées de la même manière, ainsi que Us angles dièdres respectivement compris entre ces faces, on peutt»- 1 jours les amener dans une position telle, que, s' appuyant yor une de leurs faces égales, contre un même plan, et d'un mémt côté de ce plan, ils aient leurs faces parallèles chacune à chaasnt*'

£n effet, on peut d'abord (n" 62) faire en sorte que les deux polygones égaux par lesquels ils reposent sur le plan aient leurs côtés parallèles deux à deux et dirigés dans le même sens; et après

DE L* ÉGALITÉ DBS ANGLES TBIKDABS. 353

ce mouvement, les deux polyèdres se trouveront situés d'un même côté du plan. Maintenant , à cause de Tégalité des angles dièdres respectifs, adjacents aux côtés de ces polygones, les autres faces de ces angles dièdres seront aussi parallèles et de même sens deux à deux ; puis, les faces adjacentes à celles-là seront encore parallèles; — et ainsi de suite.

Ainsi que dans la première partie de cet ouvrage, nous renverrons au second Appendice la théorie des figures symétriques , et nous ne considérerons pour le moment que les polyèdres susceptibles d*étre amenés à avoir leurs faces parallèles deux à deux. — On exprime cette position relative en disant que les faces sont ^tmhlahlement disposées\on mieux , disposées de ia même manière\, fi ne sera d'ailleurs pas nécessaire, dans l'étude des propriétés, }ae les polyèdres soient effectivement amenés dans cette position vlative; il suffira qu'ils puissent jr être amenés.

THKoaxMB V. [Fig. 27g.)

FlG. 379.

N*» 356. — Deux angles trièdres SAfiC, S'A'B'C, sont égaux,

1** — Lorsqu'ils ont une face égale [SAB = S'A'B'] adjacente à y angles dièdres égaux chacun à chacun [et disposés de la même nanière] ;

2'' ^ Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal [BSAC = B'S'A'C] ompris entre desfmees égales chacune à chacune [et disposées de I même maniùre] ;

3® — Lorsqu'ils ont les faces égales chacune à chacune [et isposées de la même manière].

PaKMiEH CAS. — Appliquons la &oe S'A'B' sur son égale SAB, e manière que les arêtes correspondantes SA, SA^ se confonent, ainsi que SB, S'B'. Gomme les angles dièdres suivant SA, 'A', sont égaux par hypothèse , la face S'A'C se placera sur la ice SAC. Par la même raison, S'B'C se placera sur SBC; donc iréteS'C% commune aux deux faces S'A'C^ S'B'C% coïncidera rec Taréte SC commune aux deux laces SAC, SBC; et les deux igles trièdres cotncideriMit,

354 "^' "'• — fiHAp. I. — § m.

Deuxièvs cas. — Appliquons , comme ci-dessus , la &ce S'A'B sur son égale SÂB; — les angles dièdres suÎYani SA, S^ Aidait égaux, la face S'A'C se placera sur SAC; et puisque Ton aaasi ASC = A'S'C par hypothèse, Taréte S'C prendra la direction (ie se, et les deux faces SBC, S'B'C coïncideront; donc ilensen de même des deux angles trièdres.

Troisii^k cas. (Toyez d^abord le n^63.) — L'égalité desdaa angles trièdres serait démontrée si Ton pouvait établir que Tao^ dièdre suivant S'A' par exemple, est égal à Tangle dièdre soiTUt SA, puisque alors la proposition rentrerait dans le second cas. Or, admet^i.nt, pour le moment, que l'on ait

BSAC > B'S'A'C,

plaçons, comme précédemment, la face S'A'B' sur son égale SAB: la face S'A'C prendra une position intérieare à l'angle dièdre BSAC ; dès lors , Taréte S'C devra prendre une direction SD iatérieure à l'angle trièdre SABC , ou se placer sur SBC suivant SI, ou bien prendre une direction SD' extérieure à la face SBC. Bornons - nous à examiner cette dernière hypothèse. — On aon. d*après cela,

B'S'C' = BSC=:BSD'.

Comme le plan ASD' conpe alors la face SBC suivant une certaine droite SI qui détermine deux angles trièdres SIAC, SISI)^. opposés par l'arête SI, il en résulte (n® i(5l , scol,)

ASC 4- BSD' < BSC -4- ASIV,

d'où, retranchant, d'une part, ASC, et de Tautre, son épai^ ASD',

BSD' < BSC,

résultat contradictoire avec Tégalité SBCzziBSD', obtenue pid haut.

Les deux antres hypothèses se traiteraient plus facilemcot.

DE L*BGAIJT£ DBS AN6LKS TBIKOAES. 355

Ainsi, il est absurde de supposer l'angle dièdre B'S'A'C différent de fiSAC;^/!^, etc., etc. (*).

CoBOLLAiEE. — Dcux Ufigies triédrcs sont encore égaux lors* qu'ils ont les trois angles égaux chacun à chacun [et disposés de la même manière].

En effet, si nous considérons les angles trièdres respectivement supplémentaires (n**S30] des angles donnés, leurs faces sont ^ales chacune à chacune , comme suppléments respectifs d'angles dièdres égaux chacun à chacun , par hypothèse; donc ces angles trièdres supplémentaires sont égaux, en vertu du troisième cas de la proposition précédente. Par suite, leurs angles dièdres sont égaux chacun à chacun, ainsi que les suppléments de ces angles dièdres, lesquels suppléments ne sont autres que les faces des angles trièdres proposés. Donc, etc.^ etc.

On remarquera que la même propriété des angles trièdres supplémentaires lie entre eux les deux premiers cas du théorème précédent.

ScoLiE I. — Nous pourrions établir deux autres cas d'égalité, qui seraient aussi liés entre eux par la propriété des angles trièdres supplémentaires. — Mais nous reviendrons sur ces deux nouveaux cas dans le troisième chapitre.

Ainsi, un angle trièdre est généralement déterminé par la connaissance de trois des six éléments qui le constituent [les trois laces et les trois angles dièdres compris]; ce qui donne six combinaisons différentes, liées deux à deux au moyen de Pangle trièdre supplémentaire.

^ous ajouterons que la condition d^égalité de deux angles trié* dres étant satisfaite , il s*ensuit que les/aces égaies sont opposées à ^ angles dièdres égaux; et réciproquement. C'est une consé- <IQence nécessaire de la possibilité d'opérer une superposition complète des deux angles trièdres.

{*) L^'emploi crun moyen de démonstration analogue à c<!liii du n9 65 (3* cas) eût entraîné dans la eonsidération de deux angles trièdres symé* triques , incooTénient que iiou$ aTons voula éviter.

356 Liv. m. — cHAp. I — § m.

ScoLiR II. — Enfin , la démonstration que nous avons expospf pour le troisième ;cas , et celle qui se rapporterait au quatriàsc [les angles dièdres égaux], donne lieu à deux autres théorèmet analogues à celui qui a fait l'objet du n° 64 ; en voici les énonces:

i>> — . Lorsque deux faces d'un angle trièdre sont égales, chacw à chacune, à àeux faces d'un autre angle trièdre, si l'angle dièdre compris par les premières est plus grand que l'angle dièdn compris par les dernières, la troisième face du premier an«li trièdre est plus grande que la troisième face du second^ — et réciproquement.

2" — Lorsque deux angles dièdres d'un angle trièdre sont égaux, chacun à chacun, à deux angles dièdres d'un autre an^k trièdre , si la face adjacente aux deux premiers angles dièdres en plus grande que la face adjacente aux deux derniers, le troisième angle dièdre du premier angle trièdre est plus grand que le troisième angle du second; — et réciproquement.

FiG. a8o. THto&ÀME VI. (Fig, 280.)

N® 33T. — Dans tout angle polyèdre convexe SABCDEF, '•' somme des faces est moindre que ^ angles oeoits.

Coupons (n^ Si 9) Tangle polyèdre par un plan quelconque [nos parallèle aux arêtes]; nous obtenons ainsi un polygone ÂBCDEF, en dedans duquel nous pouvons prendre un point quelconque 0 que nous joignons par des droites aux différents sommets A , B, C, D , de ce polygone.

Cela posé, en considérant successivement les trois faces qui ont pour sommet commun le point A , puis les trois faces qui ont pour sommet commun le point B 9 et ainsi de suite , on prouvera, comme au n° 539 , que la somme des angles à la base de tous les triangifi qui ont leur sommet au point S , est plus grande que la somicf des angles à la base des triangles qui ont leur sommet au point 0; d*où , par compensation , la somme des angles au sommet S des premiers triangles est moindre que la somme des angles au sommet O des derniers triangles ; mais celle-ci vaut 4 angles droits ; donc la première somme est moindre que 4 angles droits.