LIV. III. GHAP. 1. — § IV
D'où il résulte que Ton peut encore considérer le prisme comut engendré par le mouvement d'une de ses bases parallèlement <. elle-même le long d*une arête latérale AA' ; et il est à remarqoer que , dans ce mouvement, le prisme passe par tous les états d' ^ra/ideur, depuis zéro jusqu'à V infini.
Il suffit, pour lui faire acquérir une valeur déterminée, de iikfier un plan parallèle à ABGDE , aussi près ou aussi loin de cette base, que cela est nécessaire.
iV. B. — Tout plan non parallèle aux bases partage le prisme en deux polyèdres que Ton nomme des prismes tronqués on de ironcs de prisme .
N^859. — Un prisme est dit triangulaire, quadranguUtin, pentagoncly etc., suivant que la base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, etc., c'est-à-dire, suivant qu'il a 3, 4> ^v pans.
On nomme prisme droit tout prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases ; — et dans ce cas , la hauteur est égale à Tune de ces arêtes.
Un prisme est dit régulier lorsque ses bases sont des pair gonc^ réguliers, et qu'il est droit. — Toutes les faces latérales sont alors des rectangles.
Enfin , tout prisme est décomposable en prismes triangulaires . il suffit , pour réaliser la décomposition , de mener des plans Sagonaux par les arêtes AA' et CC, AA' et Diy, qui n'appartienneot pas à la même face ( n^ 994).
FiG. 28a. N° 340. — Du parallélipipède (Jîg. a8a). — Lorsque les bas» du prisme sont elles-mêmes des parallélogrammes , k figure portr le nom de Pauallélipipède. — Le prisme est alors compris sous six faces parallélogrammiques opposées deujr à deux.
Dans tout parallélipipède , tes faces opposées sont égales ; rai m l'on considère les faces ABFE , DCGK , par exemple , on a
AB = DC , RF = CG (n° 74 , ,
DES POLYKDRES C:(mVKXKS. 359
et <i/7^/<r ABF = angle DGG (n** 598); donc ces deux, pnrallélogrammes sont égaux (n^ 78).
Il est visible, en outre, que toute section faite dans un parallé- Itpipéde est un paralléiagrammc (n® 518) .
Un parallétipipède est dit droit ou rectangle (fig* 283), suiTaot Fie. 'j83. que, les arêtes étant perpendiculaires aux bases, ces bases sont des parallélogrammes quelconques ou des rectangles; et dans ce dernier cas, toutes les fiices sont des rectangles.
Le parallélipipède rectangle prend le nom de Guaa lorsque la base étast an carré, VarAe Uuérale est, en outre, égaie a» côté du carre. — Ainsi, le cabc est, un prisme compris sous six cartes égaux entre eux; et il est aux polyèdres, en général» ce qtie le carré est aux polygones (n^* 80).
N** 541. — Des diagonales d'un parallélipipède. — On nomme arêtes opposées y deux arêtes, telles que AE, CG [fig» 285), pa- pic. 2^5. rallèleset non situées sur une même face ; et il résulte de cette définition que 9 pour chaque arête , il ne peut exister qu^ine seule arête qui lui soit opposée. Or, on compte en tout 1 2 arêtes dans un parallélipipède; donc, le nombre des couples d'arêtes opposées est égal à 6.
Chaque couple détermine un parallélogramme AEGG (a** 74) dont le plan est un plan diagonal (n? S94); ainsi , il existe 6 plans diagonaux. — Chacun de ces parallélogramines a deux diagonales qui sont dites les diagonales du parallélipipède. D*où il semble résulter que le polyèdre devrait avoir 1 2 diagonales. — Mais observons que chacune des diagonales , telles que AG , est commune àtroisphns diagonaux, ABGK, ADFG, AECG; donc, il n'y a réellement, dans tout parallélipipède, que 4 diagonales différentes, savoir : AG, BK, CE, DF; — les extrémités de ces diagonales sont dites les sommets opposés du parallélipipède.
Il existe, en outre, 12 autres diagonales qui sont situées à la surface du polyèdre: telles sont AC, AK, AF, BE, BG,....
36o Liv. m. — cHAp. I. — § ir.
I'»- î»85. TH^uiMR I. (/ïy^. 285.)
N** 548. — Xtfj quatre diagonales d'un parallélipède eonamrent en un même point; — et oe point est en même temps le miUeu de la droite qui Joint les centres de deux faces opposées ^ ainsi qm les milieux des arêtes opposées.
En efTety considérons d*abord les deux dîagcmales AG^CE, par exemple; comme eUes appartiennent au même parailék)gramme AGGE , il s'ensuit (n^ 76) qu'elles se coupent mutuellement en deux parties égales; soit O leur point d'intersection. Mais la même diagonale AG , et une autre diagonale DF, a{^>artienDat au parallélogramme ADGF; donc le point O ^ milieu de AG , CE, est aussi le milieu de DF. — On démontrerait de même que le point 0 est le milieu de BK ; aihsi la première partie de ht proposition est démontrée.
Maintenant la droite IL , qui joint les milieux I et L des deux diagonales du parallérogramme ACGE , passe par le centre O de ce parallélogramme (n" 72$) ; ce qui démontre la seconde partie de b proposition.
Scotiis- 1. — Le point O , milieu des quatre diagonales du pralléiipipède, ainsi que de chacune des droites qui joignent les centres de deux faces opposées, se nomme le centre du paralléli-
pipède ,
Fte, 983. ScoLiE II. — Dans tout parallélipipède rectangle AG {fig* 283),
le carré de chaque diagonale , DF, est égal à la somme des canri des trois arêtes , BF, 6A,t BG , qui forment un même angle trièdre B. Tirons la diagonale BD de la face ABCD. — Le triangle rectangle FBD donne
FD» = FB'-f-BD»; mais, par hypothèse, le triangle BDA est aussi rectangle en A; ainsi l'on a DB» = AB* -h AD' = AB» 4- BC ;
donc, en substituant pour DB' sa valeur dans l'égalité précédente ,
DES POLTKDBSS CONVEXES. 36 1
on obtient FD» = FB* -f- BA' 4- BC.
Même démonstration pour les trois autres diagonales.
D*où il résulte nécessairement que — Les quatre diagonales d'un paraUélipipède rectangle sont égales {n? 79).
De la pyramide.
N^ 545. — On donne le nom de Pt&amide à \\n polyèdre dont, une des faces étant un polygone quelconque , toutes les autres sont des triangles ayant un sommet commun , et pour bases respectives les côtés du polygone.
Un angle polyèdre [fig- 270) dont toutes les faces sont coupées p,Q. 3^. par un même plan MN , fournit une pyramide S ABCDEF.
La face ABCDE d*une pyramide SABCDE (fig. 286) , est dit la Fk. aSS. hase de la pyramide ; le sommet S y commun à tous les triangles SAB, SBC, SCD,..., porte, plus particulièrement, le nom de \ommet de la pyramide , et sa hauteur est la perpendiailaire SO ibaissée du sommet sur la base. — Les triangles SAB, SBC,.. ., se nomment les faces latérales ou les pans de la pyramide; enfin, SA, SB, se, en sont les arêtes latérales.
Une pyramide est dite régulière, lorsque sa base étant un po- Jgone régidier, son sommet et le centre du polygone sont situés tnr une même perpendiculaire à la base. — Dans ce cas, toutes es faces latérales sont des triangles égaux et isoscèles (n° 505).
Les perpendiculaires abaissées du sommet S sur les côtés de la )ase sont aussi égales , puisque les apothèmes du polygone réguler sont égaux ; et chacune de ces perpendiculaires se nomme ^apothème de la pyramide régulière.
Une pyramide régulière ou irrégulière , est dite triangulaire, juadrangulaire, pentagonale, suivant que sa base est un triangle, ui quadrilatère, un pentagone, etc. ; mais la pyramide triangu- ^^lire est plus particulièrement désignée sous le nom de TÉTiiAiuRE* -" C'est ainsi que nous la désignerons dorénavant.
302 Liv. III. — CHAP I. — § rv.
^^ a86- Théorème H. {Fig. 286.)
N^ 544. -* 7b«/ pian mené dans une pyramide paralièiemtf^ à sa base détermine une section semblable à cette base^ d ^s les arêtes latérales SA, SB,..., ainsi que la hauteur ^O y en parùt^ proportionnelles.
D'abord y puisque les plans ABCDE, abcde^ sont parallèles, il s'ensuit que les droites AB et ab , BC et bc^ CD et cdy,.,^ sont parallèles (n<> 518); donc déjà, les angles ABC et abc y BCDet 6n/, sont respectivement égaux (n^'SfiS). — De plus, les couples ^ triangles semblables SAB et S<z6, SBCet S^c,..., donnent (n*" 19S les suites de rapports égaux
SA:&z:: AB:a6 :: sb:s^, SB : S6 :: bc : bc :: se : Sc, se : Se :: CD : c£f :: SD : &/;
d'où , à cause des rapports communs ,
AB: ab :: BC: 6c :: cd: c<i ::....
Ainsi les deux polygones ABCDE, abcde^ sont semblabb (n« 198).
Maintenant, en ne considérant que les rapports entre les arrte> latérales, on a
dA : Sa : • 90 : oo • • sd • zsc , . . • . ^
d'où Ton voit que les arêtes sont coupées en parties proportionnelles.
Enfin, si, par l'arête SB et la hauteur SO, nous menons an pbn , son intersection bo avec le plan abcde sera parallèle à BO (n" 318) ; et les deux triangles semblables SBO , S6o , donnemoc
SO :So :: SB: S6 :: sa :Sflr ::...;
ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
DE l'sGALITÉ des POLYàuHES. 363
CoftOLLAi&s. -^ Lorsque deux pxramidcs S ABCDE y TMNP, ont des bases éqaipaientes [ bases que Ton peut toujours supposer sur un même plan] et des hauteurs égales, SO = TQ, ies deux sections abcde, mnp, faites par un même plan parallèle à leurs bases, sont aussi équivalentes.
D'ahord, puisque les polygones ABDCE, abcde, sont semblables, )o a la proportion
ABCDE : abcde :: AB' : ab'j
lonc, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus,
ABGDE : ahcde :: SO' : So\ Ensuite, les deux polygones lOP, mnp, donnent également
MNP : mnp : : TQ' : Tq' 'y )D a d'ailleurs par construction ,
SO = TQ, So=T^5
lonc ABa)E : abcde : : MNP : mnp.
Or, par hypothèse, ABCDE = MNP; donc aussi, abcde = mnp,
ScoLiE. — Si les bases des deux pyramides sont, non-seulencn! équivalentes, mais égaies et superposa b les , il doit en être le mcme des sections faites à la même hauteur* dans les pyramides ; car elles ne sauraient être semblables à leurs bases respccives, et équivalentes entre elles, sans être égales.
De l'égalité des polyèdres.
Théorème III.
N* 545, — Detùe poljèdres convexes qui ont les mêmes sommets f en même nombre , coïncident entièrement,
La démonstration étant tout ii l'ait analogue à celle que nous vons exposée pour les polygones (n" 88), nous nous contente-
