CHAP. I. — § IV

rops de renvoyer à cette dernière t il suffit de remplacer les mt cAtés et diagomales par les mot^/uces et plans diagonatur.

Fie. 087. THiORÉMK IV. {Fig. 287.)

N® 546. — Deux prismes quelconques sont égaux lorsqu'ils m un angle trièdre égal [ A, A' ] , compris entre trois polygones égau chacun à chacun et assemblés de la même manière,

D*abord , puisque les bases sont égales , et que Ton a en mène temps

ABGF = A' B' G' F', AELF = A'B' V F\

il s*6nsuit que les trois angles plans qui forment l'angle trièèt en A sont respectivement cj^aux aux trois angles plans qui forment Fflngle trièdre en A^ ce qui entraîne Tégalité des angW dièdres ( n" 55l>). Donc , si Pon [flace la base A'B'C'D'E' sur son égale ABCDE, les faces A'B'G'F', A'E'L'F', s'appliqueront sor leurs égales ABGF, AELF; ainsi ^ les points F', G% L% coiiidderont avec les points F, G, L ; et les plans des deux bases supérieures, ayant trois points communs, se confondront (n* 290 ; comme d'ailleurs ces bases sont égales, les autres sommets I', K', L coïncideront avec I, R, L; donc enfin, les deux prismes coïncideront (n" 34lf).

ScoLiB I. — Detu: prismes droits sont égaux lorsqu'ils ont vtt base égale et même hauteur.

Car si l'on place lesjdeux bases l'une sur l'autre, de manièif que leurs sommets homologues coïncident comme, par hypothèse, les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, dfe$ devront prendre la même direction; et puisqu'elles sont égales, les sommets des deux bases supérieures coïncideront; donc il cl sera de même des deux prismes.

ScoLiK II. — Il sera démontré dans VééppentUcc, que lesdeiu Fie. aSa. prismes triangulaires ABCEFG, ADGEGIL (fig. 282) sont symétriques ; et par conséquent ils ne sauraient , en général , être superfifosés , quoique ayant les faces égales chacune à chacune, ainsi que les angles dièdres. — C'est seidement lorsque le pamllélipipède est

DR L*^GALITK »BS POLYÀDEBS< 365

droit (Jlg, 283), que les deux prismes sont snperposables : il Fie. a83. suffit alors, pour les faire coïncider, de faire subir au second prisme un mouvement tel, que sa base inférieure BCD vienne s'appliquer sur son égale ADB. Gomme, par hypothèse, les deux prismes sont droits , les arêtes correspondantes prendront la même direction (n° 301); d'ailleurs elles sont égales; donc les sommets (les deux bases supérieures coïncideront; et il en sera de même des deux prismes.

Concluons de là que — Les deux prismes droits dans lesquels un mrallélipipède droit peut être décomposé par Vun des plans diagonaux ^ sont égaux et superposables,

THÉoaiMK V. (Fig, 288.) FiG. îi«8.

N® 547. — Deux tétraèdres sont égaux dans deux cas principaux:

I» — Lorsqu'ils ont un angle dièdre <?gi7/[DABC = D'A'B'C'J 'compris entre deux faces égales chacune à chacune et assemblées de la même manière ;

2* — Lorsqu'ils ont un angle trièdre égal[X , A' ] compris en trois faces égales chacune à chacune et assemblées de la même manière.

PïExiEa CAS. — Plaçons la face A'B'D' sur son égale ABD; — comme Tangle dièdre suivant A' B' est égal à l'angle dièdre suivant AB, le 'plan de la face A'B'C s'appliquera sur celui de la Face ABC; et comme ces deux faces sont égales, les droites B'C, A'C% coïncideront respectivement avec BC, AC. Ainsi, les sommets A% B% C, D', coïncidant avec les sommets A, B, G, D, tes deux tétraèdres coïncideront.

Second cas. — Puisque les trois faces de l'angle trièdre A' sont égales, chacune à chacune, aux trois faces de Pangle trièdre A, il s'ensuit (n° S90) que les angles dièdres suivant A'B'etAB sont égaux ; et la proposition rentre dans le cas précédent.

CoaoLLAiRB. — Veux tétraèdres sont égaux lorsqu'ils ont leurs arêtes égales chacune à chacune, et disposées dans le même ordre: