UV III. — CHAP. I. § IV

c^est-à-dire de telle façon que les triangles qui en résultent «nca égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière (if* SS5^, car alors les ûices sont égales.

ScoLiE I. — Deux tétraèdres sont encore égaux lorsqu'ils œt une face égale ^ ainsi que les angles dièdres adjacents égaux decun à chacun et disposés de la même manière; — car, si Ton ùk coïncider les deux faces égales, les plans des trois autres faces de second angle tricdre s'appliqueront sur ceux des trois faces correspondantes du premier. — Donc le point de concours des tn» premiers plans coïncidera avec celui des trois autres.

ScoLiE II. — Deux pyramides sont égales lorsqu'elles ont « angle trièdre égal compris entre trois faces égales chacune à chacune [la base et deux faces latérales] et assemblées de la même manière.

En effet, plaçons les deux bases Tune sur Tautre; nous démoatrerons, comme ci-dessus, que les faces supposées égales dmveot coïncider. — Donc les sommets des deux pyramides coincideroot; donc, etc.

N® 548. — Décomposition d*un polyèdre en tétraèdres. Avant de passer à la théorie des polyèdres égaux, en généni« nous donnerons d'abord quelques notions sur leur décomposidon en tétraèdres.

De même qu'il existe (n^ 85) plusieurs moyens de décomposer un polygone en triangles, de même aussi un polyèdre quelconque peut être décomposé en tétraèdres de plusieurs manières dont les deux principales sont analogues à celles qu'on a employées pour les polygones.

P&EMim MOTXN. — Concevons un point O pris arbitrairement dans l'intérieur du polyèdre [supposé convexe] ; puis par ce point, et par chacune des arêtes , faisons passer une série de plans : — tous ces plans se couperont deux à deux suivant des droites et»courant au même point O; et ces droites détermineront, avec les différentes faces du polyèdre, autant de pyramides, triangulaires, quadrangulaires , etc. , qu'il y a de faces dans le polyèdre,

DR l'Égalité oms polyàdres. 367

toutes ces pyramides ayant d'ailleurs le point O pour sommet commuD.

Maintenant, si dans chaque fiice, quadrangulaire, pentagonak, etc. , on mène d*un même sommet des diagonales à tous les iiitres, on aura ainsi décomposé la surface polyédrale en trian|^es, H Ton obtiendra ainsi dans le polyèdre autant de tétraèdres ayant pour sommet commun le point O, que Von aura de triangles sur ta surface totale 9 ces triangles étant d'ailleurs les bases des différents tétraèdres.

Skcohd motxn. — Considérons un sommet quelconque A du polyèdre 9 et décomposons en triangles chacune des faces » autres |ue celles qui concourent au point A [par des diagonales menées Tun même sommet 9 pour chaque face]; puis par le point A , et les différents côtés de tous ces triangles , faisons passer des plans. Il est facile de voir que Ton aura ainsi décomposé le polyèdre en wtant de tétraèdres, ayant tous pour sommet commun le point i, que Von aura de triangles dans les faces du polyèdre, excepté celles qui concourent au point A.

Ainsi, dans le parallélipipède , par exemple, comme chaque togle solide est trièdre, il reste à décomposer trois faces, dont chacune donne deux triangles; donc le polyèdre est égal à la ionuDe de six tétraèdres ayant poiur sommet commun le point A fig, 28a) , et pour bases les triangles dont nous venons de parler, fio. 28a.

N*^ 549. — Remarque importante sur ces deux modes de déimposition. — Quel que soit celui des deux modes que Ton em* ploie, on est conduit à diviser les tétraèdres qui, par leur enlemble , constituent le polyèdre total , en deux espèces principales, ttToir : des tétraèdres extérieurs et des tétraèdres intérieurs.

On nomme tétraèdres extérieurs ceux qui ont ou deux ou trois faces placées à la surface du polyèdre ; et tétraèdres intérieurs ceux qui n'ont qu'une seule face placée à la surface : c'est la base même dn tétraèdre.

La figure 289, où la décomposition du polyèdre a été faite Fio. 289. d'après le second mode [celui dont nous faisons le plus souvent