B LIV. III. — CHAP. 1. — § IV

usage] , est propre à faire comprendre les deux e^ièoes de tetivdres dont nous venons de parler.

On distingue, dans le polyèdre ABCDEFGRILM, 7 faces am^îieurrs : ÂfiDE , BCD , DEF, CDFG , CGK , KGB, KfiAI ; et 5 faces postérieures: ALMFE, GMF, GMLK, LIK, AIL.

Si l'on prend le point A , par exemple, pour sommet oonuDOD, comme, en ce point, viennent se réunir les quatre faces, KfiAI, ABDE, AIL, ALMFE, il n'y a lien à décomposer en tnanglesqoe les faces antérieures BCD, DEF, CDFG, CGK, KGB, ce qui donne déjà 6 triangles; puis les faces postérieures LIK, GLMK, GMF, ce qui donne 4 triangles. — D'où il résulte que le polyèdre est décomposable en 10 tétraèdres ayant le point A pour sommet commun.

iV^. J9. -^ Il y a de l'avantage à prendre un soihmet où Tiennait aboutir le plus de faces possibles.

Les tétraèdres ABCD, ADEF, AKGG»..., sont de la première espèce , comme ayant ou trois faces situées à la surface du polyèdre, ou deux faces.

Le tétraèdre AMGF est de la seconde espèce; car le triai^e GMF est la seule face qui soit située à la surface du polyèdre, k$ arêtes AG , AM , AF, étant intérieures au polyèdre.

En général, l'espèce peut être déterminée facilement d'aprë l'inspection de la base [A étant le sommet] et des Êtces latérales.

Nous ajouterons que , dans les tétraèdres de la première espèce, trois angles dièdres, ou un seul angle dièdre, sont des angles dièdres même du polyèdre; tandis que dans les tétraèdres de la seconde espèce, c'est-à-nlire dans les tétraèdres dits intérieurs, les angles dièdres sont toujours des différences entre def angle dres appartenant, soit au polyèdre, soit à des tétraèdrea rieurs y soit à d'autres tétraèdres intérieurs.

Cela tient à ce que tous les tétraèdres qui composent la figure sont réunis les uns aux autres par des faces communes, et sans jamais se pénétrer.

Toutes ces remarques seront fort utiles par la suite , et l'on ne saurait trop chercher à les bien comprendre.

DU POLTiDKES CONVRXBS. 36g

N" SaO. — Égalité des polyèdres .quelconques. — Deux polyèdres sont dits ^auK et superposables , quand od peut tes amener .t roïncider entièrement.

D'où il résulte — l'que — Deiu; polyèdres égaux ont coules leurs ar&es et foutes leurs diagonales égales chacune à chacune i

Que 2" — Us peuvent ^e décomposés en un même nombre de té- Irartlres égauxet disposés de la même manière;

Que 3" — Toutes leurs faces sont égales chacune à chacune, ainsi que leurs angles dièdres.

Les deux dernières propositions sont susceptibles de récî proques qui feront l'objet des théorèmes suivants.

Tnto&iHK TI.

N° 381 . — Deux polyèdres sont égaux lorsqu'ils sont composés d'un même nombre de tétraèdres égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.

Car ces tétraèdres étant , dans les deux polyèdres , adjacents les uns aux autres (n" 549) et disposés dans le même ordre, il sutBra de faire d'abord coïncider deux de» tétraèdres égaux pour que tous les autres coïncident sureessiveraent; el alors les deux po- Ivèdres coïncideront.

THio&ÈMB VII.

N° 584. — Deux polyèdres sont égaux lorsqu'ils ont les/aces traies chacune à chacune et disposées de la même manière , ainsi <}iie les angles dièdres.

En effet, les deux polyèdres étant décomposés en tétraèdres [d'après le deuxième mode (n''S18)],si l'on compare d'abord deux à deux tous les tétraèdres qui ont deux ou trois faces placées à U sorfoce da polyèdre , en d'antres termes , les tétraèdres extérieurs (n° 849) , ces tétraèdres sont ^nx (n° 547') , soit comme afant un angle dièdre ^al [appartenant aux deux polyèdres] compris entre deux faces égales, soit comme ayant trois faces égales [trianglea homologues dans les deux polyèdres]; d'où l'on déduit que toutes les autres parties de ces tétraèdres extérieurs sont égales chacune à chacune.