CHAPITRE IL

DES TROIS CORPS RONDS. — DU CYLINDRE, DU CONE, ET DE LA SPHÈRE. — POLYÈDRES RÉGULIERS.

Ce chapitre aura quatre paragraphes : Le premier traitera du cylindre et du cône; le second de la sphère et de ses principales propriétés; le troisième de la théorie des triangles et àe& polygones sphériques; et le quatrième, des polyèdres inscriptibles ou circonscriptibles , et en particulier^ des polyèdres réguliers. ^

§ I. — Du cylindre et du cône.

Du cylindre droit.

N» 305. — On donne le nom de Ctlindee deoit [celui dont baite spédalement la Géométrie élémentaire] à la figure engendrée par la révolution d'un rectangle ABDC {fig. 290) autour d'un de Fig. a^. ses côtés, ABy qui s'appelle alors Vaxe du cylindre, ou sa hauteur.

Dans ce mouvement, le côté CD, opposé à AB, engendre une portion de surface que l'on nomme la suif ace cylindrique; et les cotés BD, AG , ne cessant pas d'être perpendiculaires à AB, décrivent des cercles dont les plans sont aussi perpendiculaires à AB ; ces cercles se nomment les hases du cylindre; et la droite CD est dite là génératrice ou V arête de la surface cylindrique. — La généra^ trice du cylindre droit est égale à sa hauteur, c'est-à-dire à l'axe.

Dans ce même mouvement, chacun des points I, de l'arête, restant toujours à la même distance de l'axe, décrit une circonférence de cercle dont le rayon 10 est perpendiculaire à l'axe , et égal au rayon CA ou DB, des deux bases; ce que l'on exprime^ en disant que :

372 LIV. III. — CBAP. n. — § X.

Toute section faite parallèlement aux hases est égale à chacune de ces bases,

D*où Ton voit que le cylindre peut encore être considéré oomne engendré par le mouvement de l'une de ses hases paraUèletnent à elle-même le long de la génératrice; et dans ce mouvement, k surface cylindrique est engendrée par la circonférence.

FiG. ago. TnioaiME I. [Fig. 290.)

N<» 5IU. — Tout plan EFGK mené parallèlemeni à l'axe AB d*un cylindre, et passant par une corde £F de la hase, coupe la surface cylindrique suivant deux génératrices £G , FK.

En effet, puisque ce plan est parallèle à AB et passe par \t point E y il doit contenir (n® 8 £5, coroL I) la parallèle à AB menée par ce point; ainsi il contient la génératrice EG. — De même, puisi|iiHl passe par le point F, il contient la génératrice FK correspondant à ce point.

Ainsi (n^ i)» les génératrices EG, FK, sont les intersectîoDs du plan avec la surface cylindrique.

N.B. — La figure EFGK est d^ailleurs un rectangle.

ScoLiK I. — Lorsque le plan passe par Taxe lui-même, la section GDD'C est évidemment un rectangle double du rectu^ générateur; et les deux génératrices correspondantes sont ditoi des génératrices opposées.

Si le plan parallèle passe par une droite LL' tangente à la btse au point M, il porte le nom de plan tangent au cylindre, para que, dans ce cas, il n'a de commun avec la surface que la sede génératrice AIN menée par le point de contact. On conçoit, a effet , que nul autre point de ce plan , situé de l'un ou de VvoSat côté de MN , ne saurait se trouver en même temps sur la su^Kf cylindrique : car, si cela était , comme la génératrice correspondant à ce point devrait aussi appartenir au plan (n<* 385), il faudrait que cette génératrice rencontrât la base sur la droite LL', ce qui est absurde.

lue plan tangent au cylindre est donc le plan conduit en même temps suivant une tangente à la base, et suivant la génératrice qui

DU CTLIHDEB ET DU CONE. 3']3

passe par le point de contact: sa propriété caractéristique est de toucher la surface dans toute l'étendue de la génératrice, en ce sens que

Tout plan perpendiculaire à l'axe coupe la surface cylindrique suipant une circonférence de cercle, et le plan tangent suipant une tangerue à ce cercle.

N^ SlMt. — S<iOLiB n. — Si l'on inscrit et si Ton circonscrit à la circonférence de la base inférieure différents polygones , et que par les côtés de ces polygones, on conçoive des plans perpendiculaires à la base , ces plans couperont la base supérieure suivant des polygones égaux à ceux de la base inférieure , et détermineront avec ces polygones, des prismes (n** 538) que nous nommerons des prismes inscrits ou des prismes circonscrits au cylindre.

Lorsque les polygones sont réguliers, les prij^mcs eux-mêmes sont des prismes réguliers (n® 350).

Considérons en particulier un prisme régulier circonscrit, et supposons que le nombre des côtés de sa base devienne infiniment grand; dans ce cas, le périmètre du polygone se confondra avec la circonférence de la base du cylindre (n® M5), d'où il suit que le cylindre peut être considéré comme un prisme régulier d'un nombre infini de faces rectangulaires, ayant pour hauteur com^ mune celle du cylindre, et pour hases les éléments (n** 943) de la hase du cylindre.

TaioaiME H. {Fig. 291.) *"«• «9»

N^ 536. ^ La suif ace latérale de tout cylindre droit peut être déoeloppée sur un même plan , et représentée par un rectangle ayant pour hauteur celle du cylindre, et pour base la longueur de la circonférence du cylindre, supposée rectifiée (n^ 5141).

Pour fixer les idées, prenons d'abord un prisme bexagonal régulier, ABCDEFA'B'C'iyE^F', circonscrit à un cylindre dont la base a pour rayon 01 , et dont la hauteur est AA'.

Supposons, en outre, que sur une droite indéfinie ax, on ait porté des parties ab y bcy,,,^ fa"y égales aux côtés AB, BC, CD,..., FA, du polygone, et qu'ensuite on ait élevé les perpendiculaires aa', bb', c^,..., a^a'^y égales à la hauteur AA'. — Il es(

374 "V. III. — CHAP. 11. — s I.

bien évident que le rectangle aa^aTa? représentera [dans sa véritable grandeur] la surface latérale du prisme , développée sur on seul et même plan.

[Pour se rendre compte autrement de cette propriété, il suffit de concevoir que le rectangle BCG'B' tourne autour de BB' comme charnière et vienne prendre position sur le plan du rectangle ABB'A', que le rectangle GDD'C tourne ensuite autour de CC' pour venir prendre position sur le plan des deux premien; et ainsi de suite : c^est en cela que consiste ce que Ton nomme le dépeloppement d'une surface sur un plan.]

Maintenant , comme on peut répéter les mêmes opératioDS pour les prismes réguliers de 12, 249... côtés, il s'ensuit que Toc pourra arriver ainsi à un dernier rectangle all'a! ayant pour liaDteur aa! == AA', et pour base une certaine ligne al égale en longueur à la circonférence 01 rectifiée ; C Q. F. />.

N. B.^ — Les petits rectangles ag^a\ gAk'g'f,,,. représentent ici les éléments superficiels de la surface latérale du cylindre, correspondant aux éléments agy g^X* ,.... de la circonférence OI de U base.

Du cône droit,

Mf^ |S57. — Le Cône dboit est une figure engendrée par la rtr Fie. 291. volution d'un triangle rectangle SOA {fig. 292) autour d'un d« côtés de Tangle droit, SO, que Ton nomme Vaxe du cône.

La surface engendrée dans ce mouvement, par Thypolenose SA , s'appelle surface conique; et la droite SA en est la génératrkt ou V arête. — Le cerde décrit par le second côté AO du trianglt: rectangle est la base du cône; et l'axe SO en est dit auso la hauteur. Enfin le point S se nomme le sommet du cône.

Dans ce même mouvement, un point quelconque I de Farétir SA décrit un cercle dont le rayon 10', perpendiculaire à Taxe SO, est évidemment au rayon OA de la base, dans le rapport dt la distance SO' à la distance SO.

D'où il résulte que — Toute section faite dans un cône parallèlement à la base [ou perpendiculairement à l'axe] est une circonférence de cercle.