DU CYLINDRE ET DU COHE

Tnio&ÉifE in. (Fig. 292.) Pic. 393.

N® S^. — Tout plan mené par le sommet d'un cône droit et par uni corde £E' de la base , coupe la surface conique suivant deux génératrices SE, SE', égales à SA.

En effet, oe plan, passant par les trois pmnu S, E, E% doit contenir chacane des deux génératrices SE , SE', qai correspondent aux points £ , E^ -^ Ainsi (n® i) SE , SE', sont les inter* sectioa^ da plan avec la surface conique.

Lorsque le plan passe par Taxe SO , c'est-à-dire est mené par le sommet S et un diamètre de la base , la section résultante est un triangle isoscèle ASA' doubla dn triangle OSA; et les deux génératrices correspondantes SA, StA', sont dites des génératrices ou des aréles opposées.

N^ 5IS9. — Scoux I. — Un plan est dit tangent au cône , quand il passe par une arête SH et par la tangente LL' àja base, menée par le point M. — En effet, aucun autre point pris de Tun ou de l'autre côté de l'arête SM, dans le plan SLL% ne saurait appartenir à la surface coniçae : car, si cela était, en joignant ce point au sommet S , on aurait une autre génératrice qui , étant située dans le plan SLL', rencontrerait la base suivant la droite LL% ce qui ^ absurde^ paisque, par hypothèse , LL' est tangent à la base.

Le plan tangent au cône , comme le plan tangent au cylindre (n* Stt4, «ro/. I), touche la surface conique dans toute l'étendue de la génératrice, ea ce sens (pe

Tout plan perpendiculaire à i'axe coupe la surface conique suipant une circonférence de cercle (n® 5*57), et le plan tangent suivant une tangente à ce cenA.

N<* 360. — ScoLiE n. — En inscriTant et circonscrivant des polygones à la circonférence de la base, puis faisant passer succèsàvement des plans par les côtés de ces polygones et par le sommet dacône, on forme ùnsi des pyramides inscrites et des pyramides circonscrites à la surface conique.

Lorsque ces polygones sont réguliers, les pyramides sont aussi dites régulière {n? 545).

3^6 LIV. III. CHAf. II. § I.

Dans les pyramides régulières circonscrites, la droite nonuDtfc apothème [même numéro] est constamment égale à la génératrice SA du cône.

Enfin, on peut dire, en s*exprimant ici câmme pour le cylindre (n° 5i55) , <|ue

Le cône est une pj ramifie régulière d'un nombre infini dejace^ triangulaires, tous ces triangles ayant pour hauteur commumc U ^ génératrice ou l'arête du cône, et pour bases , les éléments de lu

circonférence de la base du cône.

Fir.. i'Sq Tbiéoràme IV. {Fig, 298 et 293 bis.)

et 29I his,

N'' 561. — La surface latéral d'un cône droit quelconque pat toujours être développée sur un plan, et représentée par un secitar circulaire (n** 251) ayant pour rayon l'ardte du cône, et pour base un arc tle cercle égal en longueur à la circonférence de U base.

Considérons d^abord la pyramide hexagonale régulière circoo- Fie. !ig3. scrite au cône dont la base a pour rayon 01 {fig* 293), la gén^^ ratrice ou l'arête SI étant en même temps l'apothème de U pyramide; et tâchons d'opérer le développement de ses faces lateraies sur un même plan. — Il suffît, pour cela, de ooncevoir quf la face SBC tourne autour de SB comme charnière, jusqu'à ce qu'elle vienne prendre position sur le plan de la face SB A; après quoi, Ton peut faire tourner la face SCD autour de SC, de manière que son plan vienne se confondre avec celui des deux premières, et ainsi de suite. On obtiendra ainsi le développement de la pyramide.

Ce développement , représenté pai;^ six triangles isoscèles sah , fie. 293 hit. sbcy.,,^sfa'{fig, 293 bis) y adjacents les. uns aux autres sur un même plan, détermine un secteur polygonal tabcdefa' (tie^%SS>) nyant pour base une ligne brisée régulière abcdefa'^ telle que la somme des angles au centre s sera moindre que 4 droits (n*SS7U et égale en longueur au périmètre de la base de la pyramide. Tapothème de ce secteur étant d'ailleurs l'arête SI du cône auquel Ij pyramide est circonscrite.

Maintenant, comme ces constructions peuvent s'exécuter quel

DE LA SPRiâB RT DE SES PRlNClPALlRS PAÔP&IKTES. 877

]ue soit le nombre des faces lie la pyramide régulière circonscrite, i\\e& sont applicables à la surface conique qui en ^t la limite; et dors il est éTÎdent que le développement sera représenté par un lecteur drcnlnre dont la base est un arc égal "en longueur à la idmme des éléments de la circonférence de la base du c6ne , le ayonde cet arc étant d'ailleurs Taréte ménie SA y ou 4a génératrice da côoe; C. Q. F. D,

Sgol». — Les surfaces coniques et cylindriques ne sont que des cas particuliers d'une classe générale de surfilées que Ton \i»mme surfaces déçeloppables , et dont il sera question dans le second Appendice y où nous reviendrons également sur les surfaces cylindriques et coniques 'considérées sous an point de vue beaucoup plus général

§ II. — De la sphère et de ses principales propriétés.

N° 568. — Une Sphàrb est la figuVe décrite par la révolution d*un demi-cercle AMB {fig, 294) autour d^un de ses diamètres f*»* a94- AB ; — la surface engendrée par la demi-circonférence se nomme

SUBFACK SPHiRlQlïE.

Dans ce mouvement, chaque point M de la demi-circonférence décrit une antre circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution AJB , et dont le centre P est situé sur cet axe , le rayon étant d'ailleurs MP.

Dans ce même mouvement , tous les points de la demi-circonférenoe génératrice y AMB, restent également distants du point O, centre de cette circonférence; d*où résulte une autre définition de )a sphère et de sa surface :

La sphère est \me figure terminée par une surface dont tous les points sont également distants d'un même point que Ton appelle centre, — Toute droite menée du centre à la surface est dite un rayon; toute droite passant par le centre et terminée de part et (l'autre à la surface , se nomme un diamètre de la sphère, {f^oyez, )e n*" 15 pour la définition du cercle.)