DE LA SPHERE ET DE SES PRINCIPALES PROPRIETES

ce qui démontre que le rayon r d*un ^tit cercle diminue à mesure que la distance du centre de la sphère au plan de ce petit cercle augmente; et vice versd,

ScoLiE II. — On donne le nom de pôles d'un cercle aux deux points L y Uf où la perpendiculaire , abaissée du centre de la sphère sur le plan de ce petit cercle , rencontre la surface sphérique ; et la droite LL' est dite Vaxe de ce cercle.

Ces points L, L^, et la droite lAJj sont en même temps les pôles et Taxe de tous les cercles parallèles au cercle MNPQR , et en particulier du grand cercle AGBD.

Ainsi , — L'axe d'un grand cercle de la sphère est le diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle; — les extrémités de ce diamètre en sont \es pôles.

ThiLorème U. (Fig. 296.) Fie. 296.

N» 564. — Tout plan mené par l'axe AB d'un petit cercle VQKS^ détermine fin grand cercle BPAR, BDAD',.**» perpendiculaire au plan de ce petit cercle et à fous ses parallèles.

En effet y on vient de voir que AB est perpendiculaire au plan PQRS ; donc il en est de même de tous les plans passant par cet axe (o*» 309).

Ces plans sont dits des méridiens du petit cercle , ainsi que de tous les parallèles (n® 3fl0), et en particulier du grand cercle CDCD', qui en fait partie.

ScolieI. — Tous les arcs de méridiens VP y BQ, BR,..., compris entre un petit cercle et chacun de ses pôles , sont égaux : — cai* si Ton tire les cordes BP, BQ, BR^..., elles sont toutes égales in» 505).

Chacun des arcs de méridiens, BPC, BQD, BRC',..., correspondant à un grand cercle CDG'D', est un quadrant, puisque

les angles rectilignes BOG , BOD , BOG^ . . . , sont droits.

f ScoLiE n. — Un grand cercle CDG'D' ne peut avoir qu'u/i seul

méridien passant par un point donné sur la surface de la sphère ,

38o LIV. 111. CHAP. 11. § 11.

soit C sur ce grand cercle , soit Q an dehors [pourvu toutefois qu 2 soit différent du pôle] : car ce point et Taxe AB déterminent os plan (n<» 891)^

Quelquefois , l'arc de cercle QD , dont le plan est perpendicBlaire à celui de la circonférence CDG'D^ est dit lui-même perpendiculaire à cette dernière.

ScoLiE III. — Il résulte enfin de ce qui vient d*étre dit, que, pour obtenir sur la surface d'une sphère le pdle d'un grand cercle GDC'D', il suffit de concevoir, en deux points G, D, de ce cercle, deux arcs de grand cercle , GB , DB , perpendicalaires à CDCD', que Ton prolonge jusqu'à leur rencontre mutuelle aux points A et B , ou bien encore un senl arc GPB perpendiculaire à CDeté^sI à un quadrant.

Réciproquement, le pôle d'un grand cercle étant donné, pour obtenir ce cercle , il faut , de ce pôle, et avec une ouverture égale i la corde d'un quadrant, décrire (*) une circonférence: ce aen celle du cercle demandé.

F»«- 396 TnioRiME ni. {Fig. 296.)

N® 56tf . — Tout plan MN mené par l'extrémité A d'an rayw et la sphère, perpendiculairement à ce rayon , est tangent à la sphère — [ce qui veut dire que ce plan n*a qu'un point commun avec U surface sphérique].

Gar, toute droite 01 , menée du centre de la sphère à un poifit quelconque I du plan MN , est une oblique à ce plan ; donc eUeest plus longue que OA (n^ 505) ; ainsi ce point est situé hors de U sphère.

B^ciPROQUXMENT, — Un plan qui n'a qu'un point commun opet la sphère, ou un plan tangent, est perpendiculaire au rayon qui ■ passe par le point de contact : — car ce rayon est la plus cooite distance du centre à tous les points du plan.

i*) Il existe des instruments, nommés compas sphériquet, à Taide desquels on peut décrire des circonférences sur une surface sphérique, eomnc on les décrit sur un plan avec le compas ordinaire.

Dl Là SrHÂKB ET DB 3KS ratHCtPU.ES PKOPRliT^. 38 1

CoKOLLAiaB. — Tout plan mené par le point de contact A eoi^ I tphère suivant an grand ou lui petit cercle , et le plan tangent livant une tangente à ce cercle : — car, si cette droite avait quelae poÎDt iotérienr aa cercle , le plan tangent aurait aussi an point ilérieur à la sphère , ce qui est absurde.

N" 366. — ScoL». — Soient deux grands cercles ACBC', ADBD', lencs par le diamètre AB , et A£ , AF, les deux tangentes qui isultent de l'intersection du plan tangent et des plans des deux rands cercles. — L'angle EAF étaat formé par des perpendiculaires AB , menées respectiveinent dans les deux plans , mesure (a" 808} angle dièdreCBAD.

CeraénDeangle dièdre a aussi pour mesure l'angle au centre COD, XTDépar deux droites OC, OD, perpendiculaires à AB, ouparaliles aux tangentes AE, AF, ou bien encore (n" 1 19) , l'arc CD ompris entre les cAtés de cet angle.

N. B, — On nomme Fuseau spHiaiQua la portion de la surface phcrique comprise entre deux demi-circonférences de grand cercle; t ONGLET svaiaiQnx, y espace renfermé entre les deux demi-cercles Ile fuseau, espace qui n'est qu'une portion de l'angle dièdre orrespondant à ce fuseau.

Des sphères sécantes et tangentes.

N'*367. — Proposition préliminaire. — De ce que la surface fkérique est une surface rentrante et fermée, il résulte nécessai- «DKDt que, ù deux surfaces iphériques sont tellement placées l'une AT rapport ï l'outre , que la seconde , par exemple , ait tut ou pluieunpointsi'jiA^neii/vàla preiiiière,etenménie tempsiMOupluieurs points extérieurs k celle-ci , les deux surfaces se coupent.

Od donne le nom de Ugne des centres à la droite indéfinie qui oint les centres des deux chères : c'est dans cette direction que « mesure la distance des centres.

TnioiiiME IV. {Fig. 297.) F

N° 368. — Lorsque deux surfaces sphériques se coupent , la igne d'intersection est une circonférence de cercle dont le plan est

382 LIV. m. — CHAP. II. — § III.

perpendiculaire à la ligne des centres, et dont le centre est li/Br sur cette droite.

Soient , en effet , O, 0', les centres de deux sphères , M un poim commun à leurs surfaces , et MP la perpendiculaire abaissée do point M sur la ligne des centres. Menons un plan par les troè points O, (y, M: ce plan déterminera (n°S63, scoL I) dam b deux sphères , des grands cercles dont les circonférences pas»ront toutes deux par le point M. Or, en supposant que les àm demi-cercles AMB, A'MB', fassent une révolution entière autoor de l'axe commun AB', il est clair que, dans ce mouyement, ia perpendiculaire MP décrira un cercle commun aux deux sphérs ainsi engendrées (n*^ 562). — Donc, celles-ci se coupent suiTaot un cercle dont le centre est sur Taxe, et dont le rayon est lape^ pendiculaire abaissée du point commun M sur cet axe.

ScoLiE. — Quelle que soit la position relative des deux sphère dans l'espace , comme tout plan conduit suivant la ligne des centres détermine deux circonférences dont les centres et les ravogs sont ceux des sphères elles-mêmes , il s'ensuit que les condibocs de contact et à' intersection de leurs surfaces sont, en tous points, identiques avec celles qui se rapportent à deux circonférences. - Ainsi, pour énumérer et démontrer ces différentes conditions, il suffit de se reporter au paragraphe iv du 7.^ chap,y liv. I.

Nous nous bornerons à énoncer ici la condition relative au c^*'tact :

Lorsque deux sphères se touchent, la distance des centra fi égale à la somme ou à la différence des rayons. — Elles o^ d'ailleurs, au point de contact, un plan tangent commun.

§ III. — Des triangles et des polygones sphériqu£S,

ÎFio. 398. N» 569. — Introduction. — Soit O {fig. 298) le centre d'mie sphère. Considérons ce point comme le sommet d'un angle polyèdre convexe qui satisfasse d'ailleurs à la condition établie aii n^ 529, c'est-à-dire tel, que toutes ses faces soient situées duo même côté par rapport à un certain plan mené par le point 0. — Cela posé, les plans de ces faces rencontrent la surface sphérique

D£S POLVCONU SPHÉBIQUES. 383

iivant des circonférences de grands cercles, qui, ensecoupaot eux. k deux, déterminent un polygone ABCDE que nous nomlerons un polygone sphérique. '

Or, d'après ce qui vient d'être dit , les sommets A , B , C , D , E , e ce polygone doivent être tous placés sur le même faémi^hère élcrminé par le plan MNP indiqué plus haut , plan que l'on prend rdinairement pour celui de la figure.

Les arcs de grands cercles, AB, BC, CD,... qui, par leurs in- .Tsectioiis mutuelles, déterminent le polygone, sont dits Us côtés e ce polygone, dont les angles en A, B, C,..., ne sont autres, n valeur, que les angles dièdres f&rmés par les plans de ces rands cercles ; car ces angles dièdres ont nécessairement pour lesure (n' 366) les angles reclilignes formés respectivement aux oiotsA, B, C,... parles tangentes aux arcs AB et AE.BCet BA,

0 et CB,..., ou bien encore, les angles que forment au centre de

1 sphère les droites menées respectivement dans les plans des rands cercles, T^eTiefKA'cu/iiJr^/nenr aux arêtes des angles dièdres.

Dans le cas particulier d'un triangle sphérique ABC [fig, 299), Fre. agg. : plan de la figure peut être déterminé .d'une autre manière :

Concevons d'abord le plan qui passe par les trois sommets >, B, C : — ce plan coupe (n" 568] la surface sphérique suivant ae circonférence qui ne peut être que celle d'un petit cercle, loisqtie, autrement, le plan contiendrait le centre de la sphère; I les trois points A , B , C , se trouvant alors sur une même cironférence de grand cercle, ne sauraient former un triangle.

Maintenant, si nous menons par te centre O un plan HNP pa- * aUèle à celui des trois points A , B , C , il est clair que ces points eroDt situés sur l'un des deux hémisphères que détermine le plan <C<P; et c'est ce plan que nous pouvons prendre pour celui de la ■sure, — Ainsi, nous supposerons toujours dorénavant que la orface d'un triangle sphérique est entièrement comprise sur un néme hémisphère.

Des triangles spkériques en particulier.

N° 570. — On ne considère ordinairement, dans la Géométrie 'fmc/KniPF, que les triangles formés par des arcs de grand cercle)