CHAP. II. — § III

— de plus, puisque le triangle doit être placé sur un mànehenisphère en vertu du numéro précédent, il s'ensuit que — Chaqae côté est moindre qu'une demi-circonférence.

On doit d'ailleurs remarquer que , si l'on prolonge dans too&ia sens les faces de l'angle trièdre au centre , correspondant à o triangle sphérique donné, les plans de ces faces déterminent sur ii

surface de la sphère sept autres triangles dont les éléments oot, avec ceux du triangle donné , les mêmes relations de position [et àt grandeur] que les éléments des huit angles trièdres auxquels du* nent lieu trois plans qui se coupent en un même point (n** S95);et chacun des côtés de tous ces'triangles sphériques est ainsi moiodir qu'une demi-circonférence.

N® 571. — L'analogie qui existe entre un angle trîèdrf u centre d'une sphère et le triangle sphérique qui lui sert de bee, fait pressentir que les propriétés de celui-ci sont des conséquence) nécessaires des propriétés de l'angle trièdre.

Ainsi, par exemple, on est conduit presque immédiatement aux propositions suivantes :

Fifi. 399. 1° — Dans tout triangle sphérique ABC {^g' ^gg), un ràr quelconque est moindre que la somme des deux autres : I

Car, dans l'angle trièdre OABC , on a

AOB < AOC -h BOC (n» 551) ;

or, les arcs AB , AC , BC , étant décrits avec le même rajoD , peuvent servir de mesure aux angles qui leur correspondent ; et IVs

* a par conséquent , AB <^ AC + BC.

Par suite , un côté quelconque d'un polygone sphérique ABCD£ FiQ. a^. (fig» 298) est moindre que la somme de tous les autres;

29 — La somme des trois câtés d'un triangle sphérique a(' moindre qu'une circonférence entière, puisque , dans l'angle trièdie' correspondant, la somme des trois faces est moindre qnei^<Mf (n»55S); I

3° — Un triangle sphérique peut être unirectangle [ou simplement rectangle] y birectangle, trirectangle : car un angle trinirt peut avoir (n** 552, scol. \) un seul angle dièdie droit, ou thus^ ou même trois angles dièdres droits.

DBS TRIANGLES SPHERIQUKS. 385

4*^ — Dans tout triangle sphéricité isoscèle, aux côtés égaux mt opposés des angles égaux.

Car si Ton a AB =: AC [fig- 299) , par exemple , Tangle AOB est Fie. 9991. gala AOC; et l'angle trièdre OABG étant isoèdre, il en résulte ne les angles dièdres suivant OC , OB , sont égaux (n** 554 , N. B,) ; onc Tangle C est égal à l'angle B.

Et ainsi àes autres propriétés analogues à celles des n^ 555 et suiv.

£0 un mot y dans le déyeloppemçnt des autres propriétés des nanties sphériques, il nous sufBra le plus souvent de rappeler es propriétés analogues des angles trièdres; comme nous pour- (Mis aussi en donner des démqiDStrations directes toutes les fois [ue ce procédé nous semblera plus simple. — C*est ce que nous lions fidre pour la proposition suivante qui correspond à la projeté de' l'angle trièdre supplémentaire.

Du triemgle polaire,

K° 978. — Un triangle sphérique ABC {fig. 3oi) étant donné-, Fig. Hoi •upposons que le point C! soit celui des deux pôles de Tare AB 0^^563, scolie II) qui se trouve situé d'un même côté que le iommet C par rapport au plan AOB, et que B', A', soient les >ô1es analogues des arcs AC, BC; puis, parles trois points A\ ^'} C I faisons passer des arcs d.c grands cercles : nous obtenons iinsi un second triangle sphériqve A'B'C^, dont les trois côtés Î'C, A'C, A' B', ont réciproquement pour pôles, les trois sommets A, B, C, du premier triangle.

Ëneffet, C étant un des pôles de l'arc AB, l'arc de grand rercle passant par les points C et A, est égal à un quadrant n'^564); de méipe, B' étant on des pôles de Tare AC, Tare de p^nd cercle passant par les points B' et A est égal à un quadrant^ ainsi, puisque AC et AB' sont des quadrants, il s'ensuit (même ftuméro) que le point A est le pôle de l'arc ou du côté B'C.

Même raisonnement pour chacun des points B, C, par rapport lux cotés correspondants, A!Q\ A'B'.

En raison de cette propriété, les deux triangles sont dits des triangles polaires l'un de l'autre, ou simf^ment des triangles po^ laires. — Cela posé :

386 Liv. ni. — CHAF. II. — § m.

FiG. 3oi. TuioRÀME I. (Flg. Soi.)

pgo 575^ — yoitr angle d'un triangle sphérique a pour mesvr le- supplément du côté qui lui est opposé dans le iriangie polain; — et de même , — Chaque côté du premier triangle est te supplément de l'angle qui lui est opposé dans le second.

Pour démontrer la première partie f de la propositioD» soiect prolongés les côtés CA, CB, du triangle ABC, jusqu'à leur rcficontre en D, £, avec le côté A'B' qui, dans le polaire A'B'C, est opposé à l'angle C. — Commet le point C est le pôle du ta» A'B' fn*» 572), il en résulte que les arcs CD, CE, sont des qoidraals (n" 564)^ ainsi Tare DE est la mesure de Tangle C (n« 565, scoL n). Mais les points A' et B' étant ausn les pôles l^pecdfe des côtés BC et AC, les arcs A'E, B'D, sont de» quadrants, cf qui donne

A'E 4- B'D, oulî A'D 4- DE -f^ DB' = A'B' -h DE = 2 qaadr

donc A'B' est le supplément de DE ou de l'angle C.

On démontrerait de la même manière, que A'C, B'C, sont !« supi^ments respecdfs des angles B et A.

Quant à la seconde partie, elle résulte nécessairement de of que les deux, triangles sont polaires l'un de l'autre. On prouTewit d^ailleurs directement que l'angle C a pour mesure le supplémcni du côté AB, en prolongeant AB jusqu'à sa rencontre en G,K. avec les côtés C'A', C'B'.

jV^. £, — En vertu de cette propriété du triangle A' B'C par rapport au triangle ABC, on donne au second triangle le nom de triangle supplémentaire du premier.

ScoiiiK I. — Il est important de faire attention à la manière les points C, B', A', ont été détenninés dans l'énoncé; car si ron considérait les autres pôles [C, B", A"] des côtés AB, AC, BC, en les combinant trois à trois avec C, B'^, A', on pourrait fonnef d'autres triangles spbériques; mais ceux-ci ne jouiraient pas de b propriété énoncée.

, DIS trijlhclbs srB^ftiQUES. 387

Nous ajouleroDS que cette propriété aurait pu être déduite de

a propriété de l'angle trièdre «ipplémentaire établie au n°830;

nw U démonstralioD que nous venons d'exposer nous paraît

>1us.ùmple.

ScoubII. — Désignons par A, B, C, et A', B', C, les angles le deux triangles polaires réciproques, ABC et A'B'C, puis, par I , é , c , et a', ^, (/, les cAtés respectivement apposés à ces angles. — On a, d'après le théorème précédent, les relations

)r, tant que le triangle sphérique ABC existe , il en est de rnéiDe In triangle A'B'C ; et l'on a

,- fl'-f-6'-(-c'<4dW)iw(n"8TI, 2");

l'où A-t-B H-C>ad™i«;

foù A + B H- C < 6 droits.

Ainsi , — Dant tout triangle sphérique , la somme des trois angles est plus grande que 2 otxtrn et plus petite ftie 6 Daorrs.

Cette somme peut approcher de chacune de ces limites autant qtK l'on veut; en sorte ^ue les trois angles peuvent être aigus, obtus, ou droits à la fois , ainsi que neus l'avons déjà établi au numéro 571.

Dans le triangle bireciangle, deux des cAtés sont égaux à des quadrants; et dans le triangle trirectangle , les trras cAtés sont des quadrants. — Tout cela est parfaitement d'accord avec ce qui a été dit au n- SSa,jco/.I.

388 Liv. m. — cuAP. II. — § Hi.

Théorème II.

N® S74. — Sur une même sphère ou sur des sphères égaies [c'est-à-dire de même rayon], — Deux triangles sphériques sva égaux, — 1" — lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à des an^h égaujp chacun à chacun et semblablement disposés, ou bien, u angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun et semblablement disposés; — 2° — lorsqu'ils ont les trois côtes égau chacun à chacun , ou bien , les trois angles chacun à chacun et semblablement disposés; — 3° — ils peuvent être égaux encore lorsqu'ils ont deux côtés égaux ainsi que l'angle opposé à l'un d'eu, ou bien , deux angles égaux ainsi que le côté opposé à l'un d'eu [mais ce dernier cas est susceptible de plusieurs restrictions].

Cet énoncé présente, comme on le voit, six cas difTérents. mais liés deux à deux par la proposition du triangle sphérique supplémentaire.

Quant à la démonstration de chacun d'eux , il suffît de (m coïncider les angles trièdres aux centres , O et (y, corresponda^it à ces triangles sphériqbes, lesquels coïncideront aussi nécessairement.

N. B. — On donne le nom de tétraèdres sphéeiques iq\ deux espaces OABC , O'A'B'C, déterminés par les faces des ao^ trièdres , et par les triangles sphériques ABC y A^B'C* ; il est évident que ces tétraèdres sphériques coïncident en même temps que les triangles.

ScoLiE. — Lorsque deux triangles sphériques ont tons leors éléments égaux chacun à chacun [ côtés et angles ] , mais non àiy posés de la même manière, on dit que les triangles sont sytaètriques , parce qu'en effet ils correspondent alors à des aD^e$ trièdres symétriques. (Toyez le n" 354.)

Mais , dans le cas particulier où les triangles sphériques soot isoscèles , c'est-à-dire où Ton suppose AB = AC , A'B' = A'C . régalite des deux triangles a lieu en même temps que leur symétrie : car alors les angles trièdres correspondants étant isoè-

DBS POLTGONKS ICT DES TRIANGLSS SPHKRIQUBS. SSq

dres, il s'ensuit que ^tfx-ci sont ausâ égaux et supeq>osables Ceci nous conduit à une proposition importante :

Thxorj^b ra. {Fig. 3o3.) Fie 3o3.

>° 575. — Deux triangles sphériqucs symétriques sont équivalents [en surface].

Considérons les triangles ABC , A'B'C , dans lesquels on suppose les côtés AB et A'B^ AC et MQ\ BG et B'C% égaux chacun à chaciu , ainsi (|ue les angles opposés à ces côtés , mais iisposés symétriquement.

Soit P celui des deux pôles du petit cercle passant par les trois points A, B, G, qui se trouve situé d'un même côté que :e petit cercle , par rapport au centre de la sphère ; et joignons le point P aux points A , B , G , par des arcs de grands cercles, PA , PB , PC (n® 564 , scoL I).- Traçons ensuite sur la surface du triangle A'B'C', un arc de grand cercle A'P' qui forme avec A'B' uù angle V^B' égal k l'angle PAB , et prenons A'P' = AP. Joi- '

gnons enfin le point P' aux points A', G' par des arcs de grands cercles, P'A', P'G'.

Cela posé, les deux triangles ABP, A'B'F, ont un angle égal, PAB = P'A'B', compris entre côtés égaux, AB=A'B', AP=A'P'; d'ailleurs ils sont isoscèles , puisque AP = PB , A' P' = P' B' (n° 364); ainsi, ces triangles sont égau^t et superposâmes {scoL précédent).

Pareillement, les triangles APG, A'P^G', sont égaux et superposables; car d'abord , de ce que les angles BAC et B'A'G', PAB et P'A'B', sont respectivement égaux , il en résulte

angle PAG = angle P'A'G' ;

de plus , les triangles sont isoscèles , puisque