DU PLUS COUET CHEMIN SUA LA 'SPHÈ&K

tioD r z=z ^R» — r/% obtenue au n® 565 , nous prouve que tous les cercles passant par les points A , B , et situés sur la sphère , ont un rayon plus petit que celui de la sphère ; donc (n** 26S) Tare AMB est moindre que tout autre arc de cercle passant par les mêmes points A , B.

iV. B. — Il est bien entendu qu'il ne s'agit ici que de la plus petite des deux portions de circonférence de grand cercle, soutendues par la corde AB.

ScoLiB. — On peut obtenir les différents arcs de cercle , situés sur un ménae plan, comme dans la figure i68 du n^ 262, en faisant tourner les plans de tous les petits cercles, autour de AB comme charnière , pour les rabattre sur le plan du grand cercle * OAB.

L'arc de grand cercle sera l'arc AMB ayant son centre en O \ Tare du petit cercle dont le plan est perpendiculaire au plan OAB, sera vu suivant une demi-circonférence ANB dont le centre sera au milieu o de AB; et un tout autre arc de petit cercle se trouvant dans un plan intermédiaire entre les deux précédents , aura un rayon o'K plus petit que OA , mais plus grand que oA ; il sera donc vu suivant un arc ARB , intermédiaire ; et l'on aura , comme dans le n^* 262,

AMB < ARB < ANB,

THioEiMB V. (/y^. 3o4 bis. ) , Fie. 3o4 ha.

^i** 577, — Le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface d'une sphère est le plus petit des deux arcs de grand cercle passant par ces deux points.

En effet, remarquons d'abord que, d'après sa nature, la sphère est une ûgare parfaitement ronde, en ce sens que toute section de sa surface par un plan mené sous une direction quel- ' conque, est une circonférence de cercle.

Cela posé, soit ACDEB une ligne tracée au hasard sur cette surface, et différente de l'arc AMB; on peut toujours la rec;arder ou comme un arc de petit cercle , ou comme un assemblage

Sgi UV. UI. CHAP. 11. — § IV.

d*arcs de grands cercles AC, CD, DE, EB, situés dans des pians diflerents , ou bien enfin , comme un assemblage d'arcs de pedis cercles finis ou infiniment petits.

Or, dans le premier cas, la proposition est déjà démontrée d'après ce qui a été dit ci-dessus.

Dans le second, comme les arcs AC, CD,... forment aTcc Tare AMB un polygone sphérique , Parc AMB est moindre que AC + CE +..., (n<> 571), ou moindre que ACDEB.

Dans le troisième cas , chacun des arcs de petits cercles AC , CD,.. . est moindre que l'arc de grand cercle ayant les mêmes extrémités A et C , C et D, . . .; donc , à fortiori ,

AMB < ACDEB ; C. Ç. F. b

N. £. — Ce mode de démonstration nous paraît beaucoup pins direct et surtout plus en rapport avec la nature de la sphère, qm toutes les démonstrations consignées dans d'autres ouvrages.

§ IV. — Des polyèdres ùiscriptibles ou circonscriptibleSj et en particuUerj des poljrèdres réguliers.

FiG. 3o5. Thkorâms I. (Fig, 3o5.)

N" 578. — Tout tétraèdre DABC est insc^ptible à une sp/tèn; — en d'autres termes, — On peut toujours /aire passer une surface sphérique par quatre points non situés dans un même pian.

Soient I , I', les centres des cercles circonscrits à deux des faces ABC , ADC , par exemple ; et menons les axes IL , l'L', de ces cercles (n® 505 , scoL I). — Je dis, — i® — que çe& droites se rencontrent en un certain point O; — a° que le point O est le centre d'une sphère dont la surface contient les quatre points A , B, C, D.

Premièrement, AC étant une corde commune aux deux cercles circonscrits , il s'ensuit que les perpendiculaires à AC, menées pir le milieu K de cette corde, dans les plans respectifs ABC, ADC. passent par les points I, V (n'' 41); — de plus, le plan conduit suivant ces perpendiculaires Kl , KV, est perpendiculaire à i^ corde AC (n^^ 518), et par conséquent aux deux plans ABC, ADC^

BBS POLYKDHES INSCRIPTIBLES OU CIBCONSCRIPTIBLBS. 3qS

lonc il condent les axes IL, W (n* 311); et comme les droites LI, Kl', se coupent, il doit en être de même des axes IL, l'L' n^ ISO). — Soit O le point d'intersection de ces deux droites.

En second lieu, tirons les droites 0A> OB, OG, OD. On a vu n^ 305) que IL est le lieu de tous les points situés à égale distance e A, B, G; donc