OA = OC = OD

Ainsi , la surface de la sphère qui a pour rayon OA , passe kécessairement par les autres points B , Ç , D; C, Q. F, D,

ScoLiE I. — Comme , d'après les raisonnements qui précèdent , e centre de toute sphère passant par les quatre points A, B, C, D, bit se trouver à la fois sur IL , et sur I' L% lesquelles droites se »upent en un point unique, il en résulte qu'il ne peut exister \n*une seule sphère satisfaisant à la condition énoncée. — On est lonc ainsi conduit aux deux propositions suivantes :

i** — Si y par les centres des cercles circonscrits aux quatre faces à* un tétraèdre y on élève des perpendiculaires aux plans de ces faces, les quatre perpendiculaires concourent en un même point»

2"* — Si, par les milieux des six arêtes d'un tétraèdre, on mène des plans perpendiculaires à ces arêtes , et par conséquent iQx faces, les six plans concourent en un même point.

Ce point unique y dans Pun et l'autre énoncé, n'est autre que le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.

ScoLiE II. — Le théorème principal peut être énoncé sous forme de problème, de la* manière suivante :

Faite passer une sphère par quatre points donnés.

Mais alors il y a lieu d'examiner diverses hypothèses :

1° — Si les quatre points donnés ne sont pas dans un même

3g4 "^' "*• ~* CHAP. II. — § IV.

plan, auquel cas ils peuvent être considérés comme les somnM» d'un tétraèdre , le problème est toujours possible et admet sm( seule solution.

2° — Si les quatre points sont dans un même plan, etappir tiennent à une même circonférence de cercle , tous les points dr l'axe (n^ 503, scol. I) de cette circonférence sont les centres datant de sphères passant par les quatre points; et, dans ce cas, ir problème est susceptible d'une infinité de solutions.

30 — Si les quatre points, étant dans un même plan, ne seiruovent pas sur une* même circonférence de cercle [hypothèse qo comprend comme cas particulier, celui de 3 points en ligne droôe'. le problème est impossible. — Et en effet , dans cette hypothèse ^ hi axes des cercles menés par les quatre points combinés trois à trsu deviennent parallèles; et leur point d'intersection, ou le cesire de la sphère , est situé à Vinfini,

Toutefois , dans ce cas , on pourrait dire que la sphère demandée a un rayon infini, ou que son centre est situé à Vinfini. --U surface serait alors le plan des quatre points donnés.

4° — Enfin , si les quatre points étaient tous en ligne droite, m aurait pour solutions des plans en nombre infini , etc.

Fio. 3o6. TaioaixE II. [Fig, 3o6.)

N® 579. — Tout tétraèdre DABG est circonseriptibUs à une sphèn- — ou bien , — on peut toujours obtenir une sphère tangente av quatre faces d'un tétraèdre.

Considérons les trois plans bissecteurs des angles dièdres à b base ABC; ces plans déterminent un nouveau tétraèdre OABC dont le sommet O peut être pris pour le centre d'une sphère tiBgente aux quatre faces.

En effet, soient abaissées du point O les perpendiculaires 01. OK, OG, OL, sur les quatre faces ABC, ABD, ADC, DBC.Ooa vu (n" 328) que le plan bissecteur OAB est le lieu de tous ^ points également distants des faces ABC , ABD ; donc 01 = 0& Pareillement , le plan OBC étant le lieu de tous les points cgatement distants des faces ABC, BCD, on a 01= OL,*et par coas<^quent 01 = OK = OL.

DES POLTàOEBS H^ÔU LIEES. 'SqS

On démontrerait encore que 01 := OG , et par suite que 01 = OK =0G=0L.

Aiflsi y la sphère qui a pour centre le point O, et pour rayon 01 , passera nécessairement par les quatre points I , K , G , L : et de plus» elle sera tangente aux quatre faces (a? 56JS). '

ScouE I. — Comme chacun des angles dièdres à la base n'a qu'un plan bissecteur, et que les trois plans bissecteurs ne sauraient avoir qn*un point commun , il s'ensuit qu'à un tétraèdre donné on ne peut inscrire qu'une seule sphère.

On est d'ailleurs conduit à cette nouvelle proposition : Les six plans bissecteurs des angles dièdres d'un tétraèdre concou' rent en un même point qui est le centra de la sphère inscrite.

ScouE II. — En procédant comme pour le triangle (n^ t75) , on pourrait obtenir quatre autres sphères [dites alors des sphères ex^ inscrites]^ en prolongeant chacune des faces d'un même angle trièdre, de l'autre côte de la face opposée au sommet de cet angle trîèdre , puis en menant les plans bissecteurs des angles dièdres supplémentaires. — Mais nous n'insisterons pas sur ces résultats.

Des polyèdres réguliers,

I^® 580» — On donne le nom de polyèdre régulier à tout po-^ lyèdre dont les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont les angles dièdres sont égaux ; d'où il suit d'abord que les angles, polyèdres doivent être eux-mêmes ^^aux et réguliers , et ensuite, qu'un polyèdre régulier est nécessairement convexe,

[ On voit que cette définition ne comprend pas les prismes réguliers et les pyramides régulières, tels que nous les avons définis aux n<** 559 et 545 ; ici , la régularité porte sur l'espèce et non sur le genre.]

THiOEÀME m.

N** 581. — Il ne peui exister plus de cinq sortes de polyèdres réguliers.

En effet , nous savons déjà qu'il faut au moins trois faces pour

et

Sgb Liv. iiir — cuAP. II. — § IV.

former un angle polyèdre , et , en outre , que la somme de toutes les faces de cet angle solide doit être moindre que 4 droits (n® VSf]\ il suffit donc de passer en revue tous les angles de polygones re ^uliers dont les assemblages 3 à 3, 4^4»^^ S*-**» doDoeci une somme moindre que 4 droits.

Or, — I® — L'angle du triangle équilatéral étant égil à y d'i droit, on peut assembler trois , quatre, ou cinq angles du triangle équilatéral , mais pas davantage , puisque 7X6 donne rdit ■—- ou 4 droits,

2° — L'angle du carré valant i , on ne peut assembler que trois de ces angles au plus, puisque quatre donneraient une somme égale à 4 droits.

3° — L'angle du pentagone régulier valant -f , on ne saurait , également assembler que trois de ces angles , ce qui donoenit I X 3 ou 3 f

Comme 1 ou -^ est l'angle de Thexagone régulier, et que ^ X 3 = 4> il s'ensuit que l'on ne peut former un angle x^ avec des angles d'hexagones réguliers, et h fortiori, de polygones réguliers d'un plus grand nombre de cotés.

Ainsi , les seuls polyèdres régulier» possibles sont ceux doot chaque angle solide est formé par trais , quatre , cinq angles àe triangle équilatéral, puis par trois angles droits, et enfin ps: trois angles de pentagone régulier; en tout cinq polyèdres:

ScoLiE. — Il resterait à prouver que chacun de ces cinq \^ lyèdres réguliers peut toujours être formé ; et c'est ce que nous ferons ultérieurement. Les polyèdres obtenus sont le tétraèdre régulier [ 4 faces ] , V hexaèdre régulier ou le cube (n" 540) [6 faces • V octaèdre ^pg^a/Z^r [ 8 faces ] , \e dodécaèdre régulier [12 fKei]^ enfin , Vicosaèdre régulier [20 faces].

Nous ferons toutefois connaître dès à présent la construcrion du

tétraèdre et de V hexaèdre, sur une droite donnée comme côcê.

Fie. 307. Soient d'abord ABC {fig. 307) le triangle équilatéral construit

sur uùe ligne donnée (n**iô7), O le centre du cercle inscrit ou

circonscrit à ce triangle. Élevons par ce point une perpendiculaire

DES l'OLYÀDllES RÉGULIERS. 897

lu plan ABC; puis y marquons sur cette perpendiculaire un point S £l , que la distance SA soit égale à AB , et tirons les droites SA , SB , se ; nous obtiendrons ainsi le tétraèdre demandé.

Car, i"* — Les trois droites SA, SB , SC , sont égales (n^ 505) ; et Niisqae , par construction , SA = AB , les quatre faces SAB , SAC , >BC, ABC, sont égales; il en est de même des angles dièdres. Ainsi a figure est un polyèdre régulier.

Soit , en second lieu , MNPQ un carré. Par les quatre sommets tf,N, P, Q, élevons des droites perpendiculaires au plan de ce arré, et égales à MN; puis tirons M'N', N'F, P'Q', Q'M' : la igure MP' ainsi obtenue est évidemment un cube ou un hexaèdre régulier.

TnioRiMB IV. ( Fig. 3q8.) Fie. 3o8.

N** 588. — Tout polyèdre régulier est à la^ fois inscriptible et irconscFiptible à une sphère ; — ce qui veut dire qu'on peut touours, — 1** — faire passer la surface d'une sphère par tous les wnmets d'un polyèdre régulier; — 2" — construire une autre sphère ^ngente à toutes les faces.

Soient en effet ABCD . . . , ABC'D' . • . , deux faces contiguës quelconques , et I « T, les centres de ces deux faces. On peut prouver, comme au n^ 578 , que les axes IL , VU ^ des cercles passant parles sommets des deux polygones réguliers, se coupent m un point O ; et si Ton joint ce point à tous les sommets 4 , B , C, D , . . . ,C', D'y . * . . , on aura , à cause de 01 = OF ainsi qu'on peut le prouver facilement au moyen des triangles rectangles OIK, OI'K] , une série d'obliques égales OA, OB, OC, OD,...,OC', OD',

En combinant Tune de ces faces , ABCD .... par exemple , ivec une troisième face qui lui soit contiguë , on prouvera de la même manière que l'axe de ce nouveau polygone rencontre IL au même point O , etpar suite, que toutes les obliques de jonction du point O aux sommets^ de la troisième face sont égales aux obliques précédentes; et ainsi de suite.

Il résulte de là que le point O peut être considéré comme le sommet commun à une suite de pyramides régulières ( n" 545) égales ,