CHAPITRE III

PROBLÈMES SUR LA GÉOMÉTRIE DE L'ESPACE. PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Introduction,

N® 583. — Dans le troisième chapitre de chacun des deuxpremiers livres y nous avons exposé les moyens de résoudre graphiquement des problèmes qui se rapportent aux figures planes. — L'objet que nous nous proposons dans celui-ci étant de résoudre des problèmes sur les points, les lignes , les surfinces et les coq»» il est naturel de se demander comment on peut arriver à leur solution par des constructions exécutées sur un seul et même plan. Or, c'est à quoi Ton parvient en employant le secours d'une sôeoct dont l'invention est due, en grande partie , à riUustre Mobge, I'ub des fondateurs de l'École Polytechnique. Du moins, c'est lui qœ a le plus contribué à réunir les éléments de cette science en on corps de doctrine.

Ainsi , avant de nous occuper de la résolution de nouveaux problèmes, nous devons poser les principes fondamentaux de la Géométrie descriptive , branche des mathématiques dont le but priocipal est de représenter et de fixer, au moyen de constructioB» exécutées sur une feuille de dessin, la position absolue ou relatif d'un ou de plusieurs objets dont les diverses parties sont généralement dans des plans différents.

PROBLÈMES SUR LA GéûMÉTRIE DE lVspaCE. 3^9

N"* 584. — Définttions» -^ ConsidéroDS deux plans perpendicuaires entre eux , l'un , MN [fig. Sog) , que nous nommerons plan Fig. Sog. (oaizoïfTAL [c'est la feuille de dessin sur laquelle doivent s'exécuter outes les constructions] ; l'autre, NP, nommé plan vertical. — Ces leux plans se coupent suivant une droite LL^ désignée ordinaire- Qent sous la dénomination de liove de terre.

Cela posé , si nous nous rappelons (n^ 526) que la projection \*un point sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée le ce point sur le plan , et que la projection d'une droite sur un ^lan ^t la droite qui joint les pieds des perpendiculaires abaissées les différents points de la droite donnée sur le plan, nous dirons,

1° — 0ue la projection horizontale d'un point A de Tespace, st la projection a de ce point sur le plan horizontal , et que sa proection verticale est la projection a' de ce même point sur le plan rertical ;

2* — Que les projections horizontale et vçrticak d'une droite ^ sont les projections aè , a'b\ de cette droite sur le plan horizontal et sur le plan vertical.

Les deux plans MN , NP, portent conjointement le nom de plaks

JE PEOJECTIOir.

Les plans ABèa y AB6V, qu'on doit imaginer par la droite AB, perpeDdiculairement aux deux plans MN, NP, pour obtenir les leux projections de cette droite, tant sur le plan horizontal que mr le plan vertical , se nomment les deux plans projetants.

Maintenant, on donne le nom de traces d'un plan quelconque aux intersections CD, CD, de ce plan avec les deux plans de prolection; CD est la trace horizontale, et CD la trace verticale: — [» deux traces se coupent nécessairement en un même point de la ligne de terre LL', et fixent la position du plan.

Si le plan que l'on considère est perpendiculaire à l'un des plans ^^ projection , au plan vertical par exemple , sa trace horizontale EG est perpendiculaire à la ligné de terre (n" 3IÎI) , puisqu'elle est I intersection de deux plans perpendiculaires au plan horizontal. De même, un plan perpendiculaire au plan horizontal a sa trace verticale perpendiculaire à la ligne de terre.

îi** 38iJ. -1- Pour compléter ces notions préliminaires, nous

4oO LIV. m. — GHAP. III — § I.

avons encore à faire une remarque importante, savoir : — Coauv toutes les opérations graphiques doivent, en définitive, être entoilées, soit sur une feuille de dessin horizontale, soit même sa: un tableau vertical, on est, à chaque instant, obligé de snppoit' Fie. S09. que Tun des plans de projection , NP par exemple {^g. 309 , tourne autour de la ligne de terre LL' pour venir se rabattit sv Fautre plan. Il arrive alors [et c'est une circonstance qu'il £uU y rappeler continuellement] qu'après le rabattement, puisque le deux plans de projection s'étendent indéfiniment en tons sens, la partie inférieure , NP', du plan vertical (*) vient se confondre avec la partie antérieure, MN, du plan horizental, et au contraire, qoe la partie supérieure, P9P, du plan vertical , vient se confondre avec hii^dxûe postérieure , QN', du plan horizontal, c'est-à-dire arec b partie de ce plan que cache le plan vertical.

tles notions étant établies , nous diviserons le chapitre en tm» paragraphes. — Le premier aura pour objet ce qu^on Domdie b méthode des projections, ainsi que ses applications à difîérenUprublêmes sur le point , la ligne droite et le plan ; le second, la méthode de rabattement et ses principales applications ; enfin htrmsième comprendra diverses questions sur la sphère, qui se nttjchent plus ou moins directement , soit à la méthode des projections, soit à celle de rabattement.

§ I. — Méthode des projections.

Principes fondamentaux,

Fio. 3io. Peemiee Peiiïcipk. (/Y^. Sic.)

N® 386. — Les projections horizontale et verticale, o, o', </'«•'' point O de V espace, doivent être, après le rabattement du plafl vertical de projection , par exemple , sur une même droite perpendiculaire à la ligne de terne.

En effet, par les perpendiculaires Oo, Oo', abaissées du poiotO

(*) Oq* suppose ordinairement qo« le mourement se fasse d'aviot es arrière.

MBTBODK OIS PBOJCOTIONS. ^Ot

sur les plans de projection , conduisons un plan : ce plan , étant à la fois perpendiculaire au plan horizontal et au plan yerti-» cal (n'^ 509) y Test aussi à leur intersection LL' (n** 519), et par conséquent, il coupe les plans de ph>jection suivant des droites oky o'i^ passant par le même point /*, et perpendiculaires à LL'. Dr, dans le mourement que fait le plan vertical pour se coucher mr le plan horizontal , la droite a' A ne cesse pas d'être perpendi* mlaire à LL'; donc, après le rabattement, le point o' doit venir le placer en o", sur le prolongement de ok ; ainsi ^ les points o, 0"^ pii représentent actuellement les projections du point O, sont situés sur une même droite 00'^ perpendiculaire à la ligne de terre* N.B. — La figure Ookt/ étant un rectangle, on a

00 = 0'^= 0% et, 0(/ = okf

ce qui prouve que la distance du point O de Tespace , au plan horizontal, est également représentée par Oo et par o'A ou *o'^^;'de néme, Oo', o^, représentent également sa distance au plan verical.

' Scoua I. -^ RicipaoQUBilEirf , /orr^a 'après le rabattement du ^ vertical, on donne deux points o, o", sur une même droite jcrpendicttlaire à la ligne de terre ^ ces points peuvent être consiiérés comme les projections d'un même point de l'espace, et en îrent généralement la position.

Car, supposons que les plans de projection soient remis dans ^ur véritable position [de plans rectangulaires]-: — dans ce nonvement, la droite ko" ne cessera pas d'être perpendiculaire à tL', et prendra une position telle que ko'; dès lors, les droites ko\ Aoy détermineront un plan perpendiculaire à LL' (n* 3(19); et si, par les points o, </, on élève des perpendiculaires respectives lox deux plans de projection, ces nouvelles droites, étant situées dans le plan oko' (n° SU) , se rencontreront en un certain point 0 [n'' ttO) qui ne pourra être autre que celui dont les points o et o' ou 0" sont les projections.

Ainsi, les deux projections d^un point en fixent la position.

N. B. — Il faut observer, ' toutefois , que, d'après la remarque

4o2 LHT. III. — CHAP. III. — § I.

faite au n" 86tf , les points, o, o", considérés comme projedMBS d'un même point O de l'espace , représentent également les projections d'un second point O', qui serait situé derrière le plan tvtical, et au-dessous du|)lan horizontal.

ScoLiE II. — Lorsqu'un point r est situé dans le plan horizoabl, il est à lui-même sa propre projection horizontale; et sa projectioi verticale doit être le pied r' de la perpendiculaire abaissée do point r sur la ligne de terre (n° 811). — De même , la projectk» verticale d'un point s' situé dans le plan vertical , est le point/ lui-même ; et sa projection horizontale est sur la ligne de tem en 5, pied de la perpendiculaire abaissée du point /.

FiG. 3o9i 3i I . Deuxième PaiNcipÉ. {Fig, $09 et 3 1 1 .)

N" 587. — Les projections liorizontale et verticale d'une droite de l'espace étant données, la droite est, en général, complétemext déterminée de position.

Il peut se présenter plusieurs cas :

• PasMiEB G4S. — Nous supposerons d'abord qu'aucune de deux projections ne soit ni parallèle ni perpendiculaire à la ligne dr terre.

F16. 309. Soient donc ab^ a' h' (fig. $09) , ces deux projections. — Psr€es droites conduisons des plans respectivement perpendiculaires ai plan horizontal et au plan vertica) ; — ces plans perpendiculaire» doivent nécessairement se couper, puisque, autrement, ilssenâcst parallèles; et comme la trace verticale du plan mené par aà est perpendiculaire à la ligne de terre LL' (n** 384) , il devrait en être de même de la droite a^b', trace verticale du second plan (n*^ S4,4^),(c qui serait contre la supposition. Or, ces deux plans se coupant, ieor intersection ne saurait être qu'une droite AB dont ab, a'h', sont lesxlettx projections; et cette droite est unique.

DEUxiÈn CAS. — Supposons maintenant que Tune des deuxpn>^

jections données, la projection horizontale cd par exempi^ ,

FiG. 3i I . (fig' 3 1 1 ) , soit parallèle à la ligne de terre , la projectioD vcrtirtl^

étant une droite quelconque c'rf' : — dans ce cas, les deux pUits

MÉTHODk UBS PEOJBCTIOHS. 4^3

lerpendiciilaires se rencontreront encore, puisque le plan passant MUT c'd' coupe le plan vertical de projection , et qu^ Gelui«*ct est lécessairement parallèle au plan mené suivant c</ (n^'SSft); IMnersection de ces deux plans perpendiculaires sera alors la droite . ID dont les projections sont cd^ c'd' : — cette droite est d*ail- ^UT% jMfraiièie au pian vertical àe projection , puisqu'elle se trouve ituée dans un plan parallèle à celui-ci.

On démontrerait de même qu'une droite e'f parallèle à la igné de terre, et une autre droite quelconque e/^ sont les projecions , Tferticale et horizontale, d'une certaine droite EF parallèle au ilan horizontal, t

TaoïsiiMB CAS. — On peut encore supposer que les deux droites lonnées , gA^ ^h\ soient à la îo\s parallèles à la ligne de terre. — )ans ce cas, il est facile de reconnaître que les deux plans perpenliculaires se rencontrent encore ; et leur intersection est une droite jK qui est elle-même parallèle à la ligne de terre LL'.

QuATKiÈitE GAÀ. — Enfin , on peut supposer que l'une des prbjecions, par exemple la projection horizontale, soit une droite rs perpendiculaire à la Ngne de terre ; mais alors , la projection vertiale // doit être eUe-mème perpendiculaire à LL', et située sur e prolongement de rs. — Car le plan mené par rs perpendiculairenent au plan horixontal , étant en même temps perpendiculaire au >lan vertical (n° 511) , représente à la fois le plan projetant de la Iroite de l'espace, sur chacun des deux plans de projection. '

Dans ce cas, la droite de l'espace aura une position tout à fait ndéterminée dans ce plan. — Elle pourra, par exemple, èive perpendiculaire au plan vertical ; et alors , ses deux projections seront a droite rr et un point quelconque de la droite rV [prolongement le rs\j ou vice versd.

On voit donc que, ce quatrième cas excepté, une droite est com- [)1étement déterminée par ses deux projections.

ScouB. — Toute droite EF (Jlg. 3ii), parallèle an plan hori- Fie. 3ii. eontal, est dite une ligne horizontale; — mais il n'est pas vrai de dire que toute droite parallèle au plan vertical soit une vertkale,

4o4 LIV. III. — CHAP. III. — § I.

puisque , d'après le troisième cas traité plus haut, une droite peit être à la fois parallèle au plan horizontal et an plan vertica]*

On donne le nom de verticale à tonte droite perpendiculaire iq plan horizontal (*).

Tout plan mené par une verticale est dit voïplan vertical eomm étant perpendiculaire au plan horiaontal de projection ; et tnt plan parallèle au plan koritontal de projection est dit un pi» horizontal.

Troisième Prircipk.

N® 388. — Les projections horizontales et verticales de deiu droites parallèles dans l'espace sont respectivement parallèles.

Car si , d*un point de chaque droite , on mène une perpeDdk&laire au plan horizontal, les plans verticaux (n® 586 , scol.)^ posant respectivement par les deux droites et par les deux perpendiculaires, seront parallèles (n^ 5S8); donc leurs întersectionsanc le plan horizontal , qui ne sont autre chose que les projecdoos horizontales des deux droites, sont parallèles entre elks (n*^ SIS, — Même raisonnement pour les projections verticales.

ScoLiB. — Pareillement, les traces horizontales et verticales l' deux plans parallèles sont respectivement parallèles [mèixkt numén)

fie. 3ia. QUATHIKMB ET DXEHIER PaUfCiPE. {Fig, 3 12.)

N° 389. — Lorsqu'une droite kB et utf plan ES sont perpenàaiîaires entre eux, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan.

Concevons, par exemple, le iptlàn projetant de la droite ÂBar le plan horizontal MN ; et soit ab la trace horizontale de ce phi projetant, laquelle n'est autre que la projection horizontale de b droite. — Soit, en outre , RT la trace horizontale du plan RS.

Cela posé, le plan projetant KBba est en même temps peipeftdiculaire an plan horizontal et au plan donné RS, puisqu'il passe par une droite AB perpendiculaire à celui-ci (n** 909); donc il 0<

(*) Ce n^est autre chose qoe la diraction àujil k plomh.

HliTHODE DBS PROJECTIONS. 4^5

perpencficulaire à leur intersection conunuDe RT : réciproquement &T est perpendiculaire an plan projetant , et par conséqiuent aussi ï la droite i(ii6 qui passe par son pied A dans ce plan; ainsi «6 est perpendiculaire à RT.

On démontrerait d'une manière analogue que la projection ver* icale de la droite est perpendiculaire à la trace verticale du »lan.

ScOLiE. — Il n*est pas vrai de dire que si deux droites sont xrpendicuiaires àsjïsYesjpaice y leurs projections , sur le plan horitootal ou sur le plan vertical, soient perpendiculaires entre ?l!es.

En général , suivant Tinclinaison du plan de deux droites perpendiculaires entre elles, par rapport au plan horizontal , l'angle formé par leurs projections horizontales peut passer par tous les rtats de grandeur depuis zéro jusqu'à deux droits.

On nomme projection horizontale d'un angle dans Pespace, *angle formé parles projections de ses deux côtés sur le plan horisoDtal , et projection verticale d'un angle , l'angle formé par les i>rojections des côtés sur le plan vertical.

Passons maintenant aux différents problèmes de la Géométrie descriptive, que l'on nomme les paiLiMivAiRES.

Observation importante, — Jusqu'ici , nous avons eu recours ^ lies 6gures en relief pour expliquer les définitions et les prinâpes fondamentaux. — Mais, dorénavant, nous nous bornerons 1 tracer la ligne déterre pour représenter les deux plans de projection , plans dont elle est, en quelque sorte, la ligne de séparation. On ne doit pas alors perdre de viie ce qui a été dit au n° 58^-, savoir: que la partie de la figure qui est en avant de la ligne de terre représente à la fois , el la partie antérieure du plan horizontal , et la partie inférieure du plan vertical , tandis que l'autre partie de la figure représente à la fois , et la partie postérieure du plan horizontal , et la partie inférieure du plan vertical.

Nous ajouterons que , pour abréger le discours, nous représenterons presque toujours par \ah , a'^ '] une droite de l'espace , dont les projections seront ab , a'b' ; et cette droite sera alors désignée

iJo6 Liv. m. — CNAP. ni. — § i.

elle-'inénie par AB. — De même , [n ,«'],[*,*'] t— représentti«pi les points A, B,... de l'espace.

Enfin, nous nommerons , suivant Tusage , ëpctab cl*un problèw. Tensemble des constructions que l'on aura exécutées avec h it^ et le compas, pour parvenir aie résoudre.

Fie. 3i3. PaoBLKME I. (Pig» 3i3.}

N° 500. — Les /projections de deux points étant données, cwstruire ta distance entre ces deux points.

Soient LV la ligne de terre» [a> a']y [b, b'] les deux poinis donnés A , B. — Remarquons d'abord que les perpendiaibira abaissées de ces points sur le plan horizontal, tombant en a, ^, forment avec ab ^ AB , un trapèze vertical KBab. — Maioienant, imaginons que le plan de ce trapèze tourne autour de u trace horizontale aby pour se rabattre sur le plan horizontal: les perpendiculaires dont nous venons de parler se rabattnmt suivant deux droites a A =: /«', hB = gb' (n» 586, N. B,)^ perpendiculaires k ab; et si Ton joint les points A et B , on aun Afi pour la dîsts^nce demandée.

ScoLra. — Si, dans !e trapèze rabattu AB6a, nous menons par le point A le plus rapproché de la ligne ab , une parall^e AB* ï cette droite , nous formerons un triangle rectangle AB'^B danskquH on aura AB''^ ab, et BB'' égal à la différence des distances desdeai points A , B, au plan horizontal, lesquelles distances sont rrpn^ sentées sur la figure par les lignes données a' A , b'g.

De là résulte un autre moyen de construction du problème pro posé:

I " — Menez par le point a' la droite a'/ parallèle à la ligne de terre LL' ;

2® — A partir du point/, portez sur la droite^â' prolongée , nnr distance /a'' égale à ba ;

Z'^'-Tirczb'a".

Vous obtenez ainsi la distance demandée; car, d'après cette construction , les triangles 6'«"/, BAB" , sont évidemment égaux.

iV. B. — Cette construction est plus simple que la premicrr, en

MÉTnODB DES PROJECTIONS. J^on "

ce que les perpendiculaireft Aa^^ gb\ étant déjà données diaprés " renoncé » il suffit de mener par le point a' une parallèle à LL% tandis que dans la première construction , on est obligé de mener deux perpendiculaires aA, bB,

PaoBLiMElI. {fig. 3i40 Fw. 3i4.

N*S9I. — Déterminer les traces horizontale et verticale d'une droite [abj a'b']^ c*est-à-dire, les points où la droite AB perce ou rencontre chacun des plans ele projection.

Ahaltse. — Le point où la droite perce le plan horizontal est à lui-même sa projection horizontale (n°S86, scoL n) ; et sa projection verticale est à la fois , et sur la projection verticale de la droite , et sur la perpendiculaire menée du même point à la ligne de terre 11/ . — Pareillement, la trace verticale de la droite a pour projection verticale cette trace elle-même, et pour projection horizontale le point de rencontre de la projection horizontale de la droite, avec «

la perpendiculaire abaissée de cette trace sur la ligne de terre. — On est ainsi conduit à la construction suivante :

Stntbâse. — 1" — Prolongez a'b' jusqu'à sa rencontre en r' avec LL', et élevez an. point / une perpendiculaire à LL': elle rencontre ab en un point r, qui n*est autre que la trace horizontale (le la droite AB.

2** — Prolongez ab jusqu'à sa rencontre en s avec LL', et* élevez au point s une perpendiculaire à LL' : le point s'y où cette perpendiculaire rencontre a'b', est la trace verticale de la droite AB.

iV. £. — Si la droite AB avait la position indiquée par [ab^^'b'] (fig. 3i5), la construction serait la même; mais alors le point rpto* 3i5^ sendt situé derrière le plan vertical , et le point/ serait aur-dessus du plan horisBontal {voyez la remarque du n*' 581$).

ScoLn. — On peut avoir besoin de connaître l'angle que forme la droite AB avec le plan horizontal, c'est-à-dire avec sa projection horizontale a 6 (n^ 386). —Or, il suffit, pour cda ^ de remarquer que, dans l'espace, la droite qui joint les points r, /^

4lO LIV. 111. — CHAF. III. — § I.

b'Vy cPy ou Q'P, QP, doivent se couper en un même point P <ir la ligne de terre.

Fie. 3i:. Problème VI. (Fig, Si^.)

N» ZW,— Étant donnés les deux plans NMN', QPQ', conamt les projections de leur intersection commune.

Puisque les traces horizontales MN » PQ , appartiennent iqx deux plans, le point a o\x elles se coupent, est un point de Ira intersection commune ; et c^est celui où elle perce le plan horiaeontal. En abaissant de ce point une perpendiculaire oo' sur U ligne de terre, on aura a' pour sa projection verticale.

De même , puisque le point h'^ où se coupent les traces verdcaln des deux plans, est la trace verticale de Tintersection commoK. le pied b de la perpendiculaire abaissée du point V sur LL\ scn sa projection horizontale.

Donc les droites de jonction, ab^ a'b\ sont les projections horizontale et verticale de Tintersection commune des denx plaos^

p^o 59^ — ScoLiB. — Cette construction suppose que les points

a , b'y sont connus de position sur le plan de la figure, liais

il peut arriver que les traces des deux plans ne puissent ^

rencontrer qu^à une très-grande distance, comme l'indique b

Fie. Ix^.fig. 3i8.

Dans ce cas , il faut employer une autre méthode :

Prenons sur la ligne de terre LL' un point p beaucoup plo^ rapproché de M , que ne Test le point P ; et menons les droite pq^pq'y respectivement parallèles à PQ, PQ' ; ces parallèles seroni les traces d'un nouveau plan parallèle au plan QPQ'; et son iober* section avec le plan NMN' devra être parallèle à TintenecticD cherchée (n® 5i8). |

Gela posé, nous pouvons, comme dans le numéro précédent, déterminer les projections (ib^ a'b\ de l'intersection desdeiu plans NMN', qVq'^ auxquelles les projections cherchées devrtMtf être parallèles (n"" 588). Ainsi , il suffit d'obtenir un point k chacune de ces dernières.

A cet effet, supposons, pour le moment, que A, B', soient ks

MSTHOOB DBS PEOJECTIOMS. 4*'

points de concours des traces MN et PQ, MN' et PQ', que B, A', soient les points des deux projections cherchées , qui se trouvent situés sur la ligne de terre; et tirons AB , A'B'. — Les deux couples de triangles semblables, AMP et aM/?, AMB et aM6, donnent les deux proportions

Al^i:aM :: mp : M/?,

AM:aM :: MB :M^; d où, à cause du rapport commun ,

Mp :MP :: Mb : MB.

Or, les trois premiers termes de cette proportion sont des lignes connues; ainsi, la position du point B peut être facilement déterminée (n® Wf)\ et, en menant par le point B une parallèle à ba y on aura la projection horizontale de Tintersection commune. De même, en construisant le quatrième terme de la proportion

M/? : MP : : Ma' : ma',

et menant par le point A' une parallèle à a'b\ on aura la projection verticale.

If. B, — Nous pourrions donner ici un moyen direct , emprunté aux seuls principes de la Géométrie descriptive, pour obtenir un point particulier de Tintersection commune ; mais l'exposition de ce moyen exigerait trop de détails-: il nous suffira de dire que c^est en imaginant des plans parallèles au plan horizontal ou au plan vertical de projection , qu^on parvient à ce but.

P&OBLÀMK VIL {Fig, 319.) ^«<i- ^'9»

N' 597, — D'un point donné [a, a'] hors d'un plan NMN', mener une perpendiculaire à ce plan , et construire la longueur de cette perpendiculaire y c'est-à-dire, la distance entre le point donné et le point où la perpendiculaire rencontre le plan.

En verta do quatrième principe (n** 589) , les projections de la droite cherchée doivent être respectivement perpendiculaires aux traces du plan donné; d*ailleurs elles doivent passer, Tune par le

4l2 LIV. 111. — CBAP. m. — § I.

point a, l'autre par le point a* ; donc les droites ah , a'b'y abusées perpendiculairement à NM, N'My sont les projecdons <kmandées.

Quant à la seconde partie de la question , elle serait ramcKc au problème du n<* 590 si Ton pouvait déterminer les projectico» du point où la perpendiculaire perce le plan.

Pour fixer la position de ce point , concevons par la droite k plan qui a servi à la projeter sur le plan horizontal : — Les tncs de ce ^VL projetant sont , d'abord , la droite ahi^ projection honzontale de la perpendiculaire, puis, une droite 5/ perpendicclaire à la ligne de terre (n° 391). Ensuite, ce même plan coupe k plan donné NMN' suivant une droite qui contient le pied de la perpendiculaire ; ainsi , tout se réduit à avoir les projections <k l'intersection commune des deux plans NMN' et a$s\ Or, sa projection horizontale est a^ , et sa projection verticale s'obtient es abaissant (n° 595) du point p une perpendiculaire pp' sur la ligut de terre, puis joignant le point p' au point ^.

Quant à la projection verticale du point cherché, comme dk doit être à la fois sur e^h* et sur /»V, elle se trouve à la reocontre k* de ces deux droites. Cela posé , abaissons du point X^ odt perpendiculaire sur la ligne de terre, et prolongeons cette perpendiculaire jusqu'à sa rencontre en /-, avec la droite ah^ àsé&t qui représente en même temps , et la projection horizontale de la perpendiculaire , et la projection horizontale de l'intersection des plans NMN', as^ ^ nous aurons la projection horizontale dn piet) de la perpendiculaire.

Connaissant les projections [a, a'], [X-, k*^ de deux points, od obtiendra leur distance, d'après le second moyen de constructk» indiqué au n® 595; ce qui donnera enfin a'k** pour la longueur di> la perpendiculaire.

iV. B, — Comme moyen de vérification , on peut conoevoir k plan qui a servi à projeter la perpendiculaire sur le plan vertiol.

— Les traces de ce plan sont a'h'r' et rV [perpendiculaire à LL']

— Les projections de l'intersection du nouveau plan projetant arer le plan donné NMN' sont a'r et rq' ; le point de rencontre de rtf

MÉTHODE DBS PEOJICTIOMS. 4'^

iTec ab doit être précisément le point k déjà détenniné , si la ronstruction a été faite exactement.

PaoBLÀMB Vm, (Fig. 320.) Fie. îao.

N" 398. — Réciproquement: — Par un point donné [<i, a'], nener un plan perpendiculaire à une droite donnée \bc , h'ff ].

Puisque les traces du plan cherché doiyent être respectivenent perpendiculaires aux droites données bcy 6V, il suffit de x)Dnaître un point de chaque trace ; et pour j parvenir, nous pouvons employer une construction analogue à celle du n° 594 : — Par le point donné [a, a'] et dans le plan cherché, supposé connu, imaginons une horizontale, c'est-à-dire, une parallèle à ta trace horizontale de ce plan : — les projections de cette parallèle seront, d'abord une droite a'd' parallèle à LL', puis une droite 3</ parallèle à la trace horiacontale du plan cherché, et par consé- ^uent perpendiculaire à la projection horizontale bc de la droite JonDée.

Déterminant ensuite (n° 391) le point d' où cette droite perce le plan vertical , et menant par d' une perpendiculaire (^d ' P à la droite b'c\ nous aurons la trace verticale du plan demandé.

Menons de même par le point [«,«'] une parallèle [fl/i a'f'\ à la trace verticale du plan , et déterminons le point / où cette parallèle rencontre le plan horizontal : alors, abaissant du point/ une perpendiculaire Q/P sur ab , nous aurons la trace horizontale ilu plan demandé. — Si ki construction est bien faite , il faut que les deux droites Q'^f % Q/, se coupent en un même point P de la figne de terre.

N, B, — Les traces du plan étant connues ainsi que les projectioDsde la droite, on peut, comme dans le problème précédent, déterminer le point de rencontre de la droite et du plan.

Scoux I. — A la question qui vient d'être résolue, se rattache immédiatement la suivante: — Mener d'un, point donné [a, a'] hors d'une droite \bc , 6V] , une perpendiculaire à cette droite.

Commencez d*abord par construire les traces d'un plan passant par le point [a, ^], et perpendiculaire à la droite [ftc, ^V]. —

4l4 "V. m. — CHAP. III. — § 1.

Déterminez ensuite le point où le plan rencontre la droite, et/»- *gnez les projections de ce point avec les projections dn point donné : — vous obtenez ainsi les projections de la perpendimlaire demandée.

ScoLiE II. -r- Tant que le point [a, a'] est situé hoR de b droite \hc, b'c] , le dernier problème est susceptible d'une solution et n'en offre qu'u/K? seule. — Mais si le point se trouTe SQr la droite, le problème est indéterminé y puisquVn effet le pUa construit est (n** 299) le lieu de toutes les perpendiculaires menée du point donné à la droite. — Il serait même indéterminé dus )f Cas général , si Ténoncé du problème ne disait pas expUcitemn' que les deux droites dussent se rencontrer.

FiG. 3il. PaOBLiME IX. {Fig- 321.)

N° 599. — Construire l* angle de deux droites tlonnées par leur: projections.

Nous supposerons ici que les deux droites se coupent, puisque. si elles se croisaient dans l'espace sans se rencontrer, il &udiait [p? 52IS, scol. I) , pour obtenir Tangle de ces droites, mener par uo point de Tune d'elles une parallèle à Tautre , et déterminer Visi^ que fait cette parallèle avec la première droite.

De plus, les projections du point commun doivent être (n** SM situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Soient donc [ab, a'b'] , [ac , aV] , les projections des deux draiiâ données. — Déterminons' d'abord (n** 591) leurs traces horixontales by Cy et tirons de plus la droite bc. — Nous remarqueroi» que le point A et les points b, c, forment, dans l'espace, tu triangle dont l'angle au sommet A est l'angle demandé ; et nom connaîtrons cet angle si , en faisant tourner le plan du triangle A^ autour de sa trace horizontale bc , pour le rabattre sur le plan horizontal , nous pouvons avoir la position du point A dans \e plan rabattu.

A cet eiïet, soit abaissée du point a, projection horizontale dn sommet A, une droite ak perpendiculaire sur bc, et concevons ie point X joint au point A deTespace ; cette ligne de jonction AX àiÀi

MÉTHODE DBS PEOJXCTIORS. 4'^

ftre (n° 300) perpendiculaire à 6c , et n'est autre que la hauteur io triangle A^c Or, cette hauteur peut être facilement construite; ar eUe est Thypotcnuse d'un triangle rectangle dont ak est un «té de Fangle droit , et Au = a' h (n« 586 , N, B.) l'autre côté. Si loDc nous portons ak sur hiL de h en gy et que nous tirions a'g^ tous aurons a' g pour la hauteur AX-.

Prolongeons maintenant ka indéfiniment, et portons a' g de k n A : ce dernier point représentera le sommet du triangle dans le >lan rahattu.

Tirant enfin khy Ac, nous obtiendrons hkc pour l'angle denandé.

N. B. — On aurait encore le triangle kbc , dans le plan rabattu , n construisant (n** 390) les longueurs des droites Ab, Ac, dont es projections sont, d'une part, ab, ab\ et, de l'autre, </c, aV, )uisqu'alors on connaîtrait les trois côtés bcy Aby Ac, du triangle.

Mais cette construction est moins simple que la précédente.

CoaoLLAi&E. — Pour — Construire l'angle d'une droite et d'un >lan [qui n'est autre (n° 326) que l'angle formé par la droite avec a projection sur le plan] :

D'un point quelconque de la droite, abaissez (n^ 397) une per- )endiculaire sur le plan ; puis déterminez l'angle que forme cette perpendiculaire avec la droite donnée : — vous obtenez ainsi e complément de l'angle cherché, et par suite, cet angle luinéme.

Scouz. — Les projections de la bissectrice de l'angle des deux Iroites petiventétre obtenues facilement d'après la construction du problème principal.

Détermines d'abord la bissectrice Am de l'angle bAc rabattu , H prolongex-la jusqu'à sa rencontre en m avec la trace horizontale bc du plan qui contient l'angle. — Joignez ensuite lepoint m au point a : — vous obtenez ainsi la projection horizontale sm de la bissectrice.

Projetez m en m* sur la ligne de terre, et tirez a' m* : — vous obtenez la projection verticale.

4l6 LIV. m. — CHAP. III. — § I.

Fio. 3aa. Problème X. {Fig, 322.)

- N" 400. — Construire l'angle de deux plans NMN', QPQ'.

i'^ Solution. — D'un point quelconque de Tespace abaissez Aa droites respectivement perpendiculaires aux deux plans (n* 517 ; — puis déterminez l'angle de ces deux perpendiculaires (n** 599 . lequel sera Tangle demandé ou son supplément (n^ SSI(, scoL 1

Mais on peut employer une construction plus simple.

2' Solution. — Soit d'abord déterminée (n® 59tf) la project»!? horizontale ab de leur intersection commune , qui n'est autre <p la diroite de jonction du point a au point b' [les deux pUos <> projection étant supposés dans lenr véritable position]. Conœnjss ensuite en un point quelconque O de cette intersection comiingsc un plan qui lui soit perpendiculaire. — La trace horizontaktfn une certaine droite cd perpendiculaire à la projection ab (n* 519% et cette droite pourra être considérée comme la base d'un triaadr Ocdy dont l'angle au sommet 0 sera l'angle demandé. Tlck» donc d'obtenir ce triangle dans son plan rabattu sur le plan bori* zontal.

Pour cela , remarquons que le plan dont la trace est cd, et k pbs vertical conduit suivant n^, se coupent, dans l'espace, sahrantci» droite 0/ qui est à la fois perpendiculaire à l'intersection coanmv des deux plans donnés [comme se trouvant dans le plan Ocd prrpendiculaire à cette intersection], et à la droite cd^ puisque et/ et (n° 589) perpendiculaire au plan projetant. La droite Oi -est dur la hauteur du triangle Ocd, Or, on aura la grandeur de cette haiteur en imaginant que le triangle rectangle dont ab' est Yhr^ téûuse, et ab^ bb\ les deux côtés de l'angle droit, tourne auircr de hb' comme charnière, pour venir prendre position sur leplv vertical de projection. Dans ce mouvement , les points Oyi^^tcriront autour du point b des arcs de cercle , et viendront se pbnr en a', /'; la droite b'a sera alors représentée par èV, et la hvktatt cherchée par une perpendiculaire i'o' abaissée sur Va', — Onr perpendiculaire étant construite , il ne s'agira plus que de la porttf

HéTHODE DES PROJECTIONS. Âin

VIT ia de I en O; et en tirant cO, rfO, on obtiendra cOd pour l'angle demandé.

ScoLiE. I. — Si les traces des deux plans donnés avaient des directions indiquées par la y%an? 3i8, on aurait recours au plan Fie. 3i8. auxiliaire gpq'; et la construction rentrerait dans le cas précédent.

ScouE II. — En divisant l'angle rabattu cOd en deux parties égales , et joignant le point a au point g où cette bissectrice rencontre la trace horizontale du triangle Oc^, on obtient la trace horizontale du plan bissecteur de l'angle des deux plans. — Quant à sa trace verticale y il suffit de joindre le point b' au point k où la trace ag rencontre LL^

Ainsi , ak et b'k sont les* traces de ce plan bissecteur.

PEOBLiME XI. (Flg. 323.) Pie. 3a3.

N** 401. — Construire les angles qu'un plan NWi' /orme avec le plan horizontal et avec le plan vertical.

Ce problème , qui n*est qu'un cas particulier du précédent y mérite une attention spéciale , à cause de ses nombreuses applications.

En un point quelconque A de M N, menons un plan perpendiculaire à cette droite : — ce plan coupe le plan horizontal et le plan donné suivant deux droites perpendiculaires à MN (n** 999) , et formant entre elles le premier des angles demandés. Or, la trace horizontale de ce plan est AB perpendiculaire à MN ; sa trace verticale est BC perpendiculaire à LL', et son intersection avec le plan . donné est une droite qui perce les deux plans de projection l'un au point A, l'autre au point C , rencontre' des deux traces MN', BC.

Faisons maintenant tourner le triangle ABC , rectangle en B, autour de BC comme charnière , de manière à le rabattre dans le plan vertical de projection : — dans ce mouvement , BA vient s'appliquer sur IX', et prend la position BA'. En joignant alors le point C au point A', nous obtenons CA'B pour l'angle que forme le plan donné avec le plan horizontal.

Le second angle s'obtient en menant par un point quelconque D de MN', la droite DE perpendiculaire à MN', puis EF perpendiculaire à LL^ rabattant ensuite ED de E en D', enfin tirant FD' :

^i8 Liv. m. — CHAP. m. — § 1.

— l'angle FD'E est celui que forme le plan donné avec le pbn

vertical.

N. B. — On aurait pu également rabattre le premier angle autom de AB dans le plan horizontal , et le second autour de DE darisfe plan vertical .

ScoLiE. — Si Ton tire la bissectrice A'G de Tangle CA'B, etqu'oe joigne le point M au point G, il est facile de reconnaître que MG et MN sont les traces du plan bissecteur de Tangle formé par V plan donné avec le plan horizontal.

FiG.3a4,^- Problème XII. {Fig, 324, SaS.)

N" 408. — Construire les projections et la longueur tie laplti* courte distance de deux droites.

Nous avons exposé au n° 584, deux moyens de fixer la posibo de la perpendiculaire commune à deux droites, nommée aussi leur plus courte distance ; et il ne s'agirait ici que d'appliquer à ces <ieo\ modes de construction les principes de la Géométrie descriptife; mais nous nous bornerons à développer le second moyen coïKBe étant le plus simple.

Fie. 266. Reprenons d'abord la figure en relief {fig. 266) , en supprima!

les constructions qui n'ont servi qu'à la démonstration. Fie 3a4. Soient AB, CD [fig. 324), les deux droites données:

|0 Par un point quelconque E pris sur CD, menons EF parallèle à AB;

2° Faisons passer un plan MN par les deux droites CD, EF

ce. plan est parallèle à la droite AB ;

30 D'un point quelconque G de AB, abaissons GK perpendiculaire , et déterminons le pied K de cette perpendiculaire sur le plan parallèle ;

4<> — Menons par le point K une parallèle Kl à EF ou AB; elle va rencontrer CD en un point I ;

50 — Du point I menons IH parallèle à GK ou perpendiculaire au plan parallèle.

La droite IH est la plus courte distance.

MÉTBODE DES PROJECTIONS. 4^9

Appliquons maintenant les» principes de la méthode des projections. — Voici les détails de l'épure :

Soient LL' [fig. 325) la ligne de terre, et [ab^ a'b']^ [c</, «/c^']. Fie. 3a5. les projections des deux droites données AB, CD.

I *» — efy e'f^ respectivement parallèles à ab^ a'b\ et menées par les protections c^ e' , d'un même point de la droite \cd^ <^à!\t sont les projections de la droite £F parallèle à AB ;

2^ — ICBCN' est le plan parallèle à AB, conduit suivant les droites [cé/, c'^'], [tf/*, e*f\ {vojrez le scolie du n° 593);

3^ — g^if g'if'i'y menées perpendiculairement aux traces MN, MN', du plan parallèle, sont les projections de GR [les points ky A' y projections du pied de cette perpendiculaire , doivent être déteiminés d'après le problème du n<* 597];

4^ — Ai y kWy sont les projections de la droite Kl menée par le point I parallèlement à AB ;

50 — ifg^ i'fif^ menées par les points /, /% parallèlement à gk^ ^ky OU perpendiculairement aux traces MN, MN', «t prolongées jusqu'à leur rencontre-avec ab^ afb'y sont les projections de la plus courte distance demandée.

6p — Enfin, connaissant les extrémités ['» f']» [A> hr\ de cette plus courte distance, on peut en construire la longueur i'h!' d'après le problème du n® 590.

N. B. — Cette épure, dont l'exécution n'offre aucune difficulté réelle, exige cependant beaucoup de soin , à raison du grand nombre de lignes à tracer. On a d'ailleurs plusieurs moyens de vérification , tirés du premier principe (n® 386).

On voit enfin que ce problème n'est que l'application d'une pai^tie des problèmes précédents.

Nous proposerons comme nouveaux exercices les problèmes suivants:

|0 — Beterminer l'intersection commune de trois plans dont les

traces sont données;

a» — Un point et deux droites étant donnés par leurs projections, mener par le point une troisième droite qui rencontre les deux premières.

an.

420 LIV. ÎII. — CHAP. fil. . — § II.

Ces deux problèmes sont des applications de celui du n*" 395, n sont susceptibles de discussion .

§ II. ~ Méthode de rabattement, — Problèmes sw

les angles trièdres.

N** 405. — Introduction. — Il arrive souvent que , pour résoudp» un problème de la Géométrie de V espace, on est conduit à exécuter certaines constructions dans un plan donné par ses traces; et pour cela» il est nécessaire, — 1° — de rabattre ce plan sur Tun de plans de projection , le plan horizontal , par exemple [les problèmes des n*^* 599 et 400, en ont oOert des exemples] ; — 2* — <le fixer la position , dans ce plan rabattu , de certains points oa de certaines lignes , qui doivent s'y trouver situés d*après renonce, et dont les projections sont supposées connues ; — 3*^ — d'exéauer, dans ce plan [confondu pour le moment avec le plan horizontal] les constructions que prescrit l'énoncé ; — :- 4" — enfin de déterminer les projections des nouveaux points et des nouvelles liçnes, ainsi trouvés. — Tel est l'objet de la méthode connue sous la dénomination de METHODE t>x RABATTEMSNT , dout les principes fondsmentaux se réduisent aux trois questions suivantes :

Fio. 3îi6. PaoBLiME I. (Fig. 326.)

N" 404. — Un pian NMN' étant donné par ses traces, rabattn ce plan sur l'un des plans de projection , le plan horizontal pr exemple.

Considérons sur la trace verticale MN' un point quelconque e dont la projection horizontale est en a ; et par ce point , conceraos un plan perpendiculaire à la trace horizontale MN : — la tnre verticale de ce plan est une droite a* a perpendiculaire à la ligne de terre (n** 584), et sa trace horizontale une autre droite ^perpendiculaire à MN. — Son intersection avec le plan NMN' sera une droite /?a' [dans l'espace] aussi perpendiculaire à MN.

Cela posé , faisons tourner le plan donné autour de sa trace horizontale MN : — dans ce mouvement, le point a' ne sortira pa^