MÉTHODE DE RABATTEMENT

du plan a^pa , et se rabattra sur ie prolongement p\. de pa , en un point A dont la distance au point fixe M sera représentée en grandeur ivur Ma'. — Si donc, du point M conàme centre , avec le rayon Ma', nous décriYons un arc de cercle qui vienne couper ak. au point A y et que nous joignions le point M à ce dernier point , la droite MAN'' représentera le rabattement sur le plan horizontal , de la trace verticale IVfN'. — Nous obtiendrons ainsi NMN" pour le plan donné, rabattu sur le plan horizontal.

iV. B. — En décrivant du point a comme centre , avec ap pour rayon, un arc de cercle qui coupe LL' en un point/?', et tirant a'pf, on a i^p'a' pour Fangle que le plan donné fait avec le plan horizontal (n^ 401). — Or cet angle est souvent utile à considérer dans les applications de la méthode de rabattement.

PaoBLivE II. {Fig. 326.) FiG. 3a6.

N" 40tf . — Un point o représentant la projection horizontale d'un point O situé dans un plan donné^M^^ ; — i° — Trouver sa projeclion r»crticale o' ; — 2** — fixer la position du point O dans le plan NMN' supposé rabattu sur le plan horizontal; — et réciproquement, un point O étant donné déposition dans un plan rabattu, déterminer les projections de ce point.

Remarquons d*abord que , le point O devant être situé dans le plan dcnnc , sa projection horizontale o en fixe complètement la position dans Tespace ; car, si par le point o on élève une verticale [n" 587, scoL) , cette droite va percer le plan donné en un point qui D'est autre que le point O.

Maintenant , pour résoudre la première partie de la question , abaissons du point o une perpendiculaire indéfinie oro^ sur la ligne de terre LX.': la projection verticale o' du point O sera située sur cette perpendiculaire (n° 586), et il ne s^agitque de déterminer la distance ro' du point o' à la ligne de terre.

Or, nous avons deux moyens d'y parvenir :

PAEMiEa MOYEN. — Abaissous o^ perpendiculaire sur M?ï, et jni|^nons le point tf au point O de Tespace ; nous formons ainsi un

^22 LIV. m. — CHAP. m. — § II.

triangle rectangle Oqo, dans lequel le côté de l'angle droit qo est connu , ainsi que l'angle aigu Ogo , puisque y qO étant perpendiculaire à MN (n** 401) 9 cet angle mesure Tangle du plan donné aver le plan horizontal ^ angle déjà construit dans le problènae précédent f et égal à a^p'a.

En rabattant ce triangle autour de qo comme charnière, menant par le point O une perpendiculaire oÇy k oq^ puis formant an point q l'angle oqCy égal à l'angle a'p'a , nous obtenons oiyq ponr le triangle rabattu; et oO' représente alors la distance du point 0 au plan horizontal. Si donc nous portons oO' de r en o', le point o' est la projection verticale demandée.

Second moyen. — Concevons par le point O de l'espace une horizontale dans le plan donné: — la projection horizontale de cette horizontale est une droite ob parallèle à la trace MN (n** 894) ; et comme la trace verticale de cette horizontale doit se trouver snr la trace MN', et sur la perpendiculaire àLL' menée par le point è, il s'ensuit que cette trace verticale est en b'; donc la projectioa verticale de l'horizontale est une parallèle b'o' à LL' menée par k point b' : — enfin le point o% où cette parallèle rencontre la perpendiculaire indéfinie oro', est la projection verticale cherchée.

N. B. — Ce second moyen est , en général , le plus simple.

Passons à la seconde partie de la question.

Remettons dans sa position verticale le triangle O^ço, qui devient alors Oqo , et observons que , dans le mouvement du plan donne autour de MN pour se rabattre sur le plan horizontal , la droite qO^ perpendiculaire à MN , doit se rabattre sur le prolongement de oq en un point O dont la distance au point q est égale à la drcMte qO' déjà construite. Donc, si nous décrivons du point q conme centre, avec le rayon çO', un arc de cercle qui vienne couper oq prolongé en un point O , ce point sera le rabattement de celui dont o , o', sont les projections.

Autrement: — Si, du point M comme centre, avec M^' pour rayon , nous décrivons un arc de cercle qui vienne couper MjV* ( problème précédent) en un point B , que par ce point nous tirions

MÉTHODK DF RABATTKMENT. 4^3

une parallèle à MN , cette parallèle représentera Thonzontale qui a été menée plus haut par le point O. Donc la rencontre de cette parallèle avec oq prolongé donnera encore la position du point (loDt les projections sont o , o\

RÉCIPROQUF.MENT : — Lc point O étant donné de position dans le plan rabattu, NMN'^, pour obtenir les projections de ce point quand le plan vient à i*eprendre sa position primitive NMN', il suffit, — I** — à^ abaisser Oq perpendiculaire sur MN, en prolongeant cette perpendiculaire indéfiniment ; — 2** — de faire au point q un angle oqO' égal à Tanglc donné a'p'a ; — 3*^ — de prendre qO' = qO , puis à* abaisser O'o perpendiculaire sur 70, ce qui fixe déjà la projection horizontale o ; — 4" — enfin , d'abaisser une perpendiculaire oro' sur LL', et de prendre ro* == oO'. ^

Le point o' est la projection verticale cherchée.

Ou bien encore : — 1° — MenezOq perpendiculaire à MN , et OB parallèle k cette même trace ; — 2° — portez MB de M en b' sur la trace MN', et menez la droite indéfinie b'o' parallèle à IX' ; — 3® — abaissez b'b perpendiculaire sur LL', et par le point b tirez une droite bo parallèle à MN.

Le point o , ohbo rencontre la droite Oq prolongée , est la projection horizontale du point O ; et le point o' où la perpendiculaire 00' rencontre b'o\ en est la projection verticale.

Les constructions qu'on vient d^indiquer pour la réci|)ix)que sf)nt des' conséquences delà marche qui a été suivie par rapport à la directe.

Problème IIL {Fig, 327.) Fie. 327.

i\» 406. — Étant donnée la projection horizontale ab d'une droite située élans un plan NMN', — 1° — Construire sa projection verticale ; -r- 2° — déterminer sa position dans le plan rabattu ; — et réciproquement , — Étant donnée une droite dans un pian rabattu , trouver ses projections , lorsque le plan a repris sa véritable position.

En appliquant à deux des points de la droite les constructions du problème précédent , on arriverait à une solution de la question proposée ; mais on peut opérer d'une manière plus simple :