ASB > ASC, ASB > ESC
mais ASB < ASC + BSC',
et' CSA + ASB + BSC < 4 droits
[le plus grand angle est supposé ici placé entre les deux autrui.
Cela posé , prenons sur SC, SC, deux distances ^ales SD = S[> . et des pointa D, D', abaissons DE, D'Ë', respectivement perpec ' diculairessurSA, SB; puis, concevons que les triangles rectan^e^ SDE, SD'E', tournent autour de SA, SB, et fassent une demircvolution ; en sorte que le côté SD vienne prendre ta positioD S^ dans le plan de l'angle ASB, etIecAtéSD' la position Srf'. — Ii« clairque, dans ce mouvement, les triangles rectangles engendif rontdeus cônes (n' S87). et les côtés SD.SD', ou plutôt, SCSCdeux surfaces coniques. Or, les plans verticaux engendrés |ut ' DE, D'Ë', se couperont nécessairement, et de plus. Us dcin»i couper intérieurement aux deux cônes : car, de ce que Ton ASB < ASC + BSC', il en résulte ASC < ASrf -H BW - ; Qsi, les droites DErf, D'E'rf', se croiseront en un point Kiotr ;ur à l'angle dSd'. Ces plans verticaux auront donc pour iniftction commune une droite Kl qui percera k la fois les deux surces coniques en un m<^me point I ; et en joignant le point S v;
CONSTRUCTIOlf DI'S ANGLES TEIKDRES. 4^7
point I , nous anirons ane arête SIL commune à ces deux surfaces. — Les droites SA , SB, SL, formeront alors un angle trièdre dont . es faces seront
ASB , ASL = ASC, BSL = BSC; C. <?. F. D.
N, B, — Les trois angles ASB, CSA , C'SB, peuvent être consilérés comme le développement de l'angle trièdre SALB sur un même >lan horizontal SAB [voyez le n** S6i); — Taréte SL s'est, en {uelque sorte, scindée en deux, pour venir prendre position en
En outre , si Ton conçoit que les deux triangles rectangles SDE , SD'E', aient achevé une révolution entière, les deux surfaces coniques auront, au-dessous du plan ASB, une seconde arête commune qui déterminera un angle trièdre symétrique du premier n» 554).
ScoLiK. — Nous avons supposé dans la figure 828 que, le plus Fig. 3^8. ^nd angle ASB étant aigu ou obtus, les deux autres angles /
CSA , C'SB, soient aigus.
Mais on peut supposer que deux des angles ASB, ASC [fig, 829) , Fie. 339. loient obtus , et le troisième , BSC, aigu , ou bien que les trois ingles soient obtus {fig* 33o); — la proposition n'en serait pas Fie. 33o. moins vraie.
Dans le cas de Isl figure 829, la perpendiculaire DE tomberait Fie. Sag. iUT le prolongement de AS, et la perpendiculaire D^Ë', sur le côté SB lui-même; mais les deux plans verticaux engendrés par DE, [VE', ne s'en couperaient pas moins intérieurement aux deux »nes; et les deux surfaces coniques auraient encore une arête x)mraune SL formant avec SA , SB , un angle trièdre.
Dans le cas de la figure 33o , les perpendiculaires DE , D'E', F». 33(Vv. :omberaient l'une et l'autre sur les prolongements respectifs de SA, SB; et les deux plans verticaux se couperaient suivant une rerticale IK. dont le pied K serait intérieur à l'angle DSIV ; les deux (urfaces coniques auraient donc encore dans ce cas une arête commune SL.
Passons à la construction des angles trièdres d'après certaines données.
4a8 Liv. III. — ciiAp. m. — § II-
Fic. 331,332. Pacwlkme VI. {FUg. 33 1 et 332.)
N*» 410- — Étant données les trois faces d'un angle trièdre, construire les angles dièdres.
Pour faire mieux comprendre le mode de construction que nous avons à développer, et qui a l'avantage de s*appliquer à tous les cas , nous considérerons d*abord une figure en relief. FiG. 33 t. Soit donc sabc [fig. 33 1) Tangle trièdre dont il s*agit d'obtenir graphiquement chacun des angles dièdres, par exemple, Tangk dièdre suivant .<ra.
Prenons sur les arêtes, trois parties égales, sa z=z sb = ic, ei joignons les points a , ^, c , deux à deux ; nous formons ainsi us tétraèdre dont les faces latérales sont isoscèles; d*où il suit que fes angles à la base de ces faces sont tous aigus (n° 56). — Gela pose,
Par un point quelconque m de Taréte sa , menons les droite mn y mpf perpendiculaires à sa ; elles rencontreront nécessaireme&t les côtés aby acy du triangle abc (n° 54), en deux points Hyp. ^ Tirant np^ nous aurons un triangle mnp qui, étant construit dans sa véritable grandeur, fera connaître l'angle m ou la mesure dr Tangle dièdre suivant sa (n° 508). — Or, on parvient à cette codstruction par le développement du tétraèdre sabc sur un même pbfl.
A cet effet , traçons sur un même plan horizontal trôb angb
Fio. 33a. consécutifs ASC, ASB, BSC" (fig, 332) , respectivement égaui
FiG. 33 1. AUX trois angles donnés ascy asb, bsc {fig. 33 1) [Fangle ASB étant
ici pris pour base de la construction] ; et, après avoir marqué les
quatre distances égales
se = SA = SB = SC",
tirons CA, AB, BG^'; puis, des points A et B comme centres, a^e les rayons AC', BG'', elécrivons deux arcs de cercle qui doivent se couper en un point G situé par rapport à AB du côté opposé au point S; et Joignons AG , BG : nous obtenons ainsi le tétraèdre sabc développé sur le plan horizontal. [Le mouvement de la base abcda tétraèdre s* est fait autour du côté ab ou AB.]I1 ne reste plus alors qu'à déterminer sur ce développement les grandeurs des ct'itésdu triangle mnp.
CONSTRUCTION DES ANGLES TRlÀDBES. 4^9
Or, il est d'abord évident que les côtés mn , mp^ seront représentés par les deux parties MN, NR , d*une même perpendiculaire à SA , menée par un point quelconque M pris à partir du point A sur SA. D*un autre côté , le point/? a dû, dans le développement du tétraèdre, prendre position à la fois sur kOI et sur AC qui représente ac ; donc , en prenant AQ = AR , et joignant le point Q au point N, nous aurons NQ = /i/>. Ainsi , les trois côtés du triangle mnp sont respectivement égaux à MN, MR , et NQ. — Donc, si sur MN comme base nous construisons le triangle MNP (n® ltf7) , tel que l'on ait MP = MR, NP = NQ, Tangle en M sera l'angle dièdre demandé , rabattu sur le plan horizontal
La construction serait tout à fait identique par rapport à l'angle dièdre suivant l'arête sh ; mais celle de l'angle dièdre suivant se e&ige une légère modification , parce que l'arête se est représentée dans le développement par SC, SC", et que le point c a pris les trois positions C,C%C''.
Après avoir pris sur SC, SC", deux parties C'T', C"T", arbitraires, mais éçales» élevons T'V, T''V", respectivement perpendiculaires à se, SC% puis prenons sur GA, CB,
