CP" = C'V, CN" = C"V

et tirons N"P" ; les trois droites N"P", T'V, TV\ représenteront les côtés n^p'^y m"nf\ m"p" du triangle à construire ; et , cette construction étant exécutée sur la base N"P^, l'angle opposé M'' sera l'angle demandé.

Au surplus , on éviterait cette dernière construction en prenant ASC , à son tour, pour base du développement.

ScoLiE I. — Le cas où l'on donne les trois angles de l'angle trièdre rentre dans le problème précédent, d'après la propriété de l'angle trièdre supplémentaire (n^ 550) :

Prenez les suppléments des trois angles donnés, et vous obtenez ainsi les trois faces du nouvel angle trièdre ; construisez les angles dièdres de celui-ci , et prenez-en les suppléments : vous obtenez enfin les trois faces cherchées.

ScoLTE n. — La réduction d'un angle à V horizon est encore un cas particulier du problème précédent.

43o LIV. III. — CHAP III. — § 11.

£n effet, réduire un angle à l'horizon, c*eslC trouver la projection horizontale de l'angle formé par deux rayons visads [dont le sommet est l*œil], connaissant cet angle et ceaxqwt forment les rayons visuels avec la verticale. PiG. 333. Soient donc SA, SB {fig. 333), deux rayons yisuels, etSCla verticale abaissée du point S. — On conniut, par hypothèse, l'ange ASB , ainsi que les angles ASC , BSC, et il s'agit de déterminer l'angle MPN formé par les projections de SA, SB , sur on plan horizontal mené par un point quelconque de la verticak. Or, tout se réduit à construire l'angle dièdre suivant SC de Tangle trièdre SABC, connaissant les trois faces ASB, ASC, BSC.

Fio. 334. PaoBLiME VU. (Fig. 334- )

N*' 4ii. — Étant données deux faces d'un angle trièdre et l'angle compris , construire la troisième face , et par suite, le trois angles dièdres.

Ce problème est toujours possible, quelles que: oient ks doix faces données, et quel que soit l'angle compris.

En effet, supposons d'abord les deux faces données ASB, ASC, placées sur un même plan , celui de la face ASB , par exemple, et faisons ensuite tourner la face ASC autour de SA comme chamièrr Dès que l'angle dièdre compris entre les deux £&ces données sera devenu égal à l'angle dièdre donné , la troisième face CSB soi elle-même complètement déterminée dans l'espace.

Il ne s'agit donc que d'en fixer la grandeur dans le développement de l'angle trièdre sur la face ASB.

Pour cela , d'un point quelconque D de l'arête SC rabaUoe . abaissons sur SA une perpendiculaire indéfinie DEF, et supposons que la face CSA soit remise dans la position qu'elle doit avoir pour former avec ASB l'angle donné ; les deux droites £D , £F. seront alors situées dans un plan vertical , et formeront entre elk» un angle qui mesure l'angle dièdre donné. ^Concevons emciie que ce plan vertical , en tournant autour de £F, vienne se n> battre sur le plan de la face ASB ; la droite DE prendra , après ce mouvement , une position £1 telle que FEI soit égal à l'aneif

CONSTRUCTIOK UV.S ANGLES TBIKDRES. ^3l

loDne ; et si nous portons ED de E en I , que nous menions [F perpendiculaire sur EF , le point F sera le pied d'une vericale abaissée du point D de Taréte SC dans Tespace , sur le yhn horizontal.

Imaginons enfin que la troisième face CSB tourne autour de SB pour se rabattre sur le plan horizontal ; le point D, dont la protection horizontale est en F, se trouvera , dans le rabattement de la troisième face, sur la perpendiculaire indéfinie FE^D'; d'ailleurs il doit rester à une distance du point S égale à SD. Donc , si nous décrivons du point S comme centre, avec le rayqn SD, une circonférence de cercle , elle viendra couper la droite FE'D' en un point D' qui, étant joint au point S, déterminera BSC pour la troisième face demandée.

Les trois faces étant connues , on pourra construire les angles dièdres inconnus d'après le problème précédent.

2V. B. — Cette construction est susceptible de quelques modifications suivant les cas qui peuvent se présenter ; mais le principe en est toujours le même. «

ScoLis. — La propriété de l'angle trièdre supplémentaire ramène au cas général qui vient d'être traité , celui où l'on donne une face et les deux angles adjacents.

Peoblàmk VHL [Fig, 335.) Fie. 335.

N° 414. — Étant donnés, deux faces et l'angle opposé à l'une d'elles, construire la troisième Jace et les deux autres angles dièdres.

Il est d'abord facile de reconnaître que le problème peut, suivant les cas, admettre deux ou une solution, ou n'en admettre aucune. En effet, ASB étant Tune des faces données, concevons qu'un second angle égal à Fautre face donnée , et ayant le côté SB commun avec le premier, tourne autour de SB , et prenne toutes les positions possibles dans Tespace; qu'en outre, un troisième plan passant par l'arête SA, forme avec ASB un angle dièdre égal à l'angle donné. — Cela posé, dans le mouvement du second plan autour de SB, le côté mobile engendre évidemment une