LIV. III. CBAP. 111. § II

surface conique dont le sommet est en S. Or, il peut arriver trw cas: .

Ou le troisième plan dont la position est fixée, rauontn la surface conique suivant deux de ses génératrices dont chacune dÉ alors être considérée comme la troisième arête d'un angle trièdit ayant SB , SA, pQur ses deux autres arêtes; et les angles triédm ainsi formés satisfont aux conditions de renoncé ;

Ou le plan ne fait que toucher la surface conicpie soivaDt uoe de ses arêtes (n® 3^9) ; auquel cas, on obtient un seul angle trièèt satisfaisant à Ténoncé ;

Ou bien enfin , le plan est tout à fait extérieur à la suifv» conique*, et dans ce cas, il ne peut exister d'angle trièdre.

Voyons maintenant, lorsque cet angle est possible, oomncDi déterminer la troisième face.

Soient ASB, BSG, les deux faces données, dont nous prendrons la première pour le plan de construction , la seconde étant d'ui* leurs supposée rabattue dans ce plan.''

Par un point quelconque E de SB, menons un plan perpeodtculaire à cette droite ; ce plan , qui est vertical , coupe les deux faces ASB , BSC , suivant des droites EF, £D, perpendiculaires à SA , et li troisième face inconnue, suivant une certaine droite, dont do« allons d'abord chercher à fixer la direction dans ce plan vertical, en le supposant, pour le moment, rabattu autour de sa trace EF sur le plan horizontal. — A cet effet, concevons par le mêiiie point E un autre plan vertical et perpendiculaire' à l'arête SA; ce nouveau plan, qui contient la verticale élevée du point £, coupe la face ASB suivant la droite £K perpendiculaire à SA, et la bft inconnue suivant une droite, aussi perpendiculaire à SA, et formant par conséquent avec EK un angle égal à l'angle dièdrr donné. — Or, si nous rabattons ce nouveau plan lui-même aotour de sa trace EK , la perpendiculaire à SA , située dans k êmy inconnue, prendra, après ce rabattement, une position &1 1^ que IKE ^oit égal à l'angle donné ; et la verticale partant du point £, devant être perpendiculaire à EF, sera représentée eo grandeur par £1. — D'ailleurs cette verticale appartient égaiemeo' au premier plan vertical que nous avons imaginé ; et dans le ra*

GOlrSTAnCTlOir des angles T&liDEBS. ^ii

battement de ce plan autour de sa trace EF, elle devra prendre la direction £B. — Si donc nous portons £1 de £ en G sur £B , et qne.nous joignions le point G au point F, trace horizontale de la droite d'intersection du premier plan vertical avec la face inconnue, nous aurons la direction de cette droite dans ce plan vertical rabattu.

II reste maintenant , pour achever la résolution du problème , — i** — à déterminer la position du point D dans ce plan rabattu l'-^Q? — à déterminer la position de ce même point lorsque la troisième £ioe tourne autour de SA pour se rabattre sur le plan horizontal.

Or, — I® — dans le mouvement que fait le plan G£F pour se rabattre sur le plan horizontal, la distance du point D au point £ ne doit pas changer; donc si du point E comme centre, avec £D pour rayon , nous décrivons une circonférence de cercle, elle rencontrera généralement la droite FG en deux points d\ d", qui représenteront alors deux positions différentes du point D dans le plan vertical G£F rabattu.

a** — Remettons ce plan dans sa position verticale , puis faisons tourner d'SA ou d^SA autour de SA. Dans ce mouvement , les distances des points </', d^^ au point F ne changeront pas ; ainsi ces points devront se trouver sur les circonférences décrites du point F comme centre avec les rayons F^', Fd'\ — D'un autre c6té , ces mêmes points doivent appartenir à la circonférence qui a pour rayon SD. — £n cherchant donc les points D^, D" où cette circonférence rencontre les deux autres , et joignant -ces points au points, on obtiendra ASD', ASD^ ou plutôt, ASC% A^C", pour la troisième face demandée.

N. B, — Si la circonférence £D né faisait que toucher la droite FG, il n'y aurait qu'une solution; et si elle ne la rencontrait pas, le problème n'admettrait aucune solution.

Connaissant la troisième face , on déterminerait les angles dièdres inconnus d'après le problème du n" 410.

Rous n'insisterons pas davantage sur le dernier problème , dont la discussion complète nous entraunerait trop loin.

434 uv* ni. — CHAP. 111. — § ui.

Scoux. — Au moycA de l'angle trièdre supplémentaire, oa déduit du cas que nous venons de traiter, celui où l'on donne deux angles dièdres et la face opposée à l'um d'eux.

Nous avons donc les moyens de déterminer grapkiquememi trots quelconques des six éléments qui constituent un ang^e trièdif , lorsque les trois ajitres sont donnés. Par suite , les questions rebtives i^ux triangles sphériques sont susceptibles elles-mêmes de solutions purement graphiques.

S III. — Problèfues sur la sphère.

PaoBiiME I.

N** 415. — Circonscrire une sphère à un tétraèdre donné; a d*autres termes, faire passer une sphère par quatre potmi donnés.

Les projections des quatre points étant supposées oonnws, déterminez (n^ 595) les traces du plan qui passe par trois despoiati donnés ; puis cherchez (p9 408) les projections du centre du œidc passant par ces trois points, et élepez parce point ainsi constrnii une perpendiculaire au plan des trois points.

Répétez les mêmes constructions par rapport au quatrième poiat combiné avea deux des premiers.

Le point où les deux perpendiculaires se coupent (n^ 578) sen le centre de la sphère demandée.

AuTasmiiT : — Par les milieux de trois arêtes d*un même aogW trièdre du tétraèdre donné, mene^ des plans perpendiculaires à ces arêtes (n^ 598), et détermine* le point d'intersection de ces trois plans.

Vous obtenez ainsi le centre de la sphère cherchée (n** 578).

N. B. — Les projections du centre et celles de l'un des poists éunt connues, le rayon peut être feoilement construit.

ScoLiE. — Quand on peut disposer .des plans de projecti<Hi < volonté , la construction est susceptible de grandes simplificatioB^ — Ainsi, par exemple, rien n'empêche de piendre fowr pi^

PEOfiLEMES SUR LA SPHÀRE. ^35

horûoniai le plan de trois des quatre points donnés, et pour plan vertical le plan vertical passant par Taréte qui joint le quatrièpie point à Tun dés trois premiers.

^ous engageons les commençants à exécuter Tépure de ce problème, — i** -— en supposant les points situés d'une manière quelconque par rapport aux plans de projection-; — 2*^ -^ dans le cas particulier oOi le plan horizontal et le plan vertical ont la position spédale que nous venons d'indiquer.

PaoBiibiElI.

N* 414. — Inscrire une sphère à un tétraèdre donné.

Nous savons déjà (n** 579) que le centre de la sphère demandée se trouve à Tintersection des trois plans bissecteurs des angles dièdres à la base du tétraèdre donné.

Les quatre sommets du tétraèdre étant supposés donnés par leurs projections, on peut d'abord déterminer les traces des plans passant par ces sommets combinés trois à trois (n® 595). — Après quoi , Ton cherche (n*^ 400, scol. Il) les traces des plans bissecteurs des angles que forme la face prise pour base avec chacune des trois autres; et enfin l'on détermine (n^ 4011, N. B,, i^) le point d'intersection de ces trois plans.

Mais cette solution générale se simplifie beaucoup lorsqu'on suppose la base du tétraèdre placée dans le plan horizontal.

Jutres problèmes sur la sphère,

N*» 415. — OBSX&VATioir pb^umik aikx. *:- lies problèmes suivants n'ont d'autre analogie avec la Géométrie descriptive ^ qu'en ce qu'ils se résolvent, quelques-uns du moins, par des constructions exécutées sur un plan. Mais ces constructions sont fondées uniquement sur les principes de la Géométrie ordinaire.

Nous supposerons toutefois que Ton ait à sa disposition un instrument , nommé compas sphérique (n^ 564 , note) , an moyen duquel , en plaçant l'une des pointes en un point de la surface d'une sphère , et appuyant Taulre pointe sur la même surface , on puisse décrire une circonférence de cercle, dont le point pris sur la surface est alors le pôle {tfi 5€S, Scôlie II) : — La distance rectiligne

/{36 Mv. m. — GHAP. m. — § m.

des deux pointes est , dans ce cas , la corde de l'arc de giami cerck compris entre le pôle et le point où se trouve placée la seconde pointe : — lorsque le cercle décrit est un grand cercle, Yonyature du compas est le côté du carré inscrit , ou la corde du f kdrant,

Fio. 336. pROBLÀME m. (F/^. 336.)

N** 416. — Vrie sphère étant donnée , construire son rayon.

D'un point quelconque P pris pour pôle , et avec une ouvertoit arbitraire , décrivons d'abord une circonférence de cerde sur b surface de la sphère (n® 4t^)> et marquons trois points A, B,C sur cette circonférence. Prenons ensuite trois ouvertures égile respectivement aux cordes AB, AC, BG, et sur un plandooiv, construisons avec ces cordes comme côtés , un triangle A'B'C';~i« cercle circonscrit à ce triangle (n** iISi, 2^) n'est autre que le petit cercle* ABC; donc, en .nommant D le centre de ce petit cercle, D celui du cercle circonscrit, on a DA = D'A^

Maintenant , prenons £F = A'D', puis élevons au point F la droite indéfinie GFG' perpendiculaire à £F , et marquons sur cette perpendiculaire im point G tel que l'on ait £G égal à AP [ce qm est possible puisque AP ^ AD ^ £F]. — Construisons enfin Vvs^ G£0' égal à l'angle £GG^ [il suffit, pour cela, d'élever par le nâlieu I de G£ une perpendiculaire à cette droite].

Nous formons ainsi un triangle isoscèle 0'£G ^al au triafigif isoscèle OAP ; donc 0'£ =r OA est le rayon demandé.

ScoLiE. — .Pour obtenir sur une sphère donnée la corde àa. quadrant f il faut, d'après le problème précédent, déterminer /f rayon de la sphère ; et la corde cherchée est la diagonale du carre * construit sur ce rajon.

> Nous avons vu d'ailleurs (n^ 364, scoL in) que les drcosferences de grand cercle doivent être décrites avec une ouverture^ compas égale à la corde du quadrant.

Fie. 337. Problème IV. {Fig, 337.)

N* 417. — Par deux points donnés, A , B, sur la surface d^ust sphère y tracer une circonférence de grand cercle.

PAOBLKHES SUE LA SPHÈAR. ^3']

Prenons [n® 416, scol,] une distance égale à la corde du quadrant; puis y des points donnés A, B, comme centres respectif, et ïvcc cette distance comme rayon, déctipons d'un niéme côté par rapport au plan ABO [O étant le centre de la sphère] deux arcs qui se couperont' en un point P ; — ce point sera le pôle de la circonférence cherchée (n" 364, scol, III) , ligne qui pourra alors être décrite facilement , puisque la distance de ce pôle à chacun des points A, B, est connue et égale à la corde du quadrant.

PaOBLÀMB V.

N^ 418. — Etant donnés une circonférence de grand [ou de petit] cercle et an point sur la surface de la sphère, mener par ce point une circonférence de grand cercle perpendiculaire à la première.

Les moyens de construction sont tout à fait identiques avec ceux des problèmes (n»« 148, 149, >%. 89, 90): il suffit de sup-^»<*-^> Opposer que la ligne donnée est une partie de circonférence au lieu d'être une ligne droite.

P&EiiiER CAS, le point donné étant situe sur la circonférence donnée. — (P^g- 89.) — Prenez sur la circonférence donnée , de part F»c. 89. et d'autre du point donné A , deux distances égales AB , AC ; puis , des points B , G , comme pôles , et avec la même ouvcrtui^ [plus grande que BA ou CA] , décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en un point D, eX. faites passer une circonférence de grand cercle par les deux points A , D (n*' 417);

Vous obtenez ainsi la circonférence demandée.

Skoond cas , le point donné étant situé hors de la circonférence. *~ i^S' 9^0 — ^" point A comme pôle, décrivez un arc de Fie. go. cercle qui coupe la circonférence donnée en deux points G, D; puis, de ces deux points comme pôles respectifs, et avec nne ouverture sufifisamment grande , décrivez deux arcs qui se coupent en un point D' situé du côté opposé au point A par rapfiort à Tare CD; enfin faites jjasser une circonférence de grand cercle par les deux points A, D.

ScoLiK. — On peut , par un procédé analogue à celui du n* ItfO,

438 Liv. m. — cRAp. 111. — § m.

diviser un arc de grand ou de petit cercle d'une longueur donoR , en 2 y 4» ^v parties égales par une droonférence de f^nnl cercle

CoaoLLAi&E. — Vgut, faire passer par trois points, donnés sur une surface sphérique y une circonférence de cercle, il faut , d*aprà le problème qui vient d^étre résolu , tracer deux circonférences de grand cercle dont tous les points soient , pour chacune, également distants des points donnés , pris deux à deux. — Ces circonféreno» se couperont en deux points qui seront les pôles du cercle cherché (n° 564 , scoL Œ), lequel sera alors facile à construire.

Enfin y on peut, par ce moyen, trouver les pôles d'an cerck donné.

FiG. 337. PROBLiME VI. (jFYg'. 337.)

N** 419. — Étant donnés une circonférence de petit cercle et «/» point sur la surface ds la sphère, mener par ce point une circonférence de grand cercle tangente à la première,

D*abord , deux cercles d'une même sphère sont dits tangents Tun à Pautre en un point, lorsqu'ils ont une tangente commune en œ point; — et comme le méridien (n** 564) de tout cercle qui correspond au point de contact est perpendiculaire à la tangente, il s'ensuit que les deux cercles tangents ont un méridien commun ai point de contact.

Nous remarquerons en outre que , par un même point d'un petit cercle , on peut mener une infinité d'autres cercles qui lui soieoi tangents : car il suffit de faire passer par la tangente un plan quelconque.

Mais il n'existe qa'un seul grand cercle tangent et passant pir ce point : c'est celui que déterminent le centre de la sphère et b tangente.

Cela posé, traitons successivement chacun des deux cas.

PnEMisa cjks. — Soient AMB le petit cercle donné, M le point de contact de la circonférence demandée.r

Déterminez d'abord (n® 418, coroL) le pôle P du petit cercle; puis faites passer un' grand cercle PMP' par les points P, M

PROItLBMES SUR LA SPHERE. ^3g

(n^ 417} : vous aurez ainsi le méridien correspondant au point de contact. MalB le tierclfe cherché doit passer par le poiât M et être perpendiculaire au plan du grand cercle PMP' : il suffit donc maintenant de mener par le point M une circonférence de grand cercle GMD perpendiculaire à PMP' (n** 4i8); et vous obtiendrez ainsi la circonférence demandée.

Sbcohd cas. — Soit I le point donné hors du petit cercle AMB. — Supposons le problème résolu, et soient ClMb le cercle de^ mandé , PMP' le méridien commun.

Prenons sur PBiP^ MH = MP = PA, et observons que, CIM étant perpendiculaire sur le milieu de PH, le point I est également distant de P et de H ; ainsi l'on a PI = IH.

On voit donc que le point H est à l'intersection de deux circonférences de cercle , Tune décrite avec la distance PH = t^A , l'autre décrite du point I avec la distance IP.

De là. résulte la constniction suivante :

I® -r- Déterminez le pôle P comme dans le premier cas; — 2? — prenez une ouverture de compas égal^ à la corde de IP ; — 3® — déeriçez du point I comme centre, avec ce rayon , une circonférence de petit cercle ; — 4^ — décrivez du point P, avec un rayon égal à la corde d'un arc PA' = aPA , ane autre drconfé*lence qui coupe la première en un certain point H ; — 5® — /aiitfs passer par les points P, H , une circonférence de grand cercle qui rencontre le petit c^de AMB au point M ; — 6^ — enfin, — pa» les points I , M, faites passer un grand cercle {a? 417) ; — ce sera le cercle demandé.