DE LA SIMILITUDE DES POLYÂDRBS

N*> 491. — Maintenant, un polyèdre quelconque étant déterminé par un assemblage de tétraèdres qui le composent , il s'ensuit ipie

Deux polyèdres sont semblables lorsqu'ils peuvent se décompofer en un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et disposés de la même manière.

D'où Ton tire cette nouvelle conséquence : v.-^

Deux polyèdres semblables à un troisième sont semblables entre eux.

On nomxae points homologues dans deux figures semblables, — I* — les points homologues de leurs faces (n® t88); — 2*^ — les points liés aux faces homologues par des tétraèdres semblables [d? 4510) 9 et disposés de la même manière.

On nomme lignes homologues les droites que déterminent tleux couples de points homologues chacun à chacun.

On nomme sections homologues les polygones résultant de Tintersection de deux polyèdras semblables par deux plans que déterminent trois couples de points homologues chacun à chacun.

Enfin, deux polyèdres semblables sont égaux lorsqu'ils ont une arête y ou plus généralement, une ligne homologue égale.

X^o 4S9. — Deux tétraèdres, et en général , deux polyèdres sont dits inversement semblables y lorsque l'un d'eux est semblable au symétrique de l'autre (n® 554). — Mais nous ne traiterons , pouf le moment , que des propriétés des polyèdres directement semblablés, nous réservant de revenir sur l'autre sorte de polyèdres dans le second appendice. — Aussi , afin d'abréger les énoncés des théorèmes, nous omettrons quelquefois la restriction iiisposés de la même manière, comme devant être toujours sous-entendue, dans le sens que nous lui avons attribué.

TuioASME I. {Fig, 339.) Fie. 339.

N"* 495. — Tout plan parallèle h l'une des faces, ABC, d'un tétraèdre SABC , détermine avec les trois autres faces un second té-traèdre SA^^B^G', semblable au premier [les deux plans parallèles étant placés d*un même côte par rapport au sommet S].

44^ ï'ÏV. IV. — CfllA». I. — § 1.

En effet, les droites A^'B''» k!'CyVC\ étant respedivencit parallèles aux droites AB, AG, BC (n^ 918), il en résulte

SA : SA'' :: SB : SB" :: se . se :: AB : a'^b" :: ac : a'^C' :: bg : ^"C-,

donc (n« 4S0) les tétraèdres SABC , SA^'B'^CT, sont semblables.

GoaoïAAxaB I. — Tout plan parallèle k la base d'une pjnmiik FiG. a86. quelconque SABCDE {fig. a86) [et situé du même côté que cette base par rapport au sommet] détermine une autre pyruande tûMi semblable à la première* En effet, on a vu (n^544) que lestrêiOr ainsi que les côtés des bases AfiCDE, aboie, sont proport» nelles; donc, les tétraèdres que Ton obtient en menant des pi» par le sommet S et les diagonales de ces bases sont semblables (n? 4M) ; donc aussi les pyramides sont semblables (n*41li].

CoEOLiAïas n. — Dans deux tétraèdres semblables SàBC, Fie. ?39. S'A'B'C (/^. 339) , les hauteurs SH, S' H' sont prvportiofh nelles aux arêtes.

En effet, sur SA prenons SA" =:S^A', et par le point A" me nons un plan parallèle à ABC : — Le tétraèdre âA^'B^C est semblable à SABC , d'après le. théorème principal , et par conséquent aussi à S'A'B'C (n*" 480, 2<»); mais , par construction , SA''=S'A'; donc les tétraèdres SA"B"C% S'A'B'C, sont ^ux (no4Si:;i d'où SH" = S' H'. Or, SH : SH" : : SA : SA*' (n« 544) ; donc aussi SHiS'H' :: SA : S'A'.

If. JB. — La même proposition s'applique à deux pyramides semblables quelconques.

r». 339. TratoaiME U. (Flg. Bdg. )

N» 494. ~ Deux tétraèdres ^ABC, S'A'B'G', sont semblables diBs deux cas principaux ;

i^ — Lorsqu'ils ont deux faces semblables chacune n chacun [SAB et S'A'B', SAG et S'A'G'], également inelimées et disp^ sées de la même manière ;

2** — Lorsqu'ils ont un angle trièdre [en S et S' par exempt]-

OE LA SIMILITUDE DBS POLYÈDRKS. 44^

ynpris entre trois faces semblables chacune à chacune et dispo' iesdela même manière.

Le second cas est une conséquence presque immédiate de la éfinidon {vP \%Si) \ car, de la similitude des trois faces, on conut la proportionnalité de toutes les arêtes.

Quant au premier cas , pour le démontrer , sur SA prenons ^ = S'A', et menons par le point A^ un plan parallèle à ABC :

triangle SA"^'', semblable à SAB, est aussi semblable à S'A'B'^ i de plus lui est égal , à cause de SA"^ = S'A^ Pareillement, on SA''C' = S^A'C'. Or, par hypothèse, les deux angles dièdres nvant SA"" et S'A', sont ^ux; donc les tétraèdres SA^'B^'C^, A'B'C, sont égaux (n? 547). Mais SA^'B^'C est semblable à ABC ; donc , etc. . . .

ScoLu. — Ihux tétraédrts sont encore semblables , hnqm'ils nt une face semblable [ 5AB et S'A'B'] , et les angles dièdres ijacents égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.

En effet, prenons, comme ci -dessus, SA".= S'A', et menons par ) point A"" un plan parallèle à ABC : — le tétraèdre SA^'B^'C' est smblable à SABC ( n* 425 ) ; ainsi , les angles dièdres suivant A^, SB'', A''B", sont respectivement ésaux aux angles dièdres nivantSA, SB, AB , et par conséquent aussi, d'après l'hypolèse, aux angles dièdres suivant S'A', S'B', A' B'. — D'ailleurs , A'^B", semblable à SAB , est semblable à S'A'B', et de plus lui rt égal, à cause de SA" = S'A' ; donc les deux tétraèdres SA"B"C", 'A' B'C, sont égaux ( n<> 547) ; mais le premier est semblable à ABC; donc, etc.

Enfin, on peut dire que ^ Deu» tétraèdres gui ont tous les angles Hèdres égaux chacun à chacun sont semblables ; car, d'après la propriété des angles trièdres supplémentaires (n^ 550), l'égalité des ngles dièdres entraine l'égalité des angles formés par les arêtes, t par conséquent , la similitude des faces correspondantes.

Mais ce nouveau cas contient une condition de trop , parce [ue, trois faces étant assemblées, deux angles dièdres suffisent H)ur déterminer la direction de la quatrième face.