MV. IV. CHAF. I. § II
FiG. 343. \2Jf MM^ comme dans Ia figure 34^ , ou bien qu*dles aient ose F». 343. position relative quelconque , comme dans lafigure 343. ^Eitminons ces deux cas successivement :
P&EMDUL CAS. — Soient les deux parallélipipèdes ABCDEFGH,
Fk». 34:1. ABCDE^'G'H' {fig. 342). — On a évidemment deux prismes
triangulaires AEE'DHH', BFFCGG% égaux entre eux (n» 516'
comme ayant un angle trièdre égal , l'un en A y Tautre en B, coo-
pris entre trois faces égales chacune à chacune , savoir :
AEE' = BFF', ADHE = BCGF, et ADH'E' = BCGT
Or si y de la figure totale ABGDG'EŒF', on retranche altematÎTement ces deux prismes égaux, il reste, d'une part, le paralléiipipède ABGDE'F'G'H', et de l'autre , le parallélipipède ÂfiCDEFGfl. Ainsi , ces deux parallélipipèdes sont égaux en volume.
Secoud cas. — Soient maintenant les deux parallélipipèdes FiG. 343. ABCDEFGH, ABGDET'G^H' (Jig, 343) [on s'est dispensé decoistruire le second, pour ne pas compliquer la figure].
Comme les côtés ET', H'G^ du second parallélipipèiie, so« respectivement égaux et parallèles à EF, HG, et par conséqooit à AB, DC, que, de même, E'H', FG% sont égaux et parallèles à AD, BG , il en. résulte que, si l'on prolonge les côtés E'H', FG\ jusqu'à leurs rencontres respectives en E*', H", F*, C, avec lei côtés EF, HG , aussi prolongés , on formera un parallélogramme 'E"F''G''H'' égal à ABCD , ainsi qu'aux bases supérieures , EF&H, E'F'G'H'. — Donc , en menant par AB et E^'F', DC et H'G', puis par AD et E''H'', ËC et F^'G'^, des plans, .on obtiendra ob nouveau parallélipipède ABCDE'T"G"H'', équivalent à diaciB des deux parallélipipèdes donnés, en vertu du premier cas.— Donc aussi ces deux parallélipipèdes sont équivalents entre eus;
F». 344. TnioEÂifE IV. (Fig, 344.)
N® 451. — Un parallélipipède oblique quelconque ABCDttW (fig. 344) ^^^"^ donné, il est toujours possible de le transformera un certain parallélipipède rectangle de même hauteur que Im^ rt dont la base soit équivalente à celle du parallélipipède propose.
DI&TERMINATION DKS VOLUMBS. 449
Par les points A, B, C, D, de la base ABCD, élevons des permdiculaires an plan de cette base , elles vont rencontrer la base ipérieure en quatre points E% F% G^ H'; et en joignant ces points eux à deux, nous formons un parallélogramme E'F'G'H' égal à BCD , et par suite , un paralléHpipède droit ABCDE'F^G'H' équiilent au parallélipipède donné , en vertu du théorème précédent.
Afin de ne pas compliquer la figure , concevons que ce nouveau irallélipipède glisse dans le plan de sa base inférieure et vienne rendre la position A'B'C'D'E'F'G'H'.
Gda posé 9 des sommets A% B', de la base A'B'Giy, menons T, B'K'y perpendiculaires à A^B', ce qui détermine un rectangle 'FK'r équivalent au parallélogramme A'B'C'D' (o<> 910); puis, tr les points V, K% menons IT, K'K'' parallèles à A'E', B^F, et ngnons les points E% F% aux points V\ JSJ\ où. ces parallèles SDoontrent G' H'. — Nous obtenons ainsi un nouveau parallélipi* ède A'K^y qui est rectangle, puisque toutes ses faces sont éviemment des rectangles , et qui est équivalent au parallélipipède roit (n® 430); puisque tous deux peuvent être considérés tttune ayant pour base commune le rectangle A'E'F'B', et mv hauteur A^r. Or, par construction , le parallélipipède droit est piivalent au parallélipipède donné ABCDEFGH; donc celui-ci it aussi équivalent au parallélipipède A' R^'. ,
Ainsi, le parallélipipède oblique se trouve transformé en un irallélipipède rectangle de base A' B' Ef V équivalente à ABCD , : de même hauteur que lui , II" = AE'; C. Ç. F. D.
THioRiME V. {Fig. 345.) F10..345.
N'iéSS. — Teut prftme triangulaire obli^fue ABDEFH, esi la Mtié d'un parallélipipède de base double et de même hauteur Hijrez le n*» îit].
Par les points B, D, menons BC, DC, respectivement parallèles AD, AB, ce qui détermine un parallélogramme ABCD double de i base ABC; puis, par le point C,Nmenons CG parallèle à AE, nqu'à sa rencontre en G avec la base supérieure EFH du prisme , (tirons FG, HG; nous formonsainsi un parallélipipède ABCDEFGH ont la base ABCD est double de celle du prisme, et qui a même
45o LIV. IV. — CHAP. I. — § II.
hauteur que lui. Or,, il sera établi ultérieui«meiit (2* App.) que ks deux prismes triangulaires ABCEFH, BCDFGU, éunt symétriques, ne sauraient , pour cette raison , être superposés ; mais nous n'en pouvons pas moins démontrer dès à présent qu'ils sont éqmhûlents, cefcpii suffit à Texistenoe du théorème énoncé.
A cet effet , coupons la figure totale par un plan MIIPQ perpendiculaire aux arélesAEyBF ,... [ettelqueiesquatre pointsE, F, G, H, soient situés d'un même côté par rapport à ce plan]; puis, xçm avoir pris sur Varête A£ prolongée une partie AM' égale à ME [ce qui donne MM' = AE] , menons par le point M' un plan M'N'FQ' parallèle à MNPQ ; nous obtenons ainsi un panMpipède droit M'N'P'Q'MNPQ , qui se trouve partagé par le plan diagonal EIFBD prolongé , en deux prismes triangulaires égaux et superposables (n^ 546 , scol, II ). Or, je dis que ces deux prisaes triangulaires droits M'N'Q^MNQ et NT'Q^PQ, sont respectivement équivalents aux deux prismes triangulaires obliqaei ABDEFH, BCDFGH.
Car, si l'on imagine que le solide M'N'Q' ABD glisse le long àt l'arête M'E, de manière que le triangle M'N'Q' vienne se piaoer sur son égal MNQ , comme les droites M'A , N'B , Q'D , sont perpendiculaires au plan M'N'Q', et qu'il en est de même des droites ME , NF, QH, par rapport au plan MNQ, il s'ensuit que les pre> mières prendront les directions des secondes (n^ SOI); oooinie d'ailleurs, on a, par construetion , M'A = ME, N'BrrNF, Q'D = QH , il s'ensuit encore que les sommets A , B , D, coïncideront avec les sommets £, F, H; donc les solides M'N'Q'ABD, MNQEFH, sont égaux. — Par suite, le prisme triangulaire droit M'N'P'MNQ est équivalent au prisme oblique ABDEFH.
On démontrerait absolument de la même manière, que lei deux autres prismes sont équivalents.
Donc enfin , à cause de l'égalité des deux prismes dnnts, les deux prismes obliques sont , non pas égaux , mais équivalents;
GoBOLUuaB I. — Les prismes triangulaires déterminés par ks sise plans diagonaux d'un paraiiéiipipède quelconque {jd^ 544 , sont tous équipalents entre eux.
DÏTKHMIMATIOK DXS VOLUMES. ^Sl
Car chacun de ces prismes est moitié du parallélipipède.
GoaoLLÂULE n. — Tous les prismes triangulaires qui otU une hase commune y et fiant les bases supérieures sont placées sur un néme plan parallèle h la base inférieure commune , sont équivalents, puisqu'ils sont tous moitiés de parallélipipèdes équivalents n*» 450).
Scow». -- Le parallélipipède droit M'N'FQ'MNPQ {Jig. 345) F»»- ^45- ^tant composé de deux prismes triangulaires équivalents aux deux krismes du parallélipipède oblique ABCDEFGH , on peut encore ;n condure que ces AevoL parallélipipèdes sont équivalents.
Or, à cause de M'A = ME , par construction , on a évidemment 4'M = AE , N'N = BF, Q'Q = DH ; d'où il suit qu'a/i pamilélinpède oblique quelconque est équivalent au parallélipipède droit mi a pour hauteur V arête du premier, et pour base une section Perpendiculaire à cette arête .
TBEoaÀMX VI. {Fig, 346.) Fio. 346.
N*" 455. — Deux tétraèdres SABG , S'A'BT^ de même base t de même hauteur, sont équivalents.
Pour simplifier les raisonnements, nous supposerons les deux <ases ABC 9 A'B'C, placées sur un même plan, auquel cas, la auteur commune aux deux tétraèdres sera représentée par une léme droite AH, comprise entre le plan des deux bases, et un lan parallèle À celui-ci , mené par les sommets S , S'.
Cela posé , il a déjà été démontré que des sections GIK , Gl'K', lites , dans les deux tétraèdres , par un même plan parallèle aux ases , sont égales (n® 544, scol.). Or, si l'on imagine que la haumr AH soit divisée en un nombre inj!ni de parties égales, et ue, par tous les points de division, l'on mène des plans paallèles aux bases , les tétraèdres se trouveront partagés en tranhes infiniment minces, que Ton pourra considérer sensiblement ommedes prismes triangulaires (*). — Mais les prismes du premier
(-*) A proprement parler, cet trancbet •ont des lrono< de tétraèdres;
