LIV. IV. CHAP. 1. § II

sont respectivement équivalents à ceux du second (n® 4351, €oml, U puisqu'ils ont des bases égales et de même hauteur ; donc » la soev de tous les prismes du premier tétraèdre est égale à la sonuoe k tous les prismes du second ; donc , etc.

Au reste, voici une démonstration tout à fait rigoureos^.r fondée sur la réduction à l'absurde :

Admettons, pour le moment, que les deux tétraèdres nesorrc pas équivalents, et que Vçn ait, par exemple,

(i) SABC — S'A'B'C' = J.

Quelle que soit cette différence ^, on peut la représenter pff ]e volume d'un certain prisme ayant pour base le triangle AK. et pour hauteur une partie quelconque AX de AH [ car on i n {p^ 558) qu\m piisme construit sur une base donnée est susceptible de passer par tous les états de grandeur, depuis zéro jusqu'à riniini].

Cela posé, divisons la hauteur totale AH en parties ^>b Aa, aa\ a'a"^, . ., arbitraires , mais moindres que AX; pb, par les points de division a , a', a\ . . . , menons des plans panl» lèles.aux bases ABC, A'B'C : — Ces plans déterminent, daosN deux tétraèdres, des sections DEF et D'ET', GIS. et GI'K',. égales chacune à chacune (n^ 544, scoL).

Maintenant, en ne considérant d*abord que le premier tétraèdre, menons par les points B et C , E et F, I et R , . . . des droits Br et C/*, £/ et Fi( , \m et Kti , . . . parallèles à Taréte SA , jnsqal leurs rencontres respectives avec les droites DE et DF, GI etGK LM et LN , . . . suffisamment prolongées. — Nous fomos ainsi une série de prismes triangulaires ABCD^, DEFO.^ GIKL/it/i , . . . , qae'nous nommerons prismes extérieurs [ou tsôtdents"].

Passant ensuite au tétraèdre S'A'B'C, menons élément les , droites EV et F'A Vi' et K'X', M'/w', et N'»', . . . , parallèles àla-

maif, à raison de rextrême rapproehement de leurs bases, les arête» Itérâtes de ces troncs peuvent être regardées comme parai lèies ; et alors, i^ deviennent des prismes.

OÊTERlIINATlOIf DES VOLVVES. 4^3

\ S 'A', jusqu'à leurs rencontres respectives avec les droites A'B' A'C, lyE' et DT', Gl' et G'F',... : nous obtenons de Lveaux prismes AV/'D'E'F', D^i'^G'I'K',. . . que nous «lierons prismes Intérieun [ou déficients ] ; et ici , il est imtant d*obserTer que , par cette dernière construction y nous ns un prisme de moins que par la première. Aais si nous comparons successivement les prismes extérieurs premier tétraèdre aux prismes intérieurs du second, nous ODS y — i^ — que le prisme extérieur DEFG/A* de la seconde iche est éqiiivalent au prisme intérieur A V/'D'£ 'F' de la / voiève tranche (n^ 458 ^ coroL II), puisqu'ils ont même hau> p et même base [DEF = D'E'F' ] ; — 2** — que le prisme exeur de la troisième tranche, GIKLmn, est équivalent au \me intérieur de la seconde tranche , \y i'k' ETK' ; . . . et ainsi suite.

!>'où il résulte que la difTérence entre la somme des prismes érieurs du premier tétraèdre et la somme des prismes intéirs du second , est représentée par le prisme extérieur ABCD^ la première tranche, lequel a pour hauteur ka. )n a donc , en appelant S la première somme , et S' la seconde ,

S — S' = prisme ABCD ef,

par conséquent y S — S' <^ J, puisque 9 est, par hypothèse ,

volume du prisme qui a pour base ABC , et pour hauteur

. ]> Afl.

)r l'inégalité S — S' <^S est absurde \ car, la première somme

tant évidemment plus grande que SABC, et la seconde somme

plus petite que S'A'B'C, on devrait avoir au contraire , par

te double raison , S — S' > ^.

iinsi, il est absurde de supposer le volume du tétraèdre

BC différent du volume S'A'B'C. Donc, etc.

N** 454. — CoaoLLAiaE. — Un iéiraèdre quelcon<jue SABC

^. 347 ) est le tiers d'un prisme triangulaire de même hase ABC Fie. 347.

de même hauteur que lui^

Rn supposant menées par le point S , les droites SD , SE , pa-

454 "V. IV. — CBAP. I. § II.

rallèles et égales à BA, BC, tirons ks droites I^, AD, CE: il en résujte une figure AfiCSDE qui est évidemment on prisme (n^ 599, 558). — Cela posé, par les trois points S , D , C, conduisons un plan SDC qui partage ce prisme en trois parties SABC, SAQ) , SGDE , dont les volumes sont égaux. -^ Car d'mboid , Is tétraèdres SACD, SCDE « sont équivalents f n^ 458) ) comme ajut des bases égales, ACD, DCE , et même hauteur puisqu'ils ont même sommets et leurs bases placées sur un même |^n. — En outre, si nous considérons le .tétraèdre SCDE comme ajant son sonnet en C, sa base est alors SDE ; et les deux tétraèdres CSDE , SAfiC, sont équivalents comme ajant même base , SDE , ABC , et mcae hauteur, savoir : la perpendiculaire commune aux plans de es deux bases. — Ainsi, les trms tétraèdres sont équivalents, etTiiB d'eux, SABC , est le tiers du prisme ; C* Q. F. D.

ScoLiE. — On voit, d*après cela, que

Tout prisme triangulaire est décomposable en trois tétraèdrtt if même base et de même hauteur que lui.

Ces diverses propositions préliminaires étant établies, nou pouvons facilement en déduire la mesure de toute sorte de polyèdres , en procédant comme pour les polygones.

Fio. 348. ' Lemmb. (Fig, 348.)

N"" 455. — Deux paraliélipipéiks rectangles ABCDEFGHr ABCDIKLM , de même base ABCD , sont proportionnels à Unn hauteurs AE , AI ; c'est-à-dire que Ton a

par. KO \par, AL i: AE : AI.

Soient d'abord les hatUeurs commensurables , et dans le rapport de i4 ^ 9 par exemple.

Divisons AE en i4 parties égales dont 9 seront alors conteoncs dans AI; puis, par les points de division, teenons des plans parallèles à la base ABCD; il est clair que le parall^ipipède AG se trouvera partagé en i4 parallélipipèdes partiels , tons ëgaui entre eux , dont 9 seront contenus dans le parallélipipède AL.

DKTEKMINATION DES VOLUMES. 4^5

Ainsi ces deux parallélipipèdes sont entre eux dans le même rapport que les hauteurs A£ y AI.

Quant au cas où les hauteurs sont incommensurables, nous ne pourrions que répéter ici les raisonnements qui ont été faits au n"2iS pour les polygones; et nous y renvoyons.

CoAOLLAïaE I. — Réciproquement : — Deux parallélipipèdes rectangles de même hauieur A£ = A'E' (fig- 3^9 ) 9 '^''^ /»/v- Fig. 349. portionnels à leurs bases, ABGD, A'B^C'D'.

Prenons sur Taréte AB une partie AB" égale à A'B% et menons le plan B'^CG^E'' parallèle au plan de la face ADEH : nous obtenons ainsi un troisième parallélipipède [auxiliaire] AG'^ qvî a même base ADHE que le parallélipède AG ; donc , en vertu du théorème précédent, on a la proportion

(i) par. AG : par. AG' :: AB : AB".

Mais, à cause de A£'= A' E' et de AB'^ = A'B', les rectangles 4B"E''E, A'B'F'E'y sont égaux; et les deux parallélipipèdes AG", AG% ont aussi même base, AB"E"E, A'B'F'E', et sont sntre eux comme leurs hauteurs AD, A'D'. Aîtisi Ton a la nouirelle proportion

(a) par. AG" : par. AG' : : AD : A'D';

l*où , multipliant terme à ferme les proportions (1) et (2), et (mettant le facteur commun par. AG", ^

par. AG : par. AG' I : AB X AD :'AB" X A' B'.

)Ty AB X AD est l'expression numérique de la base ABCD (n° HiS); e même , AB" X A'D', ou A'B' X A'D', est Texpression numé- [que de la base A'B'C'D'; donc enfin

par. AG : par. AG' : : ABCD : A'B'C'D'; C. Q. F. D.

CoaoLi<AiaE II. — Deux parallélipipèdes rectangles quelconques G, AG' {Jig- 35o), sont proportionnels aux produits respecti/s Fie. 35o. e leur base par leur hauteur, ABCD X AE , A'B'C'D' X A'E'.