LIV. IV. — CHAP. I. — § II

Prenons sûr AE une partie AE'^^: A^^ et par le point E^. conduisons un plan E"F''G''H'' parallèle à ABCD. — Les deuxp^ rallélipipèdes AG, AG'^ ayant même base ABCD, sont propor^ tionnels à leurs hauteurs AE, AE'^; et l'on a

(i) par. AG : par. AG" :: AE : AE" ou A'E'.

Les deux parallélipipèdes AG'^ AG% ayant même hauteur, AT, A'E', sont proportionnels à leurs bases ABCD, A^'CIV; et Toi a

(2) par. AG" : par. A'G' : : ABCD : A'B'Ciy;

d'où, muhipliant les proportions (i) et (2) , terme à terme ,

par. AG : par A'G' : : ABCD X AE : A'B'CD' X AV;

F», 36o. ^ THioaiME VII. [Fig. 35o. )

N** 456. — Le volume d'un parallélipipède rectangle quek^ que ABCDEFGH9 a pour mesure le produit de sa hase par sa ksê' teur; c'est-à-dire que l'on a

vol. AG = ABCD X AE.

Prenons pour unité de volume le cube (n^ 540) construit nr , V unité Unéaire ; et soit A'B'C'lyET'G'H' ce cube. On a , d'apitsle corollaire précédent ,

vol. AG : vol. A'Q' :: ABCD X AE : AVCD' X ATE, ou bien, à cause de

A'E' = I, A'B'C'iy = A'B' X A'D' =1X1 = 1, et de vol. A'G' = 1,

vol. AG : I :: ABCD X AE : i; donc vol. AG = ABCD X AE ; C.Q. F. B-

N. £. — Mais il faut se rappeler (n" «15, Ff. B.) que les factetfs

DÉTBKlinfATIOM DES VOLUMES. 2^57

ABCD et A£ sont des nombres abstraits qai expriment les rapports de la base et de la hauteur à leurs unités respectives.

ScouE. — Au lieu de la base ABG), on peut mettre sa valeur numérique 9 qui est AB X AD (n^ SIS); et l'égalité précédente devient

voi. AG = AB X AD X AE;

c'est-à-dire que

Un parallélipipède rectangle a aussi pour mesure le produit de ses trois arêtes contiguès.

Ces arêtes sont dites les trois dimensions du parallélipipède. — On les nomme quelquefois la longueur, la largeur, et la hauteur ou la profondeur. — AB est la longueur, AD la lai^geur, et A£ la hauteur.

N, £. — Le volmne d'un cube est donc égal à la troisième puissance de son côté. — De là vient le nom de cube pour désigner la troisième puissance d'un nombre.

N** 457. — CoaoLLAiEE I. — Le volume d'un parallélipipède oblique quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur» •

En effet , on a vu (n® 4Si) que ce parallélipipède peut être remplacé par un certain parallél^>ipède rectangle de base équivalente et de même hauteur. Ov, le volume de celui-ci est égal au «produit de ss base par sa hauteur; donc, le premier a aussi la même mesure y ou bien, le produit de sa propre base par sa hauteur, puisque cette base est équivalente à celle du parallélipipède rectangle.

N, B. — Les trois dimensions du parallélipipède oblique sont , d'abord » les deux dimensions du parallélogramlne qui lui sert de base (n** S 18), puis, la hauteur du parallélipipède, c'est-à-dire (n® 538) la perpendiculaire commune aux deux bases ; et le parallélipipède a encore pour mesure , non plus le produit de ses trois arêtes contiguës, comme pour le parallélipipède rectangle , mais bien le produit de. ses trois -dimensions, telles que nous venons de les définir.

46o LIV. IV. CHAP. 1. — § II.

THio&ixK X.

N** 440. -— Le volume d'un polyèdre quelconque est égal à ta somme des i^olumes de tous les tétraèdres dans lesquels il peut ti»a- Jours être décomposé (n® 848).

Cette proposition est .évidente par eUe^mème.

THioAin XI.

N^ 441, — Les aires de deux polyèdres semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs arêtes y diagonales ou lignes homologues quelconques ; — et leurs volumes sont proportionnels aus cubes de ces mêmes lignes.

La première partie de la proposition est facile à établir. ~ Soient M, N, P, Q,... les faces du premier polyèdre, M% N', R Q'y... les foces homologues du second; et désignons par a et «t deux lignes homologues de ces polyèdres, quej'on sait déjà ctir proportionnelles dans deux polyèdres semblables (n"* 496, cond.

Gela posé, puisque les facesM etM% N etTï% P et P',... sont respectivement semblables , on a la suite de rapports égaux

M : M' :: a» : a'\ n : w :: a» : a'\ p : P' :: «' : «'%..., d'où M : M' :: N : N' :: p : P' :: ... :: à" : a'»;

donc , d'après les propriétés connues des proportions,

M-hN -hP4-. . . : M'-+-N'-4-P'-4-. . . ::«» : fl",

ou

aire totale du premier polyèdre : aire totale du second ::«':«'*.

Pour la seconde partie, considérons d'abord deux tétraèdres Fio. 339. semblables SABC, S'A'B'C (J!g. SSg).

Puisque ces tétraèdres sont semblables, on ^ la proportion

ABC : A'wa :: AO: ac* : : SH» : S'W\

Multipliant cette proportion par la suivante ,

^ SH : ^ S'H' :: AC : a'C :: SH : s'H',

OBTBRMIHATION DU VOLUMSS. 4^1

OD obtient

ABC X ïSH : A'B'C X jS'H' : : AC» : AV» : : SH» : S'H'%

ou bien

-vol. du premier tétraèdre.: voL du second W SW : S'H'* :: a* : û'»,

a et a' représentant deux lignes homologues quelconques.

Soient maintenant V, Y ^ les volumes de deux polyèdres semblables quelconques, T, I T, I T, I ...etT', I T',, I T',... les volumes des tétraèdres semblables dans lesquels les d^ux polyèdres peuvent être décomposés, a tta! deux lignes homologues quelconques. — On a la suite de rapports égaux

T» 1»» • • rp • »p' • • fp ■ rp' • • ^j • ^% ,

donc

T, 4-T, +T3-4-... :T', -f-T',-4-T',-|-... \\a^\a^\ ou bien enfin

Nous compléterons ce qui a rapport à la mesure des polyèdres par deux théorèmes assez importants sur les troncs de prismes et de pyramides.

THioaiMEXn. {Fig. 35 1.) Fk. 35i.

N''44S. — Tout prisme triangulaire tronqué ABÇDETy est équivalent à la somme de trois tétraèdres ayant pour base commune l'uMe des bases ABC du tronc , et pour sommets, ceux de la base

opposée.

Pour le prouver, menons les plans A£C, DEC : — Le prisme tronqué se trouve décomposé en trois tétraèdres EABC, EADC, EDFC. — Le premier a pour base ABC et pour sommet le point £; c'est donc un des tétraèdres de l'énoncé.

Le second , ayant d'abord pour base ADC et pour sommet le point E, peut être transformé en un autre BADC ayant même