LIV. IV. — CHAP. I. — § U

base ADC et pour sommet le point B (n'' 455); or celui-ci peu être considéré comme ayant pour base ABC et pour sommet le point D ; c^est donc encore un tétraèdre de Ténoncé.

Le troisième, EDFC, peut être remplacé par le tétraèdre BDFC, qui a même base DFC et pour sommet le point B ; mais celui-d est équivalent au tétraèdre BAFC dont le commet reste le même, et dont la base AFC est éq^uivalente à la base DFC (n^* fi li); et ce dernier, pouvant être considéré comme ayant pour base ABC , et pour sommet le point F, satisfait également k Ténoncé. Donc, etc.

ScoLiB. — f Un prisme triangulaire tronqué a pour mesure ie produit d'une de ses bases par le tiers de la somme des trois perpendiculaires abaissées respectivement sur cette base, de chacun des sommets de la base opposée.

Si le prisme tronqué est droit, les perpendiculaires sont les arèlB elles-mêmes.

p^ 35, TifAo&ÀMB XIII. {Fig. 35a.)

N** 445. — Un tronc de pyramide à bases parallèles est équi-

iraient à la somme de trois pyramides qui auraient pour hauteur

commune la hauteur du tronc, ttpour bases respectipes , la hase /«-

férieure du tronc, sa base supérieure, et une figure moyenne pro*

portionnelle entre ces deux bases.

Soit, en premier lieu, un tronc de tétraèdre ABCDEF.

Tirons les trois diagonales EA, £C, «t AF: — La figure se trouve ainsi décomposée en trois tétraèdres EABC , EADF, £AFC Or le premier, ayant pour sommet le point £, et pour base le triangle ABC, satisfait déjà à l'énoncé; le second, pouvant être considéré comme ayant pour sommet le point A , et pour base le triangle DEP, satisfait également à renoncé, puisque sa faanteur est la perpendicnlaire commune aux deux bases, et que sa base DEF est la base supérieure du troùc.

n reste maintenant à transformer le troisième tétraèdre EAFC — Pour cela, menons du point E la droite EG parallèle à AD; comme elle est menée par un point du plan EDAB qai coùtient

DiTBaMINATlON DES VOLUMES. 4^3

la droite AD, elle se trouve elle-même silaée dans ce plan et rencontre nécessairement la droite AB en un point G , que nous pouvons joindre aux points C et F par les droites G€, GF. — Cela posé y les deux tétraèdres GAFC , £AFC , sont éqaivaienis, comme ayant la base commune AFC, et même hauteur, puisque les sommets G, E, sont situés sur une mém^ droite parallèle à la base. Or, le tétraèdre GAFC peut être considéré comme ayant pour sommet le point F, et pour base le triangle AGC; il a donc pour hauteur celle du tronc, et il ne s'agit plus que de prouver que sa base AGC est moyenne proportionneUe entre les bases ABC, DEF.

A cet effet, menons GI parallèle à BC: on a (n° 1119, coroL) la

proportion ABC : AGC :: AGC : AGI;

mais le triangle AGI est égal au triangle DEF, puisqu'ils ont un angle égal, Tun en A, l'autre en D(n® S98), compris entre côtés

égaux, AG = DE, AI=DF;

donc aussi ABC : AGC : : AGC : DEF.

Ainsi le troisième tétraèdre EADC peut être remplacé par un autre FAGC satisfaisant à l'énoncé.

Considérons, en second lieu, le tronc de pyramide polygonale MSPQKmnpqr. — Achevons la pyramide, et soit T le sommet de cette pyramide. — Dans le plan de la base MI^fPQR , construisons un triangle ABC équivalent à cette base, et prenons au-dessus du plan un point quelconque S dont la distance au plan ABC soit égale à la distance du point T à ce même plan ; puis , tirons les droites SA , SB , SC. — Le tétraèdre SABC est équivalent à la pyramide TMNPQR, puisqu'ils ont même hauteur et des bases équivalentes (n^ 459). Si , maintenant , nous prolongeons le plan de la base supérieure mnpgr jusqu'à sa rencontre avec le tétraèdre SABC, nous obtenonsvune section DEF équivalente à la section mnpqr(a? 544, eoroL) , ce qui donne alors le tétraèdre SDEF équivalent à la pyramide Tmnpqr; d*où il suit que le tronc de tétraèdre