V. IV. — CBAP. II. § II

que la première fasse une révoltidon entière autour de la seconde, ia surface engendrée par la première est équivalenie à cdU da cylindre ayant pour hauteur la projection de cette droite mr l'autre, et pour rayon de sa base la perpendiculaire GO élevée s la première droite KB par son milieu G» et prolongée Jusqu^à $e rencontre avec la droite indéfinie : — Ou , en termes abrégés,

surf. AB = PQ X ci/v. OG.

£d effe(, cette surface est évidemment celle d'un tronc à côpe à bases parallèles , cerc. Afp cere, BQj et «i, du point C, nous abaissons GI perpendiculaire sur XY, nous aTons

surf. AB = AB X cire. CI = AB X 2ir GI (n» 44T ).

Cela posé, soit menée AK perpendiculaire à BQ : les dou triangles ABK , COI , sont semblables comme ayant leuis côt5 perpendiculaires chacun à chacun , et donnent (n® 194) la proportion

AB : OC :: Ali : Ci, d'où ab : 27rûC :: aR : aira,

et AB X 2irGI = AKX îttOC = PQ X cire. OC.

Donc aussi , surf. AB = PQ X cire. OC ;

N. B. — Il peut arriver, comme cas particuliers, qne b Fo. 354 his. droite AB ait une position telle que AB [fig. 354 ^'^)9 ^^ P^^ A étant situé sur l'axe XY , ou bien , une position telle que A'B\ parallèle à Taxe.

Dans le premier cas , on a surf. AB =: AB X firC' CI (n® *♦'' scol.) ; mais les deux triangles semblables ABQ, COI, donnent»*

core AB X cire. CI =: AQ X cire. OC ;

dpnc ^Hrf. AB = AQ X cire. OC.

Dans le second , la surface engendrée par A'B' est celie des cylindre dont Taréte ou la hauteur est A' B ' ou FQ', et li base est cerc. B'Q' ou cerc. O'C ; donc

surf. A'B' = FQ' X cire. O'C.

Ain^i , la proposition est encore vraie dans ces deux cas.

AiaKS ET VOLUMKS D« LA SPAKHS ftT OS SES DIVERSES PARTIES. 471

]\o 455. — CoBOi^LAiRE I. — Uaire de la surface engendrée par une portion de polygone régulier, ou plus généralement , par une ligne polygonale régulière ABCDE ( £ig. 355 ) tournant autour du Fie. 355. diamètre AA' du cercle circonscrit, est égale au produit de sa hauteur AS, multipliée par la circonférence du cercle inscrit à ce polygone.

Soient abaissées des points B , C , D , Ë , les perpendiculaires BP, CQ, DR, ES, sur le diamètre AA', puis, du centre O les perpendiculaires 01, OK , . . . sur AB, BC , . . . . On a , en vertu du lemme précédent ,

aire AB = AP X cire, 01, aire BC = PQ X cire, OK, aire CD =r QR X cire. OL ;

d'où , en ajoutant et observant que 01 = OK = OL. . . ,

«/A?ABCDE=:(AP-hPQ+QR -+-...)«'«• OI = ASXc'>^'. 01. On aurait de même aire BCDE = PS X cire, 01.

TH^OBiME I. {Fig. 355.) Fie. 355.

N" 4*54. — L'aire d'une zone sphérique , «oit à une seule base, AMBM'C, soit à deux bases , BM'CM'^D, est égale au produit de la circonférence d'un grand cercle de la sphère , cire, OA , multipliée par sa hauteur AQ , ou PR ;

Et — L'aire de la sphère entière est égale au produit de la circonférence d'un grand cercle, multipliée par son diamètre.

En effet, les arcs AMBM'G, BM'GM'^D, et la demi-circonférence ADA^ peuvent être considérés comme des lignes polygonales régulières d*un nombre infini décotes [ou éléments (d? 24tf)]; auquel cas , le rayon du cercle inscrit devient égal au rayon du cercle circonscrit , ou à celui de la sphère. — On a donc

aire AMBM'C = AQ X cire, OA,

aire BM'CM'D = PR X cire. OA,

airr totale de la sphère =r A A' X cire, OA ;