LIV. IV. — CH4P. II. — § II

N. B, — Soient R le rayon d'une sphère , H la hauteur (Toup zone à une ou à deux bases, et S l'aire de cette zone ou de la spbérr entière ; — on a les expressions abrégées

S = HX27rR =:27rRH, S= aR X 2irR = 4xR';

et cette dernière démontre que — Vaire totale de la spkèrt c^ quadruple de celle d'un grand cercle.

Corollaire. — Si pour une sphère donnée , on prend pour unité de surface le fuseau droit (n? 566 , N. B.) ou le quart dcb surface totale de la sphère , et Tangle droit pour unité d*aDgle. on reconnaît aisément que Fio. 356. L'aire d'un fuseau sphérique quelconque ABCA' {fig'- 35ô' est exprimée par son angle A ;

Ce qui veut dire que, F désignant Vaire du fuseau drcit.

fuseau ABCA' : F : : A : i droit.

Car, si nous menons par le centre un plan BCB'C^ perpeinih culaire à Taréte AA^ du fuseau , nous avons

fuseau ABCA' : aire totale de la sphère :: oajBC : cire. BCB'C,

d'où fuseau ABCA' : 4F - A : 4 angles droits y

et par conséquent, fuseau : F :: A : i droit.

On dit, pour abréger, cçae fuseau ABCA' = A.

^•iG. 357. Thi&oràxs U. {Flg. 357.)

N° 4155. — Uaire d'un ^triangle sphérique quelconque ABC [c'est-à-dire, le rapport de ce triangle au fuseau droit], ^%Xégsii à l'excès de la demi-somme île ses trois angles sur un an^k droit, ou plus exactement , est égale au rapport de cet excès è l'angle droit.

Prenons pour plan de la figure {n° 569) celui de la circoiift^ rence de grand cercle BCB'C, dont le côté BC du triangle ABC , est im arc , et achevons les circonférences ABA' B ', ACA' C, correspondant aux deux autres côtés AB , AC. — Cela posé ,

Le fuseau sphérique ABCA' , dont l'angle est A , se compose

Al&BS KT VOLUMES DE LA SPHÎCKK ST DE SES DIVERSES PARTIES. ^'j3

des deux triangles ABC, A'BC; or ce dernier est symétrique par rapport au triangle AB 'C ' (n"" 5SIS) , et ces triangles sont équivalents (n*» 575); d'où Ton voit que le fuseau ABCA' est égal à la somme des deux triangles ABC, ÂB'C^

Il est d'ailleurs évident que les fuseaux en B et en C sont respectivement égaux aux sommes de triangles BAC , B 'AC , et CAB , C^AB. — On a donc les égalités

ABC -h AB'C z=: fuseau A = A. {coroL précédent) y BAC -h B'AC = fuseau B = B, CAB -h C'AB = fuseau C = C;

d'où » on ajoutant et observant que ABC+AB'C + B'AC+C'AB donne la surface d'un hémisphère , ou aF,

2 ABC -h aF = A -h B -h C.

Par conséquent , aire ABC = ^-^ ^ — ,

F étant pris pour unité de surface, et l* angle droit pour unité* d'angle.

N. B. — En désignant par r le rayon de la sphère , on a pour la valeur absolue de l'aire du triangle

„i„ APr - TfA + B+C)-!" atre AISLi = j . wr '.

Lemhe. {Fig. 358.) Fie. 358.

N** 4tf6. — Le volume de l'espace engendré par la révolution d'un triangle quelconque OAB tournant autour d'une droite indéfinie XY, menée dans son plan par un de ses sommets O , a pour expression le produit de la surface engendrée par te côté opposé à ce sommet y multipliée par le tiers de la hauteur OC du triangle ^ correspondante à ce côté considéré comme base.

[Cette figure n'est autre chose que l'espace limité par la surface du tronc de cône dont les bases ont pour rayons les perpendiculaires AP, BQ y abaissées des points A, B , sur l'axe, d'une part, et , de l'autre , par les deux surfaces coniques qui ont le point O pour sommet commun, et cercle AP, cercle BQ, pour bases.]

474 "^* '^* — fîHAp. H. — § II.

Pour démoptrer ce(te proposition , prolongcoDs BA jusqu^à » rencontre en S avec la droite XY, et cherchons d'abord à cvalutf le volume engendré par le triangle OBS. — Ce voliioie se composr évidemment des deux cônes engendrés par le$ triangles rectaoïks OBQ , SBQ.

Or,

voi. 0BQ = 7rBQ'xT0Q, vol. SBQ=:itBQ X ^SQ (n«44S donc

voi. OBS = ttBQ X T (OQ -f- SQ) = ^itIq X OS.

Cette dernière expression revient à ywBQX BQx OS; mats BQxOS, exprimant le double de Taire du triangle OBS (n^ftlo., peut être remplacé SB X OC qui représente également le daoïk de cette aire; ainsi, Ton a encore

^vol. OBS = J9rBQ X SB X OC — ttBQ X SB X 7OC.

Si maintenant on se rappelle que tt BQ X SB exprime Taire or la surface conique engendrée par SB (n** 446) , on obtient

vol. OBS = airv du cône SB X 7 OC.

On reconnaîtrait de la même manière que

vol. OAS ==: aire du cane SA X\ OC.

Le volume cherché étant la différence de ces deux-ci , on trouer

enfin

vol. OAB = (aire SB — aire SA) X 7OC ,

ou vol. OAB = aire AB X t^C ;

N. B. — Le théorème est encore vrai , mais exige une déoiQ»- Fio. 358 his. tration spéciale, lorsque la base AB [fig. 358 bis) du triangle GAI est parallèle à Taxe.

Le volume engendré est alors la différence entre le volume (it cylindre ABQP et les volumes des cônes AGP, BOQ. Or, oo a

cyl. ABQP = ir BQ X AB = tt'ÔC X PQ (o** 445) ,

— ' PO M/ïcAOP-4- cône BOQ =7rOC X -^ (n" 448 ;

AIKIS BT VOLUMRS DB LA SPHÀRB BT DB SRS DIVBBABS PABT1B8. 4?^

OÙ voL AOB = ttOC X ~ PQ = 27r oc X PQ X ^;

nais 2ir OC X PQ » ou 2irBQx AB est l'expression de Taire làtéaie du cylindre , engendrée par AB. — Donc

vol. AOB = aire AB X yOC.

Co&OLLAiBB. — Le volume de l'espace engendré par un secteur Hflygonal OABCDO, ou OBCDEO [/g, 355), tournant atitourFui, 355. VuM diamètre AA', est égal au produit de l'aire de la surface qui ui sert de base, multipliée par le tiers du rayon du cercle inscrit.

Car on a, d'après le lemme qui précède,

vol. OAB=: ai/vAB X iOI , vol. OBC =fl/n?BCXiOK, ... ;

l'où, à cause de 01 = OR = OL = . . . ,

vol. 0ABCD0 = <w>«ABCDX70I, vol. 0BCDE0 = fli/«BCDEX70I.

THioRiME m. (/^/^. 355.) Fio. 355.

N* 45T. — Le volume d'un secteur sphérique quelconque y OAMBM'CO, est égal au produit de la zone sphérique qui lui sert de base , multipliée par le tiers du rayon de la sphère.

Car le secteur polygonal générateur, OAMBM'CO , se compose l'une infinité àib triangles isoscèles ayant pour sommet le point O, st pour bases les éléments (n" 945) de Tare AMBM'C. — Or, Tenierable de ces triangles , en tournant autour de AA', engendre un rolume qui a pour expression le produit de Paire engendrée par rhilGun des éléments correspondants, multipliée par le tiers du Payon (n® 4tf6) ; donc aussi , etc.

Par conséquent,

Le volume de la sphère totale a pour expression le produit de wn aire totale , multipliée parle tiers du rayon.

ScoLiR I. — On parvient encore à celte dernière expression en considérant une surface sphérique comme composée d'un nombre mfini de facettes iqfinimcnt petites et sensiblement planes, qui