LIV. IV. — CHAP
sont alors les bases d'autant de cônes ou de pyramides , ayant pour sommet commun le centre 0 de la sphère. — D'où il résulte que la somme de tous ces cônes, ou de toutes ces pyramides, c*est4dire le volume total de la sphère , a pour expression le produit de la somme de toutes les bases , ou de l'aire totale de la sphère , multipliée par le tiers de la hauteur commune , qui n'est antre que le rayon de la sphère.
Et l'on voit aussi immédiatement par là , que Le volume d'un tétraèdre , et, en général , d'une pjramidt sphénque y est égal au produit de l'aire du triangle ou du polygone qui lui sert de base, multipliée par le tiers du rayon.
ScoLiE n. — En nommant R le rayon d'une sphère, on a pour l'expression de son volume Y,
V = 4irR'x| = |irR»;
ou bien , désignant par D son diamètre , qui est égal à aR ,
Quant au secteur sphérique , soit H la hauteur de la aooe correspondante ; on a
V = 2irRn X ^ = I irR'H.
N. B, — On a souvent besoin de rappeler ces expressions dans les applications.
F». 359. THÉoaiME IV. {Fig. 359. )
N** AW, — Le volume d'un segment sphérique BMGQP est égal à la somme des volumes, — i^ — d'uNE S¥RtK% ayant pour déamètrr la hauteur PQ du segment, — 2^ — d'uir ctlindeb dont ia hauteur serait cette même hauteur, et la hase, une moyenne par oirrinxNCB entre les deux bases du segment; c'est-à-dire que Ton a
vol. BMGQP = ^ PQ H -^.PQ.
En effet, le volume cherché se compose évidemment du volume
Al&KS ET VOLUMBS OK LA SPEfiftE ET SB SBS SlVBESBS PARTIES. 477
engendré par le segment circulaire BMQB tournant autour de AA', et du volume du tronc de cône engendré par le trapèie BCQP. — Cherchons d'abord à déterminer le premier de ces deux volumes y ou vol, BMCIB.
On a voL BMQB =r vol. OBMC — voL OBC; or, vol. OBMC = aire de la zone BMC X y OC (n<> 4«7),
ou vol. OBMC = l îrOC X PQ (même numéro , scol. U) ,
el vol. OBC = I ttS ' X PQ (n° 4»6 , corol.) ;
ainsi w>/. BMCIB = |7r.(0C — OÎ) PQ == Jtt.CiIpQ; mais a = I CB; d'où Q» = j CB»;
donc enfin vol. BMCIB = |ir.|CB.PQ = ^ir.CB.PQ.
Cela posé, ajoutons à ce volume celui du tronc de cône BCQP,
c'est-À-dire ^ ir (CQ V BP V CQ . BP) . PQ (n° 449) ;
il vient vol. BMCQP==|ff.CT.'pQ-h77r(CQVBP-+-CQ.BP).PQ,
ou bien , en réduisant au même dénominateur, et mettant -^ ir . PQ en facteur commun ,
vol. BMCQP = ^TT.PQ (CbV 2CqV aBpV aCQ.BP). Remarquons maintenant que
CB ="bG -h CG = PQ h- (CQ — BP) = PQ V CQ -hBP^aCQxBP; d'où, en substituant dans l'expression précédente, et réduisant,
voL BMCQP = T^.(PQ V 3CQ -f- 3BP) PQ, expression qui peut se décomposer dans les deux suivantes,
|irPQ et |(trCQ -f-7rBP).PQ ou X ^'^ PQi
478 UV* IV. — CHAt» II. § II.
ScoLii oBNiftAL $ur la sphère, — Les quatre théûiènies précédents et les conacquences que nous en avons déduites foomistest le moyen d'obtenir les aires et les volumes de toutes les parties d'une sphère dont le rayon R est donné.
Nous ajouterons œpendant que V onglet sphérique , tel qu'il a été défini au n*^ 566, iV. B. y a pour mesure le rapport de i'oHglt reciilfgne correspondant, à Tangle droit; Tongtet terminé par un fuseau droit, ou le quart de la sphère (n** 4M, coroL), étant pns pour unité.
iHiomÂMB V.
N^ 4tf9. — Les aires totales de deux sphères sont proportéoMnelles aux carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres; et lean volumes sont proportionnels aux cubes de ces mêmes lignes.
En effet , les formules
S = 47rR;, S' = 47rR'», V = j trR% V' = |wR'%
donnent S : S' : : 47rR» : 4irR'« : : R» : R'* : : d» : D'% et V : V :: l^R» : |irR'» :: r» : R'> :: D» : ly».
ScOLis. — Deux secteurs sphériques sont dits semblabiet dans des sphères de rayons différents, R, tl^ lorsque les secteurs circulaires ^^/i^nz^^urr sont i^m^/a^/*?^, c'est-à-dire (h^ftJSH), correspondent à un même angle au centre; et il serait facile de reconnaître
1° — Que les zones semblables sont proportionnelles aux carrés des rayons R , R', et aux carrés de hauteurs ; — a® — que /« secteurs sphériques semblables sont proportionnels aux cubes é ces mêmes ligneSé
Nous terminerons ce chapitre par un rapprochement assez curieux entre lesf aires et les volumes des trois corps ronds.
De là sphère , du cylindre et du cône circonscrits,
N° 460. — Soient an cercle décrit avec un rayon OD rsR
Pio. 36o. iJig' 36o), puis un carré EFGR, et un triangle équilatéral SÂfi,
circonscrits à ce cercle ; — les bases KG , AB , de ces deux der-
UK LA SPHiaB , DU CYLIlf DaB , KT DU CÔVE CnOOIfSCEITS. 479
nières figures, éuint supposées tangentes au même point D du cercle.
Ou a évidemment KG =r CD = 2R ; et il a d'ailleurs été démontré au n** 237 1 coroL II, que
AB = SA=2Rv/3, SD=30D=3R.
Cela posé, faisons tourner le demi-cercle CID, le rectangle CEKD , et le triangle rectangle SAD , autour de Taxe SD. — Dans ce mouvement, les trois figures engendreront une sphère àe diamètre 2R, u/t cylindre ayant pour rayon DK= R et pour hauteur £K = CD = 2R , puis, un cône dont la base aura po^r
rayon AD = RV^, Tarète étant SA = 2R^3 et la hauteur SD = 3R.
Ces deux dernières figures se nomment le cylindre et le cône égui/atéral circonscrits.
Évaluons successivement les aires et les volumes de ces trois corps.
I» — aire totale de la sphère = 4^R' (n® ^^j»
volume de la sphère t= |»rR* (n* 457) ,
2*» — aire de la surf, latér. du cyl. = 4*^' (*»" "•**) >
ou , en ajoutant les deux bases dont la valeur est 27rR% aire totale du cylindre =± ôwR',
volume du cylindre = 2irR^ (n®44tf),
3® — aire de la surf, latér, du cône =: 6 irR* (n* 440) ;
ou , en ajoutant la base dont la valeur est 3 ttR' , aire totale du cône = QirR',
volume du cône = 37rR^ (n**448).
^8o LIV. IV. — CHAP. II. — § II.
Or, si Ton compare d*abord la sphère au cylindre , on voit <(« — L'aire totale de la sphère est égale à l'aire de la surface lakraie du cylindre, et les \ de l'aire totale du cylindre; — leivlume de la sphère est aussi* les \ de celui du cylindre.
Ainsi, Les volumes sont entre eux dans le même rapport que la aires totales.
Comparant ensuite la sphère au cône , on reconnaît que l'éf totale de la sphère est les ^ de l'aire latérale du cône , et Us^àe l'aire totale du cône ; — le volume de la sphère est aussi les ^ à celui du cône.
Donc les volumes sont encore entre eux dans le même rapp^que les aires totales.
Enfin , le cylindre et le cône étant comparés entre eux, on vok que les aires latérales, les aires totales , les volumes sont resp«rtivement dans le même rapport 2:3.
ScoLiB. — Cette propriété du cylindre et du cône circonscrib à la sphère, qui consiste en ce que les volumes de la sphère et do cylindre ou du cône sont entre eux dans le même rapport que leurs aires totales, n*est pas particulière au cône et au cylind/r: elle appartient également à tous les polyèdres dont les difîéreni» faces sont tangentes à la sphère.
En effet , une pareille figure peut être décomposée en pyramkifi ayant pour jonim^/ commcc/i le centre de la sphère, et pour base respectives les faces du polyèdre. — Dès lors, son volume a poor expression le produit de la somme de toutes les bases, ou()c l'aire totale du polyèdre, multipliée par le tiers de la hautesr commune qui n^est autre que le rayon de la sphère (n^ 565 . D'un autre côté , le volume de la sphère est égal au produit <k Taire totale de la sphère, multipliée par le tiers du rayon ; d'où il résulte uéoessairement que les volumes sont e.ntre eux dans V même rapport que les aires.
ÎM. I
/'il
il/
/'/r/ Jt/
/ .i- II'
;{82 LIV. IV. — CHAP. m. § I.
et par suite y
On retombe ainsi sur les mêmes expressions de X , ^.
ScoLiE II. — Ceci conduit à une démonstration assez sÊmplt [mais algébrique] du volume d*un tronc de pyramide quelconqut à bases parallèles.
Désignons par V le volume cherché, par V^p^ les volumes d^^ deux pyramides. On a d'abord,
mais
P=:-j.B, A>=3-* (nM59),
on , remplaçant X , x , B , et ^ , par leurs ^valeurs ,
donc V = P— 1? =-;;-. ~ . I
Or on a vu en Algèbre, que A^ — a^ divisé par A — « , donrt un quotient exact et égal à A' + A.a -f- a'. Donc enfin
V = I (A>-h«^H- A«)= I (b,4- * H- \/BÏ),
expression qui , traduite en langage géométrique , donne lieu . renoncé du n" 445.
ScoLiB. — Pour un tronc de cône droit à bases parallèles, comaot on a B == îrR% b =z Trr^ [R e[^r étant les rayons des deux bases ,
