DROITS

En eiTet, soit , par exemple ,

AMN -f- MNC < 2 droits;

comme on a (n° 28)

MNC -f- MND = 2 DROITS ,

il en résulte AMN <1 MND ; et la proposition rentre dans le cfaeorème principal.

N, B. — Il est important d'observer que

La rencontre des deux droites a lieu du côté où la somme des angles internes d'un même côté est inférieure à deux angles droits.

ScoLiE I. — La proposition du n° 54, ou lepostulatum d'EucuoE, n*est, comme on le voit , qu'un cas particulier de ce corollaire.

Fie. 3a. pjo^. Sc^LiE II. — Lorsque deux droites, AB, CD {fig. 32), se coupent, leurs perpendiculaires respectives se coupent aussi.

PAflALLELCS. 4'

£n effet, si MU et PQ étaient parallèles, les deux droites AB et CD y étant alors perpendiculaires à la fois sur chacune des deux autres (n^ 54, 4**)» seraient aussi parallèles (n^ 5S) ; ce qui est contre l'hypothèse. — Donc etc.

N** W. — RKCipmoQinacte^ deux théorèmes précédents.

Les théorèmes II et m se trouvant dans le cas de la remarque générale du n** 91, il en résulte que leurs réciproques^ ainsi que celles de toutes les propositions qui s*y rattachent , sont vraies.

Ainsi, — Lorsque deux droites sont rencontrées par une sécante, suivant qu'eiies sont ou qu'elles ne sont pas parallèles,

I** — les angles altemes^intemes , ou alternes-externes, ou correspondants, sont égaux ou inégaux;

2^ — les angles internes ou externes d'un même côté, sont ou ne sont pas supplémentaires.

THioAÂMB IV. {Jig. 33.) Fic- 33-

N<* tf9. — Deux angles, BAC, EDF, sont égaux lorsqu'ils ont leurs câtés parallèles et dirigés dans le même sens, chacun à chacun.

Prolongeons , s'il est nécessaire , FD jusqu'à sa rencontre en I avec AB. Les deux angles CAB, FIB, sont égaux comme correspondants (n** tfl); il en est de même des deux angles FIB, FDE; donc aussi CAB = FDE.

CoKOLLâias I. — Deux angles, BAC, EDF {Jlg> 34), sont encore fie. 34. égaux lorsqu'ils ont leurs côtés parallèles et dirigés en sens contraire, chacun à chacun.

Prolongeons DE, DF, respectivement en E^ F' ; les angles EDF, E' DP, sont égaux comme opposés (n® 99) ; mais les angles E'DF% BAC, sont aussi égaux d'après le théorème principal; donc

BAC = EDF.

ComoiX4iEE II. — Deux angles, BAC, EDF {Jig' 35), sont sup- Fie. 35. plémentaires lorsqu'ils ont les côtés parallèles, mais non dirigés n la fois dans le même sens ou en sens contraire.

Car, si l'on prolonge DF en F% on a (n^ «$!)

FDE -h EDF' = 2 droits;

4^ LIV. I. — CHAP. I. § II. PARALLiLSS.

mais BAC = EDF' diaprés le théorème principal; donc aussi

FDE -+- BAC = a droits.

Réciproquement: — Si les droites AB, DE, sont pondîmes , et que Ton ait, soit ABC = DEF, soit ABC = ly £F% soit ABC supplément de DEF" ou de IV £F, les droites BC , EF , sont aussi parallèles.

La démonstration par V absurde, semblable en tout point à celle du n°48, est trop facile pour nous arrêter.

N^55. — ScoLiB. — Lorsque deux angles ont lesedtés parallèles, leur position relative est évidemment une de celles qui viennent d'être indiquées. — Donc , en général ,

Deux angles sont égaux ou supplémentaires quand ils ont leury côtés parallèles chacun à chacun.

Remarque oÉifiaALE sur les PARAZiLàLES.

Fie. 36. N« tf 4, Soient AB, CD {/îg> 36), deux parallèles ; et supposoii> que d'un point quelconque pris sur CD, on mène sur AB la pTpendiculaire OPet une série d'obliques OR, OR', OR'^ . . . Les pie(i^ R, R% R'',... de ces obliques seront d'autant plus éloignes du pied P de la perpendiculaire, que les angles DOR; DOR', DOR'^, .... ou leurs alternes-internes respectifs, ORP, OR' P, OR'^P, . . . , seront plus petits ; et réciproquement. Ainsi , les angles DOR ou ORP, DOR' ou OR'P,..., d'une part, pouvant devenir plus petits que tout angle donné; et, d'autre part, les distances OR, 0R%..., ou PR, PR',..., pouvant devenir plus grandes que toute ligne donnée , il s^ensuit que la droite CD peut être considérée comme la limite dont s^approchent de plus en plus les droites OR, OR',..., à mesure que les points de rencontre R , R', R'', . . . s'éloignent du point F, et que les angles DOR ou ORP,..., deviennent plus petits. C'est ce que l'on exprime d'une manière abrégée en disant que Deux parallèles sont deux droites qui se rencontrent à Vinjîm en fmsant entre elles un angle nul.

§ III. — T&IAKGLT.S. 4^

$111. — Propriétés principales des triangles. — Théorie de leur égalité.

[ Foyez les n^ SiS, 37, el 58, pour la définition du triangle et les premières notions sur cette figure. ]

TBéoBiMK I. {^Fig, 37.) ï''«î- 37-

N** 5tf . — Danj tout triangle ABC , la somme des trois angles est égale à 2 DEDITS.

Prolongeons l'un des côtés, AB par exemple, de manière à former VdJk^ extérieur CSù\ puis, du point B, menons B£ parallèle à AC. Les angles £BD , CAB , sont égaux comme correspondants, et les angles EBC, BCA, comme alternes-internes (n^ Kl) ; donc la somme des trois angles du triangle est égale à la somme des trois angles formés au point B ; mais celle^i vaut a droiis ( n® 29 ) ; donc aussi

ABC -f- CAB 4- ACB = 2 d&oits.

N. B, — L*angle extérieur CBD équivaut évidemment à la somme des deux angles CAB, ACB, et par conséquent surpasse chacun de ces angles. — Ainsi ,

Tout angle extérieur d'un triangle est plus grand que chacun des angles intérieurs opposés,

CoHOLLArsE I. — Un quelconque des trois angles d*un triangle est supplémentaire de la somme des deux autres (n° 28); d'où il suit que ,

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, le troisième angle du premier est égal tiu troisième angle du second:

Car, chacun de ces deux derniers angles est le supplément d'une même somme.

CoaoïXAiKE II. — Si d'un point O intérieur à un triangle CAB (fig» 25), on mène deux droites aux extrémités de l'un de ses cô- ^ »^- ^^• tés, AB, l'angle OAB formé par ces deux droites, est plus grand que l'angle ACB du triangle, opposé à ce côté ;

En effet, la somme d*angles OAB + OBA étant évidemment moindre que CAB-t-CBA, il faut , par compensation , que le sup~

44 Lir. I. — CHAP. I. — §111.

plémentO de la première somme soit plus grand que le supplément C de la seconde.

N®tf6. — ScoLiE. — Un triangle ne saurait apoiràlafois, ni iieux angles droits , ni un angle droit et un angle obtus, ni deux angles obtus;

Car autrement il s'ensuivrait que la somme des trois angles du triangle serait plus grande que deux angles droits.

Gela posé, on donne le nom de taiauglz ascTAHOLs à tout triangk* qui a un angle droit; et le côté opposé à cet angle s'appdie hypoténuse.

Le TBiAKOLB OBTUSAHGUB est cclul quî E uu angle obtus; — et le TaiAKGLs AGUTAHOLB celut dout tous les augles sont aigus. — Ces deux dernières sortes de triangles portent le nom commun de

mi ANGLES OBLXQUAVGLBS.

Dans tout triangle rectangle, les deux angles aigus sont covpLÉMXifTAiAES l'un de Vautre (n° S8).

Ainsi , de ce que Tun des angles aigus d'un triangle rectangle est égal à l'un des angles aigus d'un autre triangU rectangle , on peut conclure que le deuxième angle aigu du premier est égal au deuxième angle aigu de Tautre.

F,g 3g^ TnioaiME H- {Fig. 38.)

N" 57. — Si d'un point T> pris sur l'un des côtés AC d'un angU quelconque BAC, on abaisse une perpendiculaire sur l'autre côtt AB, cette perpendiculaire tombera intérieurement à l'angle, au extérieurement, suivant que cet angle est aigu ou obtus.

D'abord , dans aucun cas , elle ne saurait tomber en A , puisque CA est une oblique.

Ensuite, lorsque l'angle est aigu, la perpendiculaire ne peut tomber sur le prolongement de AB en E', puisque , si cela était, on aurait un triangle DAE' présentant un angle obtus et un angle droit, ce qui est absurde,

— Donc elle doit tomber sur le côté AB.

Si , au contraire, Tangle est obtus, la perpendiculaire ne saurait tomber sur AB en E^': car on aurait encore un triangle DA£" présentant un angle obtus et un angle droit. — Donc elle tombe sur le prolongement de AB, par exemple en E.

T&IAROLKS. 4^

GoROLLADLB I. — La perpendiculaire abaissée de Tun des sommets d*un triangle quelconque ABC , sur le c6té opposé , tombe au dedans ou au dehors de ce triangle , suivant que les angles adjacents à ce côté sont tous deux aigus ^ ou l'un aigu et l'autre obtus,

ComoixAiaE n. — Par conséquent, la perpendiculaire abaissée du sommet de Fangle droit ou obtus d'un triangle rectangle ou obtusangle, sur le côté opposé, tombe toujours dans Tintérieur du triangle, puisque alors les deux angles adjacents à ce côté sont nécessairement aigus.

Du triangle isoscèle et du triangle équilatéral.

Un TaïAïf OLE est dit scAiims , zsoscàle, ou iQuiLATiaAL , suivant qu*il a ses trois côtés inégaux, ou eleux de ses cdtés égaux , ou ses trois côtés égaux»

Lorsque lejUriangle est isoscèle, on nomme base le côté différent des deux autres , et sommet le point commun aux deux côtés

égaux.

TnioaiME m. {Fig. ^o.) Fir.. 40.

N® JS8. — Dans tout triangle isoscèle, CAB, les angles. A, B, opposés aux côtés égaux, CB, CA, sont égaux.

Soit élevée du point D , milieu de la base AB , une perpendiculaire DE sur cette base. Puisque Ton a, par hypothèse , CA= CB , il s'ensuit (n® 41, scolie II) que le point G se trouve sur DE. — Cela posé, faisons tourner CDB autour de DC comme charnière; les deux figures CDB, CDA, s'appliqueront exactement Tune sur Tautre. Ainsi , l'angle CBD ou CBA est égal à l'angle CAD ou CAB ; ou simplement B =r= A.

CoEOLLAiEE. — Tout triangle équilatéral est nécessairement équiangU, — puisque , les trois côtés étant égaux deux à deux , les trois angles sont aussi égaux deux à deux.

TH^OKiME IV. {Fig. 4l.) p,^ ^,

N° «(9. — Si deux côtés d'un triangle CAB sont inégaux, à un

46 LÏV. I. — CHAP. I. — § III.

plèLs grand côié est opposé un plus grand angle, — X^^est-à-dire que si Ton a , par exemple , CA ^ CB, on a aussi B ^ A ].

ÉlevoDs encore, du milieu D de AB, la perpendiculaire DE sur AB. — Puisque Ton a, par hypothèse, CA^CB, il s'ensuit ( n° 41 , N. B,) que le point C est situé , par rapport à la perpendiculaire DE, du même côté que le point B ; et si Ton joint le point B au point I où AC rencontre DE, on aura (n® 41) AI = IB; <l*où , en vertu du théorème précédent ,

angle IBA = angle lAB,

et par conséquent

CBI -h IBA > lAB, ou angle B > angle A.

TaioEiMB V.

N*» 60. — RicipaoQUBinsHT : — i^ — Si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés sont égaux [et le triangle estisoscéle] ;

2? — Si deux angles sont inégaux, au plus grand angle est opposé un plus grand côté.

Cette double proposition est une conséquence nécessaire du principe établi au numéro 91, et se démontrerait facilement par l'absurde au moyen des deux théorèmes précédents.

^^ 61. — SooLXB IMPORTANT sur le triangle isoscels. £mc. 4o. La droite DE(>f^. 4o) menée par le milieu delabaseet perpendiculairement à cette base, devant passer par le sommet opposée, et divisant en même temps l'angle C en deux parties ^ales [ainsi que cela résulte de la superposition des deux figures GDB , €3)A ] , se trouve ici remplir quatre conditions essentiellement différentes, savoir : — i ** — de passer par le milieu de la base; — a*» — d* être perpendiculaire à cette base ; — 3» — de passer par le sommet à\x triangle ; — 4** — ^® diviser Tangle au sommet en deux punies égales.

Or on sait (n«» 6, 97, 45) que deux de ces conditions st^ffisent pour déterminer une droite : ainsi la droite qui remplira tleux de ces conditions satisfera nécessairement aux deux autres.

De là résultent plusieurs autres théorèmes , parmi lesquels nous nous bornerons à énoncer les suivants :

T&IANGLES. 4?

i» — ija droite qui Joint le sommet d'un triangle isoscèle au milieu de la base, est en même temps perpendiculaire à cette base, et aime V angle au sommet en deux parties égales;

2» — La bissectrice de rangle au sommet d'un triangle isoscèle passe par le milieu de la base, et lui est perpendiculaire ; — etc.

Toutes ces propositions se démontrent par la réduction à Vabsunk, et à Taide du théorème III.

De l'égalité des triangles.

Lemmb TomiàMXJXTAL pour l'égalité des figures,

N® 6fl. — Toute figure rectiligne convexe, ABCDE {fig. 4^)» ^^^' 4^étant actuellement placée dans un plan, on peut la disposer dans ce plan, dételle manière, — i® — que l'un de ses côtés, AB, prenne une position déterminée, AB\ sur une droite AX tirée indéfiniment dans un seul sens à partir d'une des extrémités. A, de ce c6té, et — 2« — que la figure se trouve entièrement située dans celle que l'on voudra des deux régions du plan (n<» i I) par rapport à cette droite.

En effet, on peut d'abord, à Taide d'un pivotement (n** 19) autour du point A, faire prendre au polygone une position AB'C'iyE^ telle que AB'= AB soit dirigée suivant AX.

On peut ensuite y si cela est nécessaire, rabattre la nouvelle figure de Fautre côté de AB' pris pour charnière {vP 18 ) : elle prend alors [si elle ne Tavait déjà acquise par le premier mouvement] la position AB'C'D^E".

Les conditions de l'énoncé sont nécessairement satisfaites.

ScoLiK. — Supposons, en outre, que Ton transporte le troisième polygone de manière que le sommet A vienne prendre position en un point arbitraire O , et le point B' en un certain point de la droite OZ menée parallèlement à AX , et dans le même sens que celte dernière : — de cette manière , le troisième polygone se trouvera représenté par OPQRS, situé par rapport à OZ comme AB'C"D"E'' Tétait par rapport à AX.

Cela posé, les deux figures OPQRS , AB'C"D"E", auront nécessairement tous leurs côtés parallèles deux à deux et de même sens.

48 UV. I. — CHAP. I. — § m.

En effet, puisque OP et AB' sont parallèles et de même sens , et puisque l'on a d'ailleurs

angle OPQ t= angle ABfCj

il s'ensuit (n*^ 59, réciproque), que PQ, B'C^ sont parallèles et de même sens. — Même raisonnement par rapport aax antres cdtés.

On exprime cette dernière propriété en disant/ d'une manière abrégée, que la figure AB'C^D'' E"", pour venir en OPQRS , a été transportée parallèlement à elle-même; et c'est dans cette situation relative des deux polygones , OPQRS , AB'C" D^ E'^, que Ton a coutume de considérer les figures quand on veut établir les conditions de leur égalité.

Fao. 44. TaioaÂMB VI. {Fig. 440

N®6S. — Deux triangles sont égaux, — soit i** — lorsqu'ilsont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; — soit 2^ — lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; — soit 3^ — lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

PaamuL cas. — Soient les deux triangles ABC, A'B'C, dans lesquels on suppose AB=A'B', et les angles A, B, respectivement égaux aux angles A' et B'.

Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC , de manière qne le côté A'B' coïncide avec son égal AB. — A cause de l'égalité des angles A' et A,B' et B , les côtés A'C, B'C, prendront respectivement les directions de AC, BC; et le point C, rencontre de A'C, B'C, coïncidera avec le point G, rencontre de AC, BG. Les deux triangles se recouvrant alors parfaitement, sont donc égaux.

DBuxiiifx CAS. —Soient AB=A' B', AC =A'C, et Y angle A égal à Vangle A'.

Portons le triangle AIB'G sur le triangle ABC, de manière qne A'B' coïncide avec son égal AB. — Comme on a

angle A! = angle A ^

la droite A'C prendra la direction AC ; et , à cause de A'C'=: AC, le point C tombera en C; donc le côté B'C coïncidera avec

ou T&IAUTGLV. ^q

le o6té BCi et les deux triangles se recouvriront encore ^paHkite*

ment.

TROisiin CAS. — L*égalité des deux triangles serait démontrée si Ton pouvait prouver cpie Fangle A' est égal à Tangle A, puisqu'alors la proposition rentrerait dans le cas précédent. Or, je dis que Tangle A, par exemple , ne saurait surpasser l'angle A'.

En efTet, portons , comme précédemmeat^'le tringle A'B'C (fig. 44 )> sur le triangle ABC, de manière que A'B' coïncide Fie. 44 avec AB. — L'angle A' étant supposé plus petit que l'angle A, le côté A'C prendra une direction AC intérieure à Tangle BAC, le point C liHubant eo C*» par exemple [extérieuffemenl k ABC]; de sorte que le triangle A'B'C se trouvera dans la position ABC".

Cela posé , soient AL la bissectrice de l'angle CAC\ et L son point d'intersection avec BC; menons LC". — Les deux triangles ALC', ALC, ainsi formés, sont égaux comme ayant un angle ^al , l'angle en A , compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , savoir : AL commun , et AC" = AC ; d'où résulte LC" = LC.

Mais dans le triangle BLC'', on a

BC"<BL4-LC", ou BC'<BL4-LG, ou enfiu B'C<BC,

ce qui est contre VhfpotJwse;

donc angle A' = angle A ;

Donc, etc.

iV. B. — La démonstration est absolument la même, soit que le point C tombe hors du triangle ABC , comme dans la figure actuelle, soit qu'il tombe au dedans. Quant au cas où il tomberait sur le côté BC, l'absurdité du résultat B'C'<;[BC [d'où nous avons conclu la fausseté de l'hypothèse A' <[ A] se reconnaît immédiatement.

N^ M. — Scoi^FE. — Le moyen de démonstration qui vient d'être employé pour le troisième cas d'égalité , nous conduit à cette nouvelle proposition qui sera d'im assez fréquent usage dans la suite :

Lorsque deux côtés , AB, AC {fig. 44 )> ^'^'^ triangle ABC sont Fie. 44. égaux , chacun à chacun , à deux côtés , k! B'J A'C, d'un antre

50 I.1V. I. — CHAF. I. — § m.

triangle A'B'C, suivant que l'angie A compris par les premiers est plus grand on plus petit que r angle A' compris par les derniers, le troisième côté du premier triangle est plus grand ou plus petit que le troisième côté du second triangle.

Nous croyons supeiilti de donner la démonstration de celte proposition y parce que, sauf la conséquence, elle serait, en Xowi points , semblable à celle que nous avons donnée plus haut.

RÉciPROQUEMEXïT : — Lorsquc deux côtés d*un triangle sont égaux y chacun à chacun y à deux côtés d'un autre triangle, Vangle compris par les premiers côtés est plus grand ou plus petit qut l'angle compris par les derniers , suivant que le troisième calé du premier triangle est plus grand ou plus petit que le troisième eôttdu second.

Cette réciproque, en vertu du n** 21 , est une conséquence nécessaire de la directe et du tnjiùièmc cas du théorème précédent.

fie. 45. Théorème VII. [Fig. 45.)

N*» 65. — Deux triangles, ABC , A'B'C, rectangles [en A et A*] soht égaux :

Soit, I** — lorsqu'ils ont l' hypoténuse égale et un angle ai§u égal,^ = B'; \

Soit, 2" — lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale ctjun côté de l'angle droit égal, AB = A'B'.

1® — Les deux angles aigus C, C, étant respectivement les compléments des angles égaux B, B' (n** 156), sont aussi égaiu entre eux; dès lors, les deux triangles ont un côté égal adjacent.» deux angles égaux chacun à chacun: et la proposition rentre dans le premier cas du n" 65.

a® — Portons le triangle A'B'G'sur le triangle ABC, de manière que A'B' coïncide avec son égal AB. — Comme les deux angles A, W sont droits, le côté A'C prendra la direction de AC; et je dis qu'en même temps B'C prendra celle de BC. Car supposons, pouriui instant, que B'C prenne une direction différente de BC, et telle que BD : le triangle A' B'C serait alors représenté par le triangl^. ABD, et Ton aurait B'C = BD; d'où, à cause de B'C'=:BC par hypothèse, on déduirait BC = BD , résultat absurde (n® 40).

TAIAirOI.E. 5i

Ainsi WC doit nécessairement tomber sur BC ; donc , les deux triangles A^B'Cy ABC, se recouvrant parfaitement, sont égaux.

Remarques importantes sur i 'égalité des triangles, et sar l'usage

de cette théorie.

N** 66. — ScoLiE I. — Dans les différents cas d*égalilé qui viennent d'être traités , nous avons supposé, à priori, les deux triangles situés dans un même plan et disposés de la même manière. Or, c'est une supposition permise d'après le lxmkk établi au n® 68 ; en effet, après avoir d'abord {n? B) ramené , s'il n'y était pas, le triangle A' B'C dans le même plan que ABC , on peut toujours le ùm tourner ou pivoter, le renverser si cela est nécessaire, le rap^ procher même du premier [scolie du même numéro)^ de manière que deux côtés supposés égaux dans ces triangles, deviennent parallèles et de même sens.

N** 07. — ScoLiK n. — Bien que, dans la composition d'un triangle , il entre toujours six éléments, savoir : trais côtés et trois angles; cependant , pour être assuré qu'il y a égalité entre deux triangles , il n'est pas nécessaire de savoir à priori que les six éléments de l'un sont ^anx , chacun à chacun , aux six éléments de l'autre. Trois de ces égalités suffisent, en général, pour entraîner l'égalité des deux triangles.

Toutefois, il faut observer d'abord que , parmi les éléments donnés comme égaux , il y ait au moins un côté. Car , soit le triangle KBC{fig. 4^) dans lequel on a mené B'C parallèle à BC ; les deux Fie. 45. triangles ABC, A^B'C, ont les trois angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle A commun , et les angles B et B', C et C^ respectivement égaux comme coi'respondants (n° ^1). Or, ces deux triangles sont évidemment inégaux.

De plus, comme on entend (n° 18) par figures égales, deux figures qui peuvent être superposées, il est clair que , du moment où la superposition de deux triangles est opérée ,

A des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; — et réciproquement. — Ainsi , une seconde condition nécessaire pour entraîner régalité de deux triangles avec trois éléments donnés comme

Sa LIV. I. — CHAP. I, — § IV.

égaux y est que chaque angle ou chaque cAté donné comme égal, soit ou puisse être considéré comme oppose à un côté ou à un tm^lt égal dans les deux triangles.

Cette double restriction en apporte nécessairement beaucoup au nombre des cas d^égalitc, lesquels, ainsi qu'on peut facilement le reonnaitre , se réduisent , pour les triangles obliquangles, à quatre essentiellement différents, dont les trois principaux ont fait l'objet du numéro 65 : ceux-ci sont les seuls dont nous auroDS» par la suite, à faire usage.

Le cas où Ton supposerait que les deux triangles ont deux angles égaux cliacun à chacun , ainsi que le côté opposé h Vnn d'eux ^ ce cas , disons-nous , rentre évidemment dans le premier du n*' 63 , puisque (n® tf tf ) le troisième angle est aussi égal dans les deux triangles.

Quant au quatrième cas, essentiellement distinct des précédents, nous y reviendrons plus tard.

l^"" 68. — ScoLiE ni. — L'usage principal de la théorie des triangles égaux est de simplifier une foule de démonstrations , en rendant inutiles des superpositions de figures, que souvent, sans le secours de cette théorie, on serait obligé d'opérer pour constater l'égalité de certaines droites , de certains angles qui entrent dans ces figures.

§ IV. — Du quadrilatère et de ses différentes espèces.

F,G.47. THl.OKeMF.I-. (^7^.47.)

N** 69. — Dans tout quadrilatère ABCD, la somme des angles est égale à 4 Droits.

Tirons la diagonale AC ; la somme des angles du quadrilatère est évidemment égale à celle des angles des triangles ABC , ADC. Or, dans chaque triangle, la somme des angles vaut 2 droits (n* W); donc, etc.

Corollaire. — Si deux des angles d'un quadrilatère sont rlroitSf les deux autres sont supplémentaires (n" 28).

N" 70. — ScoLie. — Deux angles qui ont leurs c6tés [ proloo-

QUADRILATÂRE. 53

gés s'il est nécessaire] perpendiculaires chacun à chacun ^ sont égaux ou supplémentaires; — [c'est-à-dire (n^ 98) égaux s'ils sont de même espèce , supplémentaires s*ils sont d'espèce différente].

En effet y observons d'abord que , pour tout angle donné BAC (Jig. 48), on peut toujours trouver un point O intérieur tel ^ que Fie. 43. les perpendiculaires abaissées de ce point sur AB, AC, déterminent, avec ces côtés, un quadrilatère convexe ADOE. [Il suffît pur cela que les deux angles OAB , OAC, soient aigus (n*" tf7) ; or, si Tangle BAC est aigu , tout point intérieur jouit de la propriété énoncée; et s*il est obtus, on peut prendre un point quelconque de la bissectrice AL. ]

Cela posé, quelle que soit la position par rapport à l'angle BAC , d'un second angle B'A'C [ qui n'est pas représenté sur la figure, parce que cette position relative est très-variable], on peut du moins affirmer que les côtés de l'angle B'A'C sont (n*^ 58) respectivement parallèles à ceux de l'angle DOE du quadrilatère ADOE, et par suite (n<» 55), que les angles B'A'C, DOE, sont égaux ou supplémentaires. Or, dans le quadrilatère ADOE , les deux angles en A et en O sont supplémentaires [n'* 09 y coroL); donc les deux angles BAC, B'A'C, sont supplémentaires ou égaux; ce qu'il fallait démontrer.

Du parallélogramme et de ses variétés.

N** 71. — On nomme PAKALLiLOGRAMMs un quadrilatère ABDC {Jig. 49) ^^'^^ '^^ côtés opposés sont parallèles deux à deux. — Fie. 49* D^ou il résulte nécessairement

I" que — Deux parallélogrammes^ ABDC, A'B'D'C, sont égaux quand ils ont un angle égal [ A =r A' ] compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Car si l'on place l'angle A' sur l'angle A , comme on a en outre

A'B' = AB, A'C = AC, les points B% 0% tomberont respectivement sur les points B , C.