CHA». I. — § IV
Dès lors B'iy, dV, devront prendre ies directions de BD, CD; autrement, il s^ensoivrait qne d'un même point, B ou C, Ton pourrait mener deux parallèles à une même droite, ce qui est absurde (n*^ 54). — Ainsi les deux figures se recouvriront parfaitement
2^ Que — Dans tout paralléiogmmme , ies angles opposés [A et D, B et C] s^mt égaux (n<> «ft, coroil. I) ;
et 3^ que aiciFiLOQUxiixirT : — Si ies angies opposés d'un quadrilatère sont égaux , la figure est un parallélogramme.
En effet, on a (n<» 69)
A-hB-|-D-f-C = 4 angles droits ;
mais, par hypothèse,
A = D, et B = C;
donc cette égalité revient à ces deux-ci :
< aA -h aB = 4 ^^^^ \ J1V cA-f-B=a droiu » ( aD -h 2C = 4 droits y ^ (D-hC = 2 droits Y
Ainsi (n** 47) les côtés AC et BD, AB et CD, sont parallèles detix à deux ; C <?. F. D,
Fio. 49* THioaiMsII. {Pig- 49*)
N^ 78. — Dans tout parallélogramme ABDC, les édités opposés [AB et CD, AG et BD] sont égaux deux à deux.
Menons la diagonale AD, et comparons les deux triangles ABD, AGD : Os ont d'abord le côté commun ADj de plus, les denx angles DAB, ADC, sont égaux (n** ttt) comme altemes-intemes; et les deux angles CAD , ABD, sont aussi égaux, par la même raison. Ainsi, ces deux triangles sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. Donc les côtés VU , AC, opposés aux angles égaux DAB, ADC, sont égaux, ainsi que les cotés CD, AB, opposés aux angles égaux CAD, ADB (v<>x» !<* scoUelLàxx n*» 67); C. Q. F. D.
RiciPBO^KUEMXirT : — Si les côtés opposés d*vn quadrilatrrc ABDC sont égaux deux à deux, la figure est un parallélogramme ;
QUÀD&IZATÈ&B. 65
Car alors les deux triangles ABD, AUG, oixt les trois cotés égaux chacun à cbacan ; d'où l'on conclut (n° 67, ^scolie) :
angle BAD = ahgle ADC , et angle DAC = angle ADB ;
donc (n"* 46} les droites AB et CD , BD et AC ^ sont parallèles deux à deux.
N° 75. — ScoLiE. — Le théorème précédent peut encore s'énoncer de la manière suî^nte :
Les parties de parallèles comprises entre parallèles sont égal es i^) : — proposition qui renferme, comme cas particulier, le théorème I" du h° 44. ^
Théoukme IU. (Fig. %.) jp,^ ^^
N° 74. — Si deux côtés opposés, AB, CD, d'un quadrilatère ABCD , sont égaux et parallèles , la figure est un parallélogramme,
£q eflfet, menons la diagonale AD: les deux triangles ABD, ACD, ont le côté AD commun, et AB=sCD par hypothèse; de plus , puisqu'on suppose en outre AB parallèle à CD , les angles alternes-internes DAB , ADC, sont égaux (n° 51). Ainsi les deux triangles, ayant un angle égal compris entre côtés égaux, sont égaux ; d'où U résulte (n® 67) que l'angle CAD opposé au côté CD est égal à Tangle ADB opposé au côté AB ; donc (n® 46) les deux droites AC, BD, sont parallèles. — Donc, etc.
Ro 7i5. — CoKOLLAiRE I. — Dans tout parallélogramme ABDC
{*) On peat démontrer calte proposition mhb le secours de la théorie de régal îté des triangles, en opérant, par 119 simple pivotement, la saperpositioD des deux fl^jures ACD, ABU : — Faites tourner, comme au n^ 46, le triangle ACD autour du milieu I de AD, de ihanîèro que lA vienne 6\'ippUqiier sur ID , et ID sur lA. Puisque Ton a , en yertu du parallélisme,
angle CAD = angle ADB , el angle CDA = angle BAD ,
les droites AC, DC, prendront les directions des droites DB, AB, et rrciproqncment : ainsi les deux figures ABD, ACD, se recouvriront parfaitement^ et Ton aura
AC = BD, AB = bC.
56 LIV. I. -^ GHAJr. I. — § IV.
{fg, 49)9 ia droite [£F ou GH] qui joint ies milieux [E » F, ou G» H] de deux c6tés pmrallèles, est égal» et parallèle aux deoM aujtres,
€ar, de ce que les droites AE, BF, soBt égales comme moido de lignes égaies AC, BD, et de co que A£ est parallèle à BF, il s'ensuit (n*74) que ABFE eaft un parallélogramme; et Ton a
