AO = OC=:OB

QUAD&lIATiEK. 59

d OÙ il suit que les triangles AOC, AOB, sont isoscèles, et donnent (n« «0) angle CAO = angle ACO,

angle QAB = angle OB A = angle OCD;

donc

CAO -h OAB = ACO 4- OCD, ou CAB = ACD;

Du carré,

^o 0Q, . x^e Ckhxk est un quadrilatère (fig. 53), dont tous les Fio. 53. côtés sont égaux, et dont tous les angles sont droits.

Cette figure est donc à la fois un cas particulier du losange , et un cas ];>articulier du rectangle* — [Ce qui la distingue surtout du losange, c'est que, dans celui-ci, les quatre côtés sont égaux sans être à angles droits. ]

Ainsi — Le carré a ses deux diagonales égales, comme le rectangle ; — et ces diagonales se coupent à angles droits, comme celles du losange.

En outre, les quatre triangles AOB, AOC, GOD, DOB, sont isoscèles, rectangles, et égaux entre eux, c'est-^à-dire superposables; tandis que, dans le losange {fig. 5i), ces triangles sont^i^*- ^'* aussi rectangles, ^aux et superposables , sans être isoscèles , et que, dans le rectangle, ils sont isoscèles sans être égaux.

En un mot, le carré , par sa forme symétrique, peut être considéré comme le plus simple des polygones.

Du trapèze,

Ii<*8i. — Nous ne pouvons nous dispenser ici de faire connaître une antre espèce de quadrilatère dont les propriétés se lient naturellement à celles du parallélogramme.

LeTaAPÂZB est un quadrilatère ABDC [fig. 54) dont deux côtés ^- ^4* seulement, AB, CD, sont parallèles, — Ces côtés sont dits les bases du trapèze ; et la perpendiculaire IK commune à ces deux bases , en est la hauteur. — F/es deux côtés non parallèles sont dits les rôtcs latéraux.

fia L|V. I. — CBAF. I. — § V.

sommets» la somme des angles du polygone est évidemiiient égak à celle des angles de tous les triangles ainsi formés. Or, dans chaque triangle , la somme des trois angles est égak à a droits (n? M) ; et il y a autant de triangles qu'il y a de côtés moiMs deux (n** 83)j donc 9 etc. *

N° M, ScolieI. — Soit n le noml»e des côtés; on a » pour Texpression abrégée de la somme des angles du polygone ,

2(11 — a), ou 2ii — 4

en efîectuant la multiplication d'après les règles connues de U multiplication algébrique.

La dernière expression fournit un autre énoncé de

La somme des angles d*un polygone : elle s'obtient en doublaia le nombre des côtés, et retranchant 4 du résultat [ Tangle drtnt étamt toujours pris pour unité].

On démontre directement la proposition ainsi présentée, en ayant recours au deuxième mode de décomposition indiqué ao Fœ. 56. numéro 85. Il est visible, en effet [fig. 56), que la somme des angles du polygone est égale à celle des angles de tous les triangles qui ont leur sommet en 0 , diminuée de la somme de tous les angles formés autour de ce point, laquelle ^t (n® 51) égale à 4 droits ; donc, etc.

Faisons successivement , dans les deux expressions précédentes ,

71=3, /2 = 4s ^=5, /i=6^...; il vient ainsi,

d'après la première ,

axi, aXa, ax3, ax4>"*'> o** 2, 4» 6, 8,..., et d'après la deuxième,

6—4» ^ — 4> 10 — 4> la— v4>»*-»> ®*^ ^> 4» ^» 8,..., suivant que les polygones ont 3, 4» 5, 6,... côtés,

résultat qui s'accorde avec les théorèmes des n^ W et 69

N® 86. — ScoLiE n. — Si le polygone donné est cqniangle , c'est-à-dire si tous ses angles sont égaux, on a, pour l'expression de chacun des angles ,

— i -^ ou -.

«OLYOOlfES eONtEXEâ. 63

Ainsi, dans ie triangle é^uilatéral (n^ 68), chacun des angles

6 — 4 2 „ , , vaut — 5—^ ou « d angle €/ro//

Dans le cafré (n° 80) , chaque angle vaut . ou i droit.

6 8 On trouverait égalenient ^> tt, — , . . ., pour Vaugle à\\npcn^

tagonej à*VLVL hexagone , d'un heptagone,, . ., supposé équiangle.

Enfin, Texpression revenant h. % — 5, prouve que

An delà de quatre côtés, chaque angle d*un polygqne équiangle est toujours obtus,

Theoeàhe il {Fig. 55 et 56.) Fie. 55 et 56.

N** 87. — Dbns tout polygone convexe ABCDEFG, si Ton prolonge tous les côtés dans le même sens (*) , la somme des angles extérieurs, aBC , bCJ} , cDE , . . . , ainsi formés, est égale à 4 bboits.

En effet, on voit, d'après \di figure et d'après le n** 29, que les angles, tan^ intérieurs qu'extérieurs, formés aux points A, B, C, . . ., déterminent une somme totale égale à autant de fois 2 droits qitil q- a de sommets ou de côtés dans le polygone \ ainsi (n^ BIS) cette somme surpasse de 4 angles droits celle des angles intérieurs; donc il reste nécessairameat 4 droits pour la somme des angles extérieurs,

AuTHEMENT : — Si d'un point 0 [fig- S*]) pris arbitrairement Fie. 57. dans le plan du polygone , on mène O/', 0^', Oc', . . . , respectivement parallèles à Aa, Bb, Ce,..., et de même sens que ces droites, les angles a'Ob' et aBb^ b'Oc^ et bCcy,,,y sont égaux chacun à chacun (n** M); donc la somme des angles a'O^', l&'Oc',..., est égale à celle des angles aBb^ bCc,»,. Mais la première vaut 4 angles droits [n^ SI) : donc aussi, la seconde vaut 4 angles droits.

(*] Cette esprosBioii, dans le méntaens, signifie que, si Ton faisait le tour an polygone en suÎTant, par exemple, Tordre A, B, C, D, ..., il fAudrait, arant de tourner pour pai&er d^un côté AB au suirant BC, puis do BC à CD,..., prolonger toujours en avant, par exemple, te côté que Pon quitte, AB<i,BC*,CDc,....

64 WV. I. CHAF. I. § V.

ScoLiB. — Um polygone convexe ne saurait apoir pJâu de tmt angles aigus;

Car s^il y en avait seulement quatre, il s*ensuîvndt que h somme des angles extérieurs, correspondants serait déjà pius grande que 4 droits.

Conditions d*égalité dans deux potygones conpejges.

Tniowhm TU.

' N** 88. — Deux polygones comvexes se confondent nécessaireoKDt lorsqu'ils ont les mêmes sommets.

D*abord, toutes les droites qui ioigneiR ces sommets deux à deux [côtés ou diagonales] coïncident. — En outre, Un côté du premier polygone ne saurait être une diagonale dusecond ; car, si cela était y il s^ensuivrait (n° 56, S'*) que les sommtts du premier polygone ne seraient pas toys situés dans la même région par rapport à ce côté ; ce qui implique contradiction avec la nature da polygones convexes (n** 50).

Donc, puisque les côtés de Tun coïncident avec Les côtés de Tautre, chacun à chacun, les deux polygones se confondent.

Fw. 58. TnioRiME IV. {Fig. 58.)

N»89. — Deux polygones j ABCDEF, A'B'C'D'E'F', sont égau^ lorsque y ayant un côté égal [AF = A'F'], ils sont tels, en outre, ique les distances respeetives des extrémités [A et A', F et Y'^tie it côté h tous les autres sommets B, C,..., B', C',..., soient égales, chacune à chacune ^ et disposées de la même manière:

€*est>à-dire si Ton a

AB = A' B', AC = A'C, AD puis FB = F'B', FC = F'C', FD

£n effet, faisons mouvoir [comme au n°6!2] le second polygone dans son plan, de telle manière que le côté A!W vienne prendre position sur son égal AF. — Puisque, par hypothèse, on a

AB = A'B', et FB = F'B',

les deux triangles ABF, A'B' F', sont égaux (n" 65, d!^ cas), ets*ap-

i»OLTCONE$ COKVEXF.S. Cj

pliqueront exactement F un sur Vautre ; donc le point B' tombera en B. — De même, puisque

AC = A'C FC = F'C

le point C tombera en G. Et ainsi de tous les autres sommets D et D', E et E',... des deux polygones. — Donc (n® 88) les deux polygones se recouvriront parfaitement , et sont par conséquent égaux.

Scous I. — En disant dans Ténoncé , que les distances égales , AB et A' B% AC et A'C, . . . , FB et F'B', FC et F'C, . . . , sont disposées delà même manière , nous entendons que les lignes A'B', A'C',..., F' B', F'C, . . . , suivent entre elles le même ordre de position relative, que leurs égales AB, AC, . . . , FB, FC , . . . : en d'autres termes, ces lignes sont ou peuvent être toujours supposées T'âiv/Z^/^j deux à deux et de même sens. — (Voir le scolie du lemme n^ 62.)

Cependant , il est bien entendu que le théorème précédent n'en subsisterait pas moins lors même que les deux polygones n'auraient pas actuellement la position indiquée par \k figure 58. Fie. 58.

N^ 90. — SooLiK II. — Si Ton désigne par n le nombre des côtés de chacun des polygones, le nombre des données supposées égales dans le théorème précédent, est évidemment égal à (2/1 — 3). Car le nombre des sommets autres que A, F, ou A% F', étant [n — 2) pour chaque polygone, on a 2 (/i — 2), ou (2^1 — 4)> P^ur le nombre des couples de distances égales

AB=A'B', AC = A'C',..., etFB = F'B', FC = F'C,

Mais à ce nombre (2/1 — 4) ^ ^^^^ ajouter i , à cause de AF=A' F'. Ainsi , le nombre total des données est égal à

On peut conclure de là, par induction, que le nombre des don« nées égales nécessaire pour établir l'égalité de deux polygones » est (2/1 — 3) , /i exprimant le nombre des côtés.

Ainsi, le nombre des données est , pour le triangle , 2X3 — 3, ou 3; pour le quadrilatère , 2 X 4 — ^> ou 5; etc.

Mais il y a , comme pour le triangle (\i" 67), des restrictions à

66 LIV. 1. CHAF. I. § Y.

établir. Par exemple , si Ton fait entrer les angles en considéntion , // faut que les angles supposés égaux soient on paissent étrt regardés comme compris entre des côtés respectivement égaux, condition qui est une conséquence nécessaire de la nature des figures superposables.

En outre, on ne doit jamais donner plus de [n — i) angles égaux dans les deux figures , puisque (n*^ 84) la somme des angles doit être la même pour deux polygones d'un même nombre de côtés, etc.

Voici trois nouveaux cas d'égalité qu'il est utile de connaître :

Fie 58. TnioniME V. [Fig. 58.)

N«9i.— />eiu? polygones [de n côtés], ABCDEF, A'B'CD'E'F, sont égaux ,

Soit 1° — lorsqu'ils ont {n — i ) côtés consécutifs égaux ehacMin à chacun , ainsi que les (n — a) angles compris entre ces côtés;

Soit 7? — lorsqu'ils ont (/i — 2) côtés consécutifs égaux chacun à chacun, ainsi que les angles qu'ils font entre eux et avec les deux autres ;

Soit 3^ — lorsqu'ils sont composés d'un même nombre de triangles égaux chacun à chacun et disposés de la même manière [ABC et A'B'C, ACD et A'C'D', . . .].

Nous renvoyons, pour la démonstration des deux premiers cas^ an mode de superposition indiqué à la fin du n® 69. Seulement , observons que , dans le premier cas , lorsqu'on auhi opéré la superposition du (/i — I )*'•** côté D'E' avec son égal DE, comme les points F' et F , E' et E , coïncideront, le /i'*'^ côté E' F' sera nécessairement égal au /i"*'^ côté EF ; et les deux angles lï E' F, Y/ Y* A! y seront aussi respectivement égaux aux angles DEF, EFA , à cause de la superposition. — Donc il suffit de [in — 3) éléments [côtés, angles] supposés égaux.

Même raisonnement par rapport au second cas.

Quant au troisième , on peut opérer directement la superposition des différents triangles supposés égaux dans les deux polygones , et , par suite , celle des deux polygones eux-mêmes ; — ou bien on peut dire : — Les triangles A'B'C, ABC, étant supposés

l»0LYG03fES COMVKXKS. 6^

égaux, il s^ensiiit que leurs côtés et leurs angles sont égaux chacun à chacun. Pareillement, les triangles A'C'D', ACD, étant supposés égaux, leurs angles et leurs côtés sont respectivement égaux; et ainsi de suite. — D'où il est facile de conclure , — i^ que les côtés des deux polygones sont égaux chacun à chacun ; — et 2? leurs angles sont aussi égaux comme composés d'angles reconnus égaux dans les triangles. — Ainsi le troisième cas rentre dans les deux premiers.

N*»92. — ScoLiE. — Nous observerons, par rapport à ce troisième cas, que, comme on a(n**84) dans chaque polygone, (n — 2) triangles dont le premier exige 3 données et les autres chacun 2 , cela fait en tout

3 H- 2 (/i — 3) , ou 34-2» — 6 , ou bien enfin (2/1 — 3)

données supposées égales , comme ci-dessus.

Ajoutons, pour ce même cas, que par Texpression assemblés de la même manière, on doit entendre que les triangles égaux qui composent les deux polygones, y sont assemblés de telle façon que les angles égaux chacun à chacun de ces triangles forment par leur réunion , des angles égaux chacun à chacun dans les deux polygones. Autrement , ces polygones , quoique composés de parties égales et superposables chacune à chacune , ne seraient pas eux-mêmes superposables.

N** 95. — ScoLiE GÉMESAL SUT tous Ics cas d'égalité précédents. Les réciproques des propositions comprises dans les énoncés des théorèmes IV et V sont des conséquences nécessaires et évidentes de la nature àe& figures égales et superposables.

On nomme côtés et angles homologues, les côtés et les angles respectivement superposables dans deux figures reconnues égales; sommets homologues , les sommets d'angles homologues; diagonales homologues, les diagonales qui joignent deux sommets ho« mologues. — En général , on appelle points homologues, deux points qui , avec les extrémités de deux côtés homologues, forment deux triangles égaux et disposés de la même manière dans les deux polygones. Enfin , deux droites homologues sont deux droites

68 UV. i. CHA*. 1. — § VI.

qui joignent des pointe homologues ; et les portions de ces droites , limitées par des pointe homologues, sont nécessairement égales.

§ VI. — Théorèmes dwers.

Nous terminerons le premier chapitre par quelques propositions qui , sans faire partie essentielle de la théorie , n'en sont pas moins utiles ou curieuses à connaître,

FiG. 59. TnioRèMB I. {Fig. Sg.)

N^ 04. — Dans tout triangle ABC, un angle C est vkoiTj aigu, ou OBTUS , suisfant que la droite CD qui Joint le sommet de cet angle au milieu D du côté opposé AB, est ïgale y supàiiieub£ , ou iitfé- RiEU&E , à la moitié AD de ce côté.

i° — Soit CD = AD = DBj

il en résulte (n"" 68)

angle CAD = angle ACD, angle CBD = angle WD \

ce qui fait voir que l'angle total C est égal à A -f- B. Or, on a (n« »tf }

^ A-hB-|-C=2 droits;

donc l'angle C , moitié de cette somme , vaut x droit.

aP— Soît CD > AD ou > DB;

il en résulte (n^ IS9)