CAD > ACD, CBD > BCD

d'où a/ï^/c A-f-«/ïg^fcB>ACD-^BCD, ou A-4-B>C; et comme on a A-+-B-hC=2 droits ,

il faut nécessairement que C soit <^ i droit, c'est-à-dire qu'il soit aigu.

3«— Soit CD < AD ou < DB;

il s'ensuit

CAD < ACD, CBD < BCDj

THEOaÈMES DlViflRS. G9

d'où A-t-B<C;

or A-|-B-+-C = 2 droits;

donc, C ]> I droit.

ScoLiR. — Cette proposition peut servir à faire connaître immédiatemeni Tespéce d'un angle dans un triangle donné.

THéoAèME II. {Fig. 60.) Fie. 60.

N" 9». — Les bissectrices kM^ BB', CC, des trois angles d'un triangle y ABC, se coupent en un même point O.

En effet , considérons d*abord les deux bissectrices CC et AA' ; on a vu (n^ 45) que tout point de la première est également distant des côtés CA et CB , et que tout point de la seconde est également distant de AG et de AB \ donc le point O où elles se rencontrent, est à égale distance des trois droites AC, CB, BA. Ainsi (n^ 45, scolie I ) ce point appartient aussi à la bissectrice BB'.

Scolie, — Si l'on prolonge les cotés AC , AB , en L , I , et que l'on considère les bissectrices des deux angles LCB, CBI [lesquelles , comme on l'a vu au n° 45, scoL III , font des angles droits avec ce et BB' ] , ces deux bissectrices se coupent en im point O' situé sur la bissectrice de l'angle A. — Cela est évident, puisque le point & est également distant de AC et de AB.

Théorâme m. [Fig. 6i.) Fïc. 6i.

N° 96. — Les perpendiculaires élevées par les milieux A', B', C, des trois côtés d'un triangle y se coupent en un même point.

D'abord, les deux perpendiculaires CI, B'K, se rencontrent toujours (n® KO, scol. II) en un certain point O, lequel (n** 41) est également distant de A et de B, de A et de C , et par conséquent des deux points B, C. Donc ce même point appartient (n*» 41 , scol. I) à la perpendiculaire élevée par le milieu A' de BC.

Sr-oi.iE. — La rencontre des trois perpendiculaires peut avoir lieu , tantôt au dedans, tantôt aujbihors du triangle.

70 LIV. I. CHAF. I. § VI.

f,4. 6a. THiomÈME IV. (Fig. 62.)

N" 97. — Les perpendiculaires AA', BB', CC, abaissées des trois sommets d'un triangle sur les côtés respectivement opposes, se coupent en un m^me point.

Menons , par les trois points A, B» C, des droites B^Cy A^", A"B", respectivement parallèles à BC, AC, AB. —- Puisque , par construction, CB est parallèle à AB", et AB parallèle à CB", il s'ensuit (n° 71) que ABCB", ACBC", sont des parallélc^rammes ; donc (n^ 72) on a