CB = AB" = AC

ainsi le point A est le milieu de B''C'\ On prouverait de même que les points B et C sont les milieux respectifs de A^Cy A"B"; donc les perpendiculaires AA', BB', CC, se trouvent élevées par les milieux des côtés A'^B", A"C", B"C", du triangle A"B"C" ; et la proposition rentre dans le théorème précédent.

ScoLix. — La rencontre des trois perpendiculaires peut encore avoir lieu au dedans ou au dehors du triangle.

Fie. 63. THioBèME V. (Fig. 63.)

N® 98. — Les droites AA% BB% CC', menées des trois sommets d'un triangle aux milieux des côtés respectivement opposés, concourent en un même point.

Considérons d'abord les deux droites AA', CC ; et soit O leur point de rencontre. Menons la droite A'C, et, après avoir pris les milieux A' ', C, de OA, OC, tirons A"C". La droite A'C passant par les milieux de CB et de AB, est parallèle à AC (n"" Bit, scoL III) ; par la même raison , la droite A"C" est aussi parallèle à AC; donc (n*" 54, S*") les droites A'C, A^C, sont parallèles entre elles ; et de plus, elles sont égales chacune à la moilié de AC (n°B9, scoL III).

Cela posé , les deux triangles OAX', OA"C', sont égaux comme ayant un côté égal [A'C = A"CJ adjacent à deux angles égaux chacun à chacun [CA'O = C"A"0, A'CO — A'C'O (n" 51)]; et de leur égalité l'on peut conclure qnc OC := OC, OA' = OV.

THéORKMES DIVERS^. "J I

Or, on a d'aillam^, par construction, OC" = C"C, OA" = A" A; d'où Ton voit que le point O est situé sur les droites A A' et CC, aa tiers de chacune, à partir de CB et de AB.

On démontrerait de même , en considérant les droites AA', BB', que leur point de rencontre doit ;se trouver au tiers de AA', à partir de CB ; donc nécessairement, les trois droites AA', BB', CC', se rencontrent en un même point intérieur Oi

ScoLiE. — Ce point se trouve placé, pour chaque côté du triangle, sur la droite qui joint le milieu de ce côté avec le sommet opposé , au tiers à partir du côté , ou aux deux tiers à partir du sommet. — C'est une conséquence de la démonstration qui vient 4'étre donnée.

THÉORiME VI. {Fig, 64) FiG. 64.

N** 99- — Dans un parallélogramme quelconque ABDC, soient menées les bissectrices des quatre angles :

Si Von Joint le point de rencontre E des bissectrices de deux angles adjacents à un même côté AC , avec le point de rencontre F des bissectrices des angles adjacents au côté BD opposé au premier, la droite EF ainsi menée est — 1** — parallèle aux deux autres côtés, et — 2* — égale à la difféwence de deux côtés contigus [AB — AC].

Prolongeons d'abord les bissectrices opposées, CE , BF , jusqu^à leurs rencontres respectives en G et en R avec AB et CD.

A cause des parallèles AB , CD , Tangle CGA est égal à l'angle ' GCD9 et, par conséquent, égal à ACG , qui, comme GCD, est moitié de ACD. En outre, les deux angles ACG, KBA, sont aussi égaux comme moitiés des deux angles égaux ACD , ABD ; donc

angle CGA = angle KJBA.

Les deux droites CG , KB, sont alors parallèles (n? ÎS2 , récip.) ; et la figure CGBK est an parallélogramme.

D'aillenrs, le triangle ACG est isosccle, à cause de l'égalité des angles en C et en G; ainsi (n® 61) la bissectrice AE divise CG en deux parties égales; et Ton a CE r=r FX}. -^ On démontrerait de même , en considérant le triangle DKB , que KF = FB ; donc •