EF = GB = AB — AG = AB ^ AC

ScoLiE. — Les deux triangles AEG, AEG, étant rectangles (n^KI), ainsi que les deux triangles DFK, DFB, il s*ensuit que , si Ton prolonge DF jusqu'à sa rencontre en I avec GG , et AE jusqu'à sa rencontre en L avec BK , on forme un parallélogramme rectangle EIFL. Ce rectangle devient un carré si la figure proposée est elle-même un rectangle y puisque alors les diagonales EF, IL, respectivement parallèles à AB , CD , et à AC , BD , se coupent à angles droits ( voyez le n** 80). Enfin , ce rectangle s'évanouit ou se réduit à un point quand la figure proposée est un losange, puisque, dans ce cas , les bissectrices se confondent deux à deux.

F,c. 47. • THÉoEàME Vn. ( Fig. 47 . ).

N® 09 his. — Dans tout quadrilatère ABCD , les deux tiroiies EF , GK , qui Joignent les milieux respectifs des côtés opposés, et la droite IL, qui joint les milieux des deux diagonales , concourent en un même point, et se divisent mutuellement en deux parties égales.

Menons les droites IG, GL, LK, Kl. Puisque dans le triangle BAD , les points L et G sont les milieux de BD et AD, il s'ensuit (n*^ 82) que la droite LG est parallèle à AB et égale à sa moitié. Pareillement , dans le triangle ABC , la droite IK , qui joint les milieux de CA, CB , est parallèle à AB et égale à sa moitié. Donc les droites LG, IK , sont égales et parallèles ; ainsi (n^ 74) la figure IGLK est un parallélogramme dont IL et GK sont les diagonales. Par conséquent, ces droites se coupent en un point G, qui est le milieu de chacune d'elles (n® 76).

On prouverait de la même manière que la figure EIFL est un parallélogramme dont IL, EF, sont les diagonales. D'où il suit que la droite EF passe par le même point G, et y est divisé en deux parties égales ; — ce qui démontre le théorème énoncé.

N.B. — Lorsque ABCD est un parallélogramme, les points I, L, se confondent avec le point G; et les figures IGLK, EIFL, se réduisent aux deux droites GK, EF.

THKOKKIIES DIVERS. ^3

TRioRiàHE Vin. [Fig. 65.) Fie. 65.

N° 100. — Dans un polygone convexe de n côtés , le nombre total des diagonales est représenté par^ —,

Concevons que l'on ait joint un premier sommet A à tous les autres [abstraction faite des sommets voisins B, G]; il est clair qu'on obtient d'abord un nombre de diagonales exprimé par («-3).

Gomme on ''peut faire le même raisonnement pour cbacun des n sommets , il s'ensuit que le nombre total des droites de jonction obtenues de cette manière serait [n — 3) /i.

Mais observons que , pour opérer ainsi , il faudrait tracer deux fois la même droite. Donc le nombre véritable des diagonales vlesx réellement que la moitié du nombre qui vient d'être exprimé.

Donc enfin — est l'expression du nombre total des diagonales différentes.

Faisant successivement ;i z=: 3, 4» ^9 6, 79- • •>

on trouve • — = o, a, 5, g, i4>-« • •

Ainsi y dans la figure actuelle, qui est un heptagone y on peut vérifier qu'il 7 a i4 diagonales.