DROITE

N° iOI. — Aux définidons et propositions préliminaires établies aux n°' I5y. . . ., 16, il est nécessaire d*en ajouter quelques autres.

Observons d*abord que

Une ligne droite ne saurait rencontrer une tirconférenct de eercle en plus de deux points :

ÇkTf si ces deux lignes pouvaient avoir trois points (communs, en joignant ces points au centre du cercle, on aurait alors (n^ 13' trois droites égales menées d'un même point à une même droite, ce qui est absurde (n° 40, coroL), — De là il sukque

La circonférence de cercle est t^ne ligne convexe (n** 56).

Cela posé, on nomme Sécante à un cercle, toute droite Afi Fio. 66. (fig' 66) qui traverse le cercle de manière à rencontrer sa cîrcouférenoe en deux points C, D. Ia partie CD de cette droite, intérieure au cercle, est dite (n" 14) une corde du cercle; et les prolongements CA, DB , de cette corde, sont les parties extérieures de la sécante.

N^ i02. — On définit ordinairement la Tangente au cercle, une droite qui n'a qu'un point commun avec la circonférence (^). Or, on obtient «ne pareille droite en menant, par un point quelconque I de la circonférence , une perpendiculaire PQ au rayon 01 ; car, si Ton joint le point O avec tout autre point H de la perpendiculaire, on a nécessairement OH [> 01 (n° 39) ; ainsi , tout point de cette droite, autre que le point I , est àtué hors du cercle.

Lorsqu'une droite est tangente à un cercle, réciproquement, le

(^) Nous adopteroQS, pour le moQODt, cette définition, sauf à y revenir plus tard, et spécialement dans VAppendice aui deux premiers livres, lorsque nous traiterons des courbes en général et de leurs tangentes.

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cercle est dit tangent à la droite; et le point qui leur est commun , se nomme le point de tangence ou de contact.

Ha propriété de la tangente, d*étre perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact , en est une propriété caractérisiiqtt€} car, si l'on conçoit, réciproquement , une droite ayant un seul point commun avec la circonférence, et dont tous les autres soient extérieurs au cercle, la distance du centre au point commun est plus courte que toutes les autres lignes qu^on peut mener du centre à la droite ; donc (n<* 59) ce rayon est perpendiculaire k la droite.

Il résulte de là évidemment ,

I** que — Par un point donné d'une circonférence , on ne peut mener qu'une tangente;

et 2® que — Par un point intérieur, on ne peut en mener aucune;

en outre 3", que — Les perpendiculaires , MN, PQ, menées par 1rs extrémités d'un diamètre IL , à ce diamètre , sont des tangentes parallèles entre elles ;

et 4** enfin que , asciPROQUEMEiTT, — Deux tangentes parallèles ont leurs points de contact situés aux extrémités d*un même diamètre , et sont perpendiculaires à ce diamètre.

N** tOS. — On dit qnnnpolygoneesll iNScaiT à un cercle lorsque tous ses sommets sont situés sur la circonférence ; les côtés de ce polygone sont alors des cordes du cercle. — Un polygone est ciacosrsoLiT au cercle, quand tous ses côtés sont des tangentes.

Chacun des angles du premier polygone est ce qu'on nomme un angle inscrit dans le cercle ; et chacun des angles du second est nn angle circonscrit.

Observons à ce sujet que, si les deux tangentes QP, Q'P {/^g* 66), viennent à se rencontrer en un certain point P, les Fie. 66« deux portions PI, PI' de ces tangentes, comprises entre leur point de concours et les points de contact, sont égales.

Car, en menant par le centre du cercle , et par le point P, la droite POG, et pliant la figure Q'PG suivant PQ, on pourra faire coïncider les points I', I (n° 14), et par suite les deux portions de droite PI', PI.

Remarquons encore qtie ces deux tangentes dctenninent sur la

^6 LIV. I. — CUAP. II. — § I.

circonférence deux portions distinctes, l'une TKI tournant bd convexité vers le point P, l'autre présentant à ce même point, o* que l'on nomme sa concavité.

Cette dernière remarque nous sera bientôt très-utile.

Ces notions étant établies, indiquons la division du présent chapitre. Nous le composerons de quatre paragraphes. Le premier paragraphe traitera des propriétés des cordes ^ des sécantes, et des tangentes; le second, de la mesure des angles; le troisième, dfs polygones inscrits et circonscrits; le quatrième enfin, des cvrcU^ sécants y tangents, extérieurs ou intérieurs l'un à l'autre.

$ I. — Des cordes, des sécantes , et des tangentes.

Fie. 66. Théorème I". {Fig. 66.)

K° i04. — Le diamêtn.', IL , du cercle est la plus grande de touu » ses cordes.

Si l'on mène aux extrémités d'une corde quelconque CD , 1ô deux rayons OC , OD , on a ainsi (n^ 58)

OC -h 0D> CD;

et , par conséquent ,

01 4- OL > CD, ou IL > CD.

Fie. 67. Théorème II. (Fig. 67.)

N" lOtf. — La perpendiculaire 01 abaissée du centre d'up cercle sur une corde AB , divise cette corde en deux parties égalts . ainsi que les arcs qu'elle soutend.

Prolongeons CO jusqu'en D , et plions la figure le long du diamètre CD. D'abord, les deux demi-cercles DBC, DAC, se confondront (n° 15). Ensuite, comme les deux angles en I sont droits, lA et IB devront prendre la même direction ; et les points A , B, se confondront également; donc

1» lA = IB;

2" arc AC = arc CB y

et arc AD = arcDB; C. Q. F. D.

N" 106. ScoLiE. — La droite CD remplit évidemment ces W/zy