A'B' = B'C = CD

lOO LIV. 1. CJHAP. II. § IV.

donc ce polygone , ayant ses angles tous égskuji entre eux , ainsi que ses côtés , est régulier; C. Q. F, D.

N® I5U. — ScoLiE. — Tirons les droites OA , OB, OC , . . . , puis OA', OB', OC, . . . , droites qui seront (n^ 1511 ) les bissectrices des angles en A, B , C,... , et en A% B', C%... Cela fait, de ce que les deux polygones ont un même nombre de côtés, il s'ensuit (n® 155) que les angles au centre, AOB, BOG,... du polygone inscrit, sont égaux aux angles au centre, A'OB', B'OG',... du polygone circonscrit. Ainsi les bissectrices 0A% OB', OC',... des angles au centre de celui-ci, sont en même temps les bissectrices des angles au centre du premier ; c'est-à-dire que Ton a

angle KO A! = angle A'OB = angle BOW =...,

et par conséquent

arc AI = arc IB = arc BK = arc KG = . . .

De là résulte une nouvelle position que pourra prendre le polygone circonscrit. En effet , faisons pipoter le polygone A'B'G'iyE'... autour, du point O, dans le seosBI, de manière que le point B , milieu de Tare IBK, vienne tomber en I , milieu de Tare AIB; les points K, G, L,... prendront en même temps les positions respectives B, K, C,...; et les tangentes A'B% B'C', G'D',." deviendront A"B'', B"G",...; ce qui donnera le nouveau polygone circonscrit A'' B''G'' D'* . . . , parfaitement égal au premier , et dont les côtés seront respectivement parallèles aux côtés AB, BG , GD, ... du polygone inscrit.

Nous aurons , par la suite, occasion de considérer à la fob deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés, Fun inscrit, Tautre circonscrit ; et , suivant les circonstances , nous prendrons le polygone circonscrit dans l'une ou dans l'autre des deux positions que nous venons d'indiquer.

§ IV. — Des cercles sécants ^ tangents ^ extérieurs et

intérieurs les uns aux autres.

N** 156. — On a vu (n** iS7) que, par trois points non situés 4»i ligne droite, on peut toujours faire passer une circonférence de

CE&C1<KS SKCANTS, TANGSKTS, etC. lOI

cercle, et qu'on ne peut en faire passer qa*une; d*oùil suit nécessaireioent que

Jkttx circonférences ne sauraient avoir trois points communs sans se confondre.

Mais, deux cercles étant tracés sur un même plan , il peut ar* river que leurs circonférences n'aient aucun point commun, ou bien qu'elles aient un ou deux points communs, '•^ Dans ce dernier cas, la droite qui joint ces deux points est une corde commune aux deux cercles (n** 1 4).

De plus , on nomme uone des csirrafis la droite menée par les deux centres.

Enfin y la ligne circulaire étant, d'après sa définition (n** 15), une courbe fermée et rentrante sur elle-même , on peut affirmer que , quand une circonférence de cercle a en même temps un ]^mt intérieur et un point extérieur à une autre circonférence, ces deux lignes se rencontrent.

Gela posé , voici deux propositions qui peuvent être considérées comme fondamentales dans la théorie que nous avons à établir :

Théoeâms I.

N" 157. — Si deux circonférences de cercle ont deux points communs, la ligne des centres est perpendiculaire à ta corde com^ mune, et divise cette corde en deux parties égales.

En effet, la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette corde , devant passer par les centres des deux cercles (n° 106), n'est antre chose que la ligne des centres; donc , etc.

THioEÈMB n. (Ffg, 83.) Fie. 83.

N* 158. — Lorsque deux circonférences ont un seul point commun, ce point appartient à la ligne des centres.

En effet, soient d'abord O, 0% les centres des deux cercles; et supposons que le point commun aux deux circonférences puisse être placé au-dessus de la droite 00', en M par exemple ; abaissons MP perpendiculaire sur OO', et prolongeons cette perpendiculaire

I02 Mv. I. — CHAP. II. — § nr.

d'une longueur PM'=PM. On a nécessairement OM'=OM {a? 40), et par la même raison, 0'M'= CM; d'où il suit que, le point M appartenant aux deux droonférenoesy le point M' leur appartient aussi. Ces circonférences auraient donc alors detue pointi communs, ce qui est contre Vhypoth^e; donc, etc.

N° 159. — Avant de passer à d'autres propriétés , nous examinerons d'abord quelles peuvent être les positions relatives de deux cercles tracés sur un même plan.

Fw. 8 } Soient O, O' {fig, 84), les centres de deux cercles décrits avec des rayons inégaux; et supposons qu'aux extrémités A et B , A' et B', des diamètres situés dans la ligne des centres, on ait élevé sur cette ligne des perpendiculaires, GG' et KK', II' et LU : les deux premières droites seront (n** iOft) tangentes au cercle O, et le comprendront entièrement; il en sera de même des deux autres droites par rapport au cercle 0^

Gela posé, admettons que le cercle O, restant fixe dans son plan, ainsi que ses deux limites , GG', KK', le cercle O', ou plutôt la bande II'LL' qui le renferme , glisse ou se meuve parallèlement à elle-même , de manière que le point O' se rapproche continuellement du point O : il est facile de reconnaître ainsi, que les positions relatives des deux cercles se réduisent à cinq essentiellement différentes :

Fic. 84. I® — La bande II' LL' peut être placée comme dans Wfig» 84. — Dans ce cas , les deux cercles sont tout à fait extérieurs l'un à Vautre^ puisqu'ils sont, l'un à gauche de RK', l'autre à droite de II', et que les droites KK', II', sont séparées par la distance BA'.

FiG. 8^. 2^ — Supposons maintenant que la limite II' {fig. 85) vienne à s'appliquer sur KK^ — Dans cette nouvelle position, la droite KK' sera une tangente commune aux deux cercles , lesqueb , étant d'ailleurs situés entièrement, l'un à gauche, l'autre à droite de KK.', n'auront que le seul point B commun , et seront encore extérieurs l'un à l'autre. — On dit alors qu'ils sont tangents extérieurentent.

Z^ — La bande 11' LL', continuant à se mouvoir, arrivera

Fie. S6. dans une position telle que II' [fig. 86) soit à gauche de KK', la

seconde limite LL' restant A droite. — Dans ce cas, les deux bandes

CERCLES SÉCANTS, TANGEITTS , CtC lOS

auront une partie commune II'KJK.'; et il en sera, par conséquent, de même des deux, cercles qui auront MBA' M pour surface commune. Les circonférences se couperont donc nécessairement en deiii points M , It ; et les deux cercles sont dits alors des cercles sécants.

4° — Supposons la seconde limite UJ parvenue à s'appliquer sorKK' [fig* 87), la première II^ restant toujours intérieure à la Fie- B7. bande GG'KS.% ce qui suppose que le cercle (V soit moindre que le cercle O : il est aisé de voir que le cercle (y aura tous ses points, autres que le point B' [qui est venu se confondre avec le point B], situés intérieurement au cercle O. -^ En effet, si , par le centre O, on tire une droite quelconque qui rencontre les deux circonférences aux points M , N, et qu*on joigne le centre (Y au point N , le triangle OO" N donnera (n^* 88)

ON < OC H- O'N < OCy -h O'B < OB < OM.

.\insi tous les points de la ciroonféreiice O' sont intérieurs à la circonférence O; et les deux circonférences sont dites alors tangentes intérieurement»

5^ — Enfin , lorsque (^g. 88) les limites IF, LL', seront toutes Fic. 88. les deux placées dans la bande GG^KK', la circonférence O' sera tout à £ut intérieure à la circonférence 0 ; et ces deux circonférences n'auront aiira/i /wi/i/ commun, — En effet, tirant la droite OX et le rayon O' N , on aura

ON < 00' -h O'N < OO' -h O'A' < OA;

ce qui prouve que le point N est intérieur à la circonférence O.

iV. B, — Il peut arriver, comme cas particulier de celuî-d , que les points O, O', viennent à se confondre : alors , les deux circonférences serontconcentriques (n® 1S8) ; elles se confondraient même, si de plus leurs rayons étaient égaux.

Les cinq positions relatives que nous venons d^énumérer sont évidemment les seules vraiment différentes que les deux cercles paissent avoir ; car, si la limitQ GG' venait passer au point A, puis à Si gauche, on retomberait sur les circonstances déjà examinées.

Ceci admis y on comprendra facilement les propositions sui7 vantes :