AE : EB

je dis que les deux autres segments CF, FD , SoUt aussi dans le même rapport.

Pour le prouver, concevons la droite entière AB divisée en (7+ 1 1} ou 18 parties égales , et menons par les points de division des parallèles à BD : la droite CD se trouvera elle-même divisée en 18 parties égales (n^ iBl), dont 7 seront coinfeenues dans CF, ei 1 1 dans FD. On a donc également

CF : FD :: 7 : n.

Maintenant, soient AE, EB, incommensurables entre eux; et désignons (n** 118) par —, —7, — ;r,..., les valeurs approchées successives du rapport de AE à EB. Nous allons prouver que ces mêmes nombres sont aussi , au même degré d'approximation , les valeurs approchées successives du rapport de CF à FD : et alors la proposition sera démontrée généralement.

Divisons le segment B£ en n parties égales , et portons Tune de ces parties m fois sur le segment EA ; puis , par tous les points

LIGNES PROIKIRTIOXNK^LES. l45

de division , menons des parallèles à BD. — Comme y par hypo*

thèse, le rapport de A£ à £B , est compris entre — et / il

s'ensuit que le segment £A , outre les m parties qui ont été portées, contient un reste moindre que chaque partie. *^ Dé ihéraey en ooDsidérant la droite CD, on a , sur DF, n parties égales (n® 181), et sur FC, m de ces parties, avec un reste qui doit être nécessairement moindre que chaque partie; d'où il résulte que le ^rapport

ocCF a FD est compris entre — et j ce qui prouve .que

- représente les rapports de AE à £B, et de GF à FD, avec le

même degré d'aq>proximation.

Un raisonnement analogue s'appliquerait aux autreffc nombres,

mm

~7, — y , . . . — Donc , etc.

fi n

THCoaiME m. {Pig- 123.) Fie. ia3.

iV^ i8S. — Dans un triangle quelconque, ABC, toute droite, Wa ^ mer '^ parallèlement à l'un des côtés, BC, divise les deux Autres côtés en parties directement proportionnelles ; — [c'est-à-dire que Ton a ,