MV. TI. CHAP. T. — § II

§ IL — Caractères et propriétés des figures semblables,

N<^ 186. — Notions préliminaires. — Il n'est personne qui n ait une idée de la similitude ou de la ressemblance : ainsi, par les mots figures semblables , tout le monde entend sur-le-champ deuv figures dont Tune est en petit ce que Tautre est en grand ^ c'est-àdire deux figures telles .qu'il n*est aucun point de Tune qui n'ait dans Fautre son correspondant, ou , comme on s'exprime en 0> métrie, son homologue; de sorte que si, par la pensée , on mène de toutes les manières possibles des droites qui lient deux à deux tous les points de la première figure, puis, que l'on exécute la même opération pour la seconde figure, les rapports numériques de chaque couple de lignes homologues seront tous égaux entre eux. — Ce rapport commun se nomme le rapport de similitude des deux figures.

Or, comme la théorie suivante le fera voir, toutes ces conditions, qui paraissent être en nombre infini, se réduisent et pendant , en définitive , à un petit nombre de conditions réellement difTérentes. — On conçoit , en effet , que la détermination complète d'une figure d'une espèce donnée, se ramenant toujours [ainsi qu'on Ta vu dans le second paragraphe du chapitre précf^dent] à la détermination de certaines lignes principales desqudleâ dépendent toutes les autres , il doit en résulter que le nombre dei rapports dont il est nécessaire d'établir Tégalité , n'est autre que k nombre même de ces lignes principales.

D'après cette considération, et vu l'impossibilité de s'assura directement si toutes les lignes correspondantes que Ton peu concevoir dans deux figures, sont proportionnelles , on adopta d'abord une définition géométrique restreinte et purement convrn tionnelle, qui ne poite que sur les éléments nécessaires à la dêter mination de chaque figure, et cela d'abord pouf les triangles ensuite pour les polygones quelconques , sauf à montrer plus tar que les figures qui satisfont à cette définition sont semblables dau le sens général indiqué plus haut.

riGlTRKS SEMBLABLES. l^€^

A» J87. — Cela posé, un triangle élant délermiaé par ses tiois côtés (n® ^GO)y nous dirons que

Deux inangles, ABC, A'B'C {J!g, 124 )» ^^'«^ semblables iors- ^''^ 124 quUs ont les céiés proportionnels ; — c'est-à-dire lorsqu'on a

AB : A'B' :: ac : a'C :: BC : b'C

Ensuite, tous les polygones étant décomposables en triangles y et de plus , un polygone étant déterminé quand on connaît un assemblage de triangles qui le composent , il s'ensuit que

Deux polygones sont semblables lorsqu'ils peuvent se décomposer [d'une manière quelconque (n'* 83)] en un même nombre de triangles semblables chaeun à chacun, et assemblés de la même manière; — cette dernière expression devant être prise dans le nicme sens qu'au numéro 99.

Telle est la définition géométrique des polygones semblables , rétluiie aux seules conditions strictement nécessaires; et il s*ensuit qne la théorie de la similitude des figures planes quelconques se nmène entièrement et dans tous les cas , à celle des triangles semblables. .

N» i88. — Nous avons défini plus haut (n** 186) les points homo- ^§ues, en nous contentant de dire que l'on nommait ainsi les points correspondants; et cette définition est suffisamment intellip\Àe, Cependant , pour mettre plus de rigueur dans nos expres- Âons, nous devons donner aussi une définition géométrique du ttiai homologue , employé soit pour les points, soit pour les lignes, s«t pour les angles.

D'abord , pour les triangles , les côtés homologues sont ceux dont le rapport n'est autre que le rapport de similitude ( n® 1 86 ) ^ deux triangles. — Ainsi , dans les triangles semblables ABC , ^^^ iJ^* * ^4 ) , comme on a , par hypothèse , Fk. i ?1

AB : A'B' :: AC : a'C :: bc : b'C,

^ cùiés AB , A'B' sont des côtés homologues; et il en est de niènie d« côtés AC, A'C, et des côtés BC, B'C'.

Maintenant, pour les polygones ,

»** — Les CÔTÉS HOMOiiOGUES soDt dcs côtés homologues des dif-

l5o LIV. II. — CHAP. l. — § II.

férents triangles semblables qui composent ces polygones , d*après la définition ( n« 187);

a^ — Les SOMMETS homologues sont les sommets comanins à des couples de côtés homologues;

3® — Les ANGLES HOMOLOGUES sout ceux .que forment des couples de côtés homologues;

4** — Les DIAGONALES HOMOLOGUES sont celles qui joignent des sommet^ homologues;

5^ — Généralement , on donne le nom de points homologues à des points placés de la même manière sur les plans des deux polygones y c'est-à-dire des points liés à des côtés homologues par des triangles semblables [et pareDlement disposés] ;

go — Enfin, on nomme lignes homologues les droites qui joignent des couples de points homologues quelconques.

r)^ 189. — H est facile de conclure des principes établis cidessus , que l'égalité des polygones n'est qu'un cas particulier de leur similitude; et cette proposition sera prouvée généralement, si on peut la démontrer pour deux triangles. Or, en reprenant U FiG. za4. relation posée plus haut (n® iS7 y J!g. 124}»

^ AB : A'B' :: AC : A'C :: bc : b'C,

si Ton y fait AB = A'B', on en tire aussi AC = A'C, BC = B'C; donc alors les deux triangles sont égaux entre eux , comme ayant les côtés égaux chacun à chacun.

Ainsi — Deux triangles, — et par suite — deux polygones semblables y sont égaux lorsqu'ils ont un côté homologue égal*

On peut encore voir facilement que

Deux triangles, ABC, MWGy semblables à un troisième, A'^B'^C, sont semblables entre eux.

Car, des deux relations supposées ,