AB^ A€ BC AV "" A'C ~ B'C

àoDc les deux triangles ABC, A^B'C, sont semblables.

Donc aussi y d'après la définition (n° i87}|

Deux polygones semblables, à un troisième sont semblables entre eux,

N** 190. — Enfin, pour fiiciliter Tétude des propriétés des figures semblables, nous supposerons que les deux polygones aient été disposés dans leur plan, de manière que deux eôtés homologues soient parallèles et de même sens} ce qui est toujours permis d'après le leoune établi au n* 6ft. Par op moyen , les points , les lignes, les angles Ao/noio^u^x se trouveront naturellement disposés de la même manière dans les deux polygones. .

Commençons par les triangles.

Propriétés des triangles semblables.

Lehme. {Fi g, 125.) Fie. laS.

N° 191. — Toute droite DE, menée parallèlement à l'un des côtés d'un triçngle ABC, détermine un second triangle ADE semhlnhle au premier ;

[c'est-à-<<Ure que Ton a.

AB : AD :: AC : AE :: BC : be].

£o effet , puisque DE esi parallèle à BC , on a d'abord (n<» IM ,

iCOl.l)y

AB : AD :: AG : ae.

Traçons ensuite EF parallèle à AB i on a [même scol. )

AC : AE :: bç : bf ou de;

donc , en formant une seule suite dje rapports égaux ,

AB : AD :: AC : ae :: BC : de.

l52 MV. II. — ^CHAP. I. ^ § II.

Fie. 134- THÉo&iME I. {Fig. ia4*)

^o 199^ . j)ggtjp triangles semblables ABC, A'B'C [c est-àdire qui ont les côtés proportionnels ] , ont leurs angles homologues égaux chacun à chacun.

Prenons sur AB une partie AB " = A' B ', et menons B^C parallèle à BC;1es deux triangles A'B'C, AB^'C, étant, chacun , semblables à ABC, l'un par hypothèse , Tautre en vertu du lemme précédent, sont semblables entne eux (n® 188) ; et comme on a, par construcdon , AB" = A'B% ces mêmes triangles sont égaux { (même n^)« Or, à cause du parallélisme des droites BC, B^C^, les I angles du triangle AB'^C^ sont , chacun à chacun , égaux anx ' ;ipgles du triangle ABC^ c'est-à-dire que Ton a, l'angle A oomaron , B'' = B , €"== C; donc aussi

N, B. — On voit, par la nature même de la démonstration , que les angles égaux dans les deux triangles , sont opposés à des c^iés homologues,

Fio. 124. THÉoaèME II. [Fig, \i^>)

N® 189. — Réciproquement :~^/>crf4J7//vtf/>^/€r5^ ABC, A'B'C, qui ont les angles égaux chacun à chacun^ sont semblables; — et les côtés opposés aux angles égaux sont des côtés homologues.

Soient A = A', B = B', C = Ç'. Prenons, comme ci-dessus, AB'' =r A'B', puis menons B"C" parallèle à BC. — Les deux triangles A'B'C, ABf^Cf\ sont égaux cpmme ayant un côté égal, A'B' =: AB'', adjacent à des angles égaux chacun à chacun, savoir : A' = A, B' r= B =t: B". Or, le triangle AB^C" est semblable au triangle ABC ( n** 181) ; donc aussi les deux triangles A'B'C, ABC , sont semblables ; et l'on a la suite de rapports égaux

AB : A'B' :: AC : a'C :: bc : B'C.

N. B, — Les côtés homologues AB et A'B', AC et A'C, BC etB'C, son| , comme on la voit, opposés k des angles égaux Ç'= C, B' = B, A' = A.

P&OPllU&TÉS DES TaiA3iGl.ES SEMBLABLES. l53

Théoekme III. ( Sans figure. )

N* 194. — Detix triangles sont semblables lorsque les côtés de Vuii sont parallèles ou perpendiculaires aux côtés de l'autre y cha-^ cun à chacun; — et les côtés homologues sont les côtés parallèles ou perpendiculaires*

D'après le théorème précédent , tout se réduit à prouver que ces triangles ont les angles égaux chacun à chacun.

Soient AB et A'B', AC et A'C, BC et B'C, respectivement parallèles ou perpendiculaires; je dis que l'on doit avoir

C =: G 9 B = B ) A ^sz A .

£a efîet, nous savons déjà (n*^70} que les angles C et C, BetB^, A et A', ne peuvent être qu'égaux ou supplémentaires. Or, en premier lieu , on ne saurait admettre que les 5/a: angles soient supplémentaires deux à deux ; car alors on aurait

A -h A' -+- B-+-B'-t-C4-C' = 6 droits,

ce qui est absurde (n**tftf).

On ne peut admettre non plus que quatre angles seulement , par exemple y Aet A% B et B% soient supplémentaires deux à deux, car il en résulterait

A-f-A'4-B-hB':^4 ^^'^^9

ce qni est également absurde.

11 faut donc nécessairenfent que deux angles au moins du premier triangle soient égaux à deux angles du second y chacun à chacun ; et par conséquent ( n** tttt ) que le troisième angle du premier triangle soit égal au troisième angle du second. Ainsi l'on a

A = Af B = B', C == C; d'où (n^ 195) la suite de rapports égaux ,

BC : B'C :: AC : A'C :: ab : a'B'.

if. B. — Les côtés homologues BC et B'C% ACetA'C, ABet k'B'j sont les côtés parallèles ou perpendiculaires entre eux.

l54 LIV. II. — GHAP. I. — $ U.

Fm. ia4 THitoaiME IV. (/^'^. 124.}

N<* 195. —Deux triangles, ABC, A'BX', sont semblabla lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels. Supposant que Ton ait

A = A', et AB : A'B' :: AC : A'C%

prenons sur AB, AC, deux parties AB''= A' B', AC'' = A'C'; puis , tirons la droite B'' C. Les deux triangles A'B'C, AB'C^, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. Or on a, par hypothèse , AB : A'B' : : AC : A'C, et par conséquent , AB : AB'^ : : AC : KC" ; donc (n<* 185, récip.) B''C'' est parallèle à BC; et le triangle AB^'C^ est semblable à ABC (n« 191); donc aussi MWC est semblable à ABC.

ScoLiE. — Les quatre théorèmes qui précèdent constituent le& cas principaux de la similitude des triangles. — U en est encore un autre qui correspond au quatrième cas d'égalité ( n^ 159) , et qu'on peut énoncer ainsi :

Deux triangles sont semblables lorsque deux cités de I'um sont proportionnels à deux côtés de l'autre , et que , des quatre angles respectivement opposés à ces côtés , deux sont égaux., et les deux autres sont de même espèce.

Mais ce cas se présente rarement dans les applications.

Des polygones semblables, Fio. ia6. THéoAiME V. {Fig. 126.)

N^" 196. -^ Deux polygones semblables, ABGDEF, A'B'C^D'rr, ont les côtés homologues proportionnels , et les angles homoiogucs égaux chacun à chacun.

Car, — 1° — de la similitude des triangles ABC et A'B'C, ACD et AX'D', ADE et A'D'£^..., on déduit les suites de rapports égaux,