CD

AD : AD' :: ae : a'E' :: de :

DIS POLTGOmB SEMBLABLES. l55

on y omettani les rapports communs à ces suites,

AB : a'b; :: bc : b'C :: cd : c'd' :: de : d'E' ::

2® — De cette même similitude , on déduit l'égalité des angles da triangles (n** 199) , et par suite celle des angles respectifs des deux polygones , angles qui ne sont que des assemblages d*angles partiels égaux chacun à chacun : [par exemple ,

DCB = D'C'B', puisque ACB = A'C'B% ACD = A'C'D'].

Ainsi Ton a A = A', B = B', C = C, D = D',.... ;

N* 197. SooL». — Nous ferons ici deux remarques importantes :

\jdL première , c'est que, dans le cas où , comme nous Tavons supposé, deux côtés homologues, AB, A^B% sont parallèles et de même sens, tous les autres câtés homologuesBCel B' C, CD et G' D \ DE et D'E',... sont Aussi parallèles et de même sens; et il en est de même des diagonales homologues AC et A'C% AD et A'D',...

(Test une conséquence nécessaire de Pégalité des angles homo^ loçues dans les deux polygones et dans les différents triangles. ; Vofez d^aDleurs ce qui a été dit au n*' 65t.}

La seconde remarque , c'est que la démonstration exposée plus hant n'est pas particulière au mode de décomposition employé dans la figure actuelle ; mais elle s'appliquerait également à tout aatre mode de décomposition des deux polygones en triangles. (r<>;r«n«85.)

TnioaiMB VI. {Fig. 126.) P^ ^^

N<* 198. Réciproquement : — Deux polygones sont semblables lorsqu'ils ont les edtés [disposés dans le même ordre] proportionfffls, et les angles [aussi disposés dans le même ordre] égaux chacun à chacun ; c'est-à-dire lorsque Ton a

AB : A'B' :: bc : B'C :: CD : CD' ::

l56 LIV. II. CHAP. 1. -^ § II.

[L*expression disposés dans le même ordre offrira un sens net à l'esprit si Ton observe que , les deux côtés AB, A^B% étant mis dans la position de deux droites parallèles et de même sens (n° 190) y tous les côtés supposés proportionnels sont nécessairement parallèles et de même sens ; ce qui doit résulter de ré|;alité supposée des angles A et A^ B.et B', ....]

Pour démontrer la proposition , concevons les deux polygones décomposés en triangles par des droites menées des sommets de deux angles égaux , A et A^ — On a d*abord deux triangles , ABC, A'B'C, semblables entre eux (n° t9iSj, comme ayant un angle égal , B = B'y compris entre côtés proportionnek , AB, A'B^, BC , B'C; d*où il résulte

angle h£S^z=: ançle kÇlW , et AC : A'C :: BC : B'C, ou^en vertu de renoncé 9 AC : A'C :: CD : CD'.

Maintenant, si Ton compare les deux triantes ACD, A'CD', on voit que les angles ACD, A'C D^ sont égaux comme diffcrences entre des angles égaux , BCD et B'C D% ACB et A'C D' ; de plus ,

on a AC : A'C :: CD : CD',

comme on vient de le voir. Donc ces triangles sont encore seinbables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; et ainsi de suite pour tous les couples de triangles, A DE et A'D'E', AEFet A'E'F'.

Donc enfin les deux polygones sont semblables (n® 187).

Fie. 127. TniioEÈME VIL [Fig, 127.)

N** 199. — Dans deux polygones semblables , les lignes honu>logues sont proportionnelles aux côtes homologues.

Soient PQ , P'Q', deux droites menées par des points homologues F et P', Q et Q'.

Diaprés la définition des lignes homologues (n'^ t8B), les points P et P', Q et Q', sont liés à deux côtés homologues [AB et A' B' par exemple], par deux couples de triangles semblables et dis|M>sés de la même manière , PAB et P'A' B', QAB et Q'A'B' ; d où Ton

DKS POLTGOKCS SCMBLABLBS. . iS*]

peut ooBchire » comme dans le numéro précédent , la similitude des deux triangles PBQ, P'B'Q', et par suite la proportion

PQiFQ' :: BP: b'p',

ou, à cause de BP : B'P' :: AB : A'B',

PQrP'Q' :: AB: A'B';

ScoLiB I. — Comme cas particulier du théorème précédent , prenons sur les côtés homologues AF et A' F', BC et B'C, deux points, M , M , qui divisent ces droites en parties [directement] proportionnellesy c'est-à-dire telles que Ton ait

AM : A'M' :: AF : A'F' et BN : B'N' :: BC ; B'C;

les points M et M\ N et N'y formeront encore deux couples de points homologues ; et je dis que Ton a