A'B' = B'C = CD' = D'E

ScouB II. — Si , dans les premières suites de rapports établies au commencement de ce numéro, l'on ne tient compte que des rapports extrêmes , on est conduit à la nouvelle suite

PA : PA' :: PB : PB' :: PC : PC :: pd : Piy :: . . .,

ou bien (n^ 184)

PA' : AA' :: pb' : bb' :: PC : ce :: Piy : Diy :: ... ;

ce qui démontre que

Des droites PA, PB, PC, PD, . . . , en nombre quelconque , partant d'un même point P, sont coupées elles-mêmes en parties proportionnelles par deux droites, AL, AL', parallèles entre elles ; — proposition dont celle du numéro 185 n'est qu'un cas particulier.

Fie. i3o. TnioaiME II. (Fig. x3o.)

N® 902. — Dans tout triangle ÀBC, la bissectrice AD de chaque angle A diçise le côté opposé BC en deux segments BD, DC, eli^

BE : CF :: bd : dc;

AB : AC :: bd: DC;

liZONKS PBOPOBTIONNELLES. l6l

mtement proportionnels aux côtés adjacents; — et réciproquement,

II VLj a lieu à démontrer la proposition que dans le cas où les deux côtés AB , AC , sont inégaux , et où , par conséquent , AD est oblique sur BC {voyez le n^ 61).

Dans cette hypoUiése, abaissons des sommets B, C, sur AD, la perpendiculaires BE , CF. — Il en résulte deux triangles ABE , ACF, semblables comme équiangles (n^ 193) ; d*où la proportion

AB : AC :: be : cf.

Mais les deux triangles BDE, CDF, sont aussi semblables par la même raison , et donnent

donc

La réciproque est évidente (n® fii), puisqu'il n*y a qu'une seale droite qui , menée du point A sur BC , puisse diviser BC en deux parties qui soient entre elles dans le rapport donné, AB : AC.

ScoLix I. — La bissectrice, AD', de l'angle B'AC supplémentaire de Tangle A , c'est-à-dire (n** 43 , scol. 3) la perpendiculaire à la bissectrice AD, détermine aussi sur le côté BC prolongé , deux segments BD', CD', tels que l'on a la proportion

AB:AC ::BD' tCD';

iJ soiHrair, pour le démontrer, d'abaisser des mêmes points B, C, des perpendiculaires sur AIV ; et l'on trouverait successi- Tement

AB : AC :: be' : CF', be' : cf' :: bd' : CD';

d'où la proportion qui vient d'être énoncée.

ScouK n. — Des deux proportions démontrées, on dre la suivante :