BD : CD :: BD' : CD

et la droite BC est dite diinsée harmonkquemcnt aux points D et D'.

iGa LIV. II. — CMAP. I — § ui.

Nous reviendrons plus loin sur la division harmonique des lignes.

FiG. i3i. TBÏoaÈME m. {Fig, i3i.)

N** 805. — Si du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC, on abaisse une perpendiculaire AD sur l'hypoténuse, cette perpendiculaire partagera le triangle total en deux triangles partiels également rectangles , et l'hypoténuse en deux segments;

— Cela posé :

i® — Les deux triangles partiels , ABD, ACD, sont semblables

au triangle total, et par conséquent (n® 189) semblables entre eux;

tP — Les lignes étant supposées évaluées en nombres (n** 185],

— La perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre la deux segments y BD, Cù^de l* hypoténuse;

3** — Chaque côté de l'angle droit, AB ou AC , est moyen proportionnel entre le segment adjacent de l'hypoténuse, BD ou DC, €t l'hypoténuse entière BC.

En effet , — i^ — Les triangles ABC, ABD , ont un angle commun By et chacun un angle droit; donc ils sont semblaUes (n**i9S). Il eu est de même des triangles ACB, ACD; donc ces triangles sont aussi semblables entre eux. — On peut même remarquer que ces triangles partiels ont leurs càiès perpendiculaires chacun à chacun ; ce qui rendra plus facile la comparaison de leurs c6tés homologues (n^ 194).

7,^ — Comparant entre eux les triangles partiels ABD, ACD, et profitant de la remarque qui vient d'être faite , on a

BD : AD :: ad : dc.

3® — Comparant le triangle total ABC avec le triangle partiel ABD, observant que, dans ces triangles, BC et AB sont homologues comme hypoténuses , que AB et BD sont aussi homologues comme opposés à des angles égaux , BCA , BAD , on obtient la proportion

BC : AB :: AB : bd.

La comparaison des triangles ABC, ACD, donnerait également

BC : AC :: ac : dc.

RELATIONS SHTRE LES COTÉS D*UIff TRIANGLE. lG3

N. B — Ces mêmes trianglesy comparés deux à deax , donnent lieu à d'autres proportions qui sont rarement employées, mais qu'on peut y au besoin, obtenir Êunlement.

Les réciproques sont vraies; et nous nous bornerons à citer la suivante :

Lorsque laperpendicuUùre AD, abaissée du, sommet A de l'un des angles d'un triangle ABC sur le côté opposé "^j est moyenne pfO' poFtionnelle entre les deux segments de ce côté [déterminés par ]a perpendiculaire], l'angle formé par les deux autres côtés est dkoit^ et le triangle est rectangle en A.

En effet , de la proportion supposée

BD : AD :: AD : dc,

on déduit la similitude des triangles rectangles ADB , ADC, comme ayant un angle égal en D, compris entre côtés proportionnels n^lW); œ qui donne alors

angle BAD = angle ACD , et angleABD = angle CAD.

Mais on a BAD + ABD = i droit{B9 M);

donc ansti BAD + CAD = i droit.

Ainsi le triangle ABC est rectangle en A.

THioEÈME IV. {Flg. i3x.) Fie. i3i.

N*904. — Dans un triangle rectangle àSC^ lecarré[ ou la deuxième

puissance] de la valeur numérique de l'hypoténuse , BC , est égal à

ia somme des carrés des valeurs numériques des deux autres côtés.

Cette proposition résulte presque immédiatement de la troisième

du numéro précédent. On a , en efTet ,