AB» = BC X BD, AC* = BC X DC

d'où, en ajoutant, membre à membre,

AB« -h AC» = BC (BD -f- DC) = BC X BC,

donc AB> 4- AC» = BC";

l64 LIV. II. — CHAP. I. — § Itl.

GoEOLLAi&E. — Lorsque AB =: AC, on a BG* = 2AB'; donc

Dans tout triangle rectangle hoscèle, le carré de l'hypoténuse [ou de la base du triangle] est double du carré de l'un des c6ié$ de l'angle droit.

Par conséquent , — La deuxième puissance de la yalear numérique de la diagonale d'un carré, est double de celle du c6té.

Donc — La diagonale et le c6té du carré [étant dans le rapport

de ^ à i] sont incommensurables entre eux. Scous I. — Des deux relations

AB» = BC X BD, AC» = BC X DC, on déduit la proportion

AB»: AC» :: bcxbd : BCx DC, ou :: bd : dc.

De même , l'identité BC = BG% combinée avec les deux reb^ tions ci-dessus , donne

BC» : AB» :: BC X BC : BC X BD, ou :: bc : bd et BC» : AC» :: bc x bc : bc x dc, ou :: bc : dc.

D'où l'on voit que

Dans tout triangle rectangle, les carrés [ou deuxièmes puissances] des côtés de l'angle droit et de V hypoténuse , sont directement proportionnels aux segments de cette hypoténuse et à Vhypoténuse entière; — [c'est-à-dire que Von a (n^ SOI, scol.)

AB» : AC» : BC» :: BD : DC : bc].

N^ SOK. — ScouE II. — Les segments BD,DC, formés par la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse BC , sont dits les projections des deux côtés de l'angle droit AB, AC, sur cette hypoténuse. — En général, la peojection d'une droite déterminée de lon- FiG. iSa.gueur, MN (^^g". 182) , sur une droite indéfinie AB, est la di^ stance PQ des pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de la première sur la seconde.

En menant par le point M, la droite MR parallèle à PQ, ce qui

RELATIONS KNTRB LBS g6tÉS dW TRUNGLE. i65

donne MR = PQ (n* 78) , on forme un triangle rectangle MNR dans lequel on a , en vertu du théorème précédent ,

MN» = MR» -h NR» = PQ» -f- (NQ — MP)».

Donc — La carré d'une droite [ de longueur déterminée ] est égal au carré de sa projection sur une autre droite , plus le, carré de la différence des perpendiculaires qui déterminent cette pro* jection,

THio»4« V. {Ftg. .33.) p,^ ,33

N» 206. — Dans un triangle obtusangle ABC , le carré du côté BC opposé à l'angle obtus A , est égal à la somme des carrés des deux autres côtés y pu» le double produit de l'un de ces deux côtés ^ AB par exemple, par la projection AD de l'autre côté AC sur le prolongement du précédent; — c*est-à-dire que l'on a

BC» = AB» 4- AC» 4- aAB X AD.

En effet , le triangle BCD donne d'abord

BC» = CD» -Jf BD».

Onaensoite BD = AB + AD,

d'oùy élevant au carré ,

BD» = AB» -H AD» -h 2AB X AD {*).

Substitoant cette valeur de BD » dans la première égalité , et ohienrant que le triangle rectangle ACD donne CD » + AD » = AC »,

oa obtient BC» = AB» -h AC» -I- aAB X AD;

THiOEiME VI. [Fig. i34.) j,^^ ^j,

Dans un triangle quelconque ABC, le carré de chaque côté BC opposé à un angle aigu A , est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins le double produit de l'un de ces deux côtés ,

(^ D^prèi la fonnale â^alg^re (p-{-4)* = f » -4- v» + a/^.

l66 LIV. II. CHAP. I. — § III.

AB, par la projection AD de l'autre c6té AC sur le précédent AB l prolongé si cela est nécessaire (n* 87) ]. En effet , on a , comme ci-dessus ,

BC» = CD» -f- BD».

Maintenant , suivant que la perpendiculaire CD tombe au dedans ou au dehors du triangle ABC , on a

BD = AB ~ AD, ou bien BD = AD — AB;

mais dans un cas comme dans Tautre, on obtient , en élevant au

carré (*), BD* = AB» -h AD' — 2AB X AD;

d'où , en substituant comme précédemment dans la première égalité, BC» = AB» -h AC» — 2AB X AD.

N, B. — Cette égalité a toujours lieu , même quand la perpen- Fie. 134. diculaire CD se confond avec le côté CB (Jlg, x34); car alors, es vertu de AD = AB, l'égalité se réduit à

BC» = AC» — AB», ou AC» = BC» -H AB»;

et elle est encore vraie (n® S<M ) , puisque le triangle ABC est rectangle en B.

ScoLiB I. — On peut comprendre les deux théorèmes ci-dessus dans un seul et même énoncé :

Dans tout triangle ohliquangU , le carré d'un côté quelconque est égala la somme des carrés des deux autres côtés, plvs ou MOINS le double produit de l'un de ces deux côtés par la projection de l'autre sur celui-ci , suivant que l'angle opposé jau cSte que l'on compare aux deux autres, est obtus ou àiod.

Sgolie n. — D'après le principe du numéro Si, un triangle est rectangle, acutangle, ou obtusangle, suivant que le carré du plos grand côté est égal, inférieur, ou supérieur, à la somme des carrés des deux autres côtés.

(*] D'après la formule ^ algèbre (^ — 9)' =:p'-H<7* — a;*f.