RELATIONS KNTRE LUS COTES D^UR TRIANGLE

Soient, par exemple, i« AB = 3, AC = 4> BC = 5;.... 3' -h 4" = 5»; donc le triangle est rectangle [en A].

2* AB = a, AC = 3, BC = 4î •• 2" H- 3' < 4»; donc le triangle est obtusangle.

3« AB = 4, AC = 5, BC = 6;.... 4» + 5» >6»; donc le triangle est acutangle.

4" AB =5, AC=i2, BC=i3;.... 5>-hi2*=i3';

donc encore le triangle est rectangle, etc.

[Fojrn le n? 94, où l'on a donné un autre moyen de reconnaître Vespèee d'un triangle.]

THioaiMS VI. {Fig. i35.) Fio. i35.

N^907. — Dans un triangle quelconque ABC , la somme des carrés de deux côtés quelconques AC , BC , est égale au double du carré de la moitié du troisième côté BC, plus le double du carré de la droite AD qui Joint le milieu D de ce côté au sommet opposé C.

Abaissons du point C la perpendiculaire CE sur AB.

Les deux triangles ADC, CDB , Tun obtusangle , l'autre acutan- ^ en D , donnent (n^ 906),

AC» = AD> -+- CD' -h 2AD X DE , BC" = BD> -f- CD» — 2DB X DEj

ou , ajoutant et observant que AD == DB ,

AC» -h BC» = 2AD» -h 2CD»;

N, B. — Lorsque CA = CB (n'' 204 , coroL) , la proposition est évidente.

ComoLLAiEB. — Dans tout parallélogramme la somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des diagonales; cette conséquence est trop fadle à déduire du théorème précédent pour que nous nous y arrêtions.

l68 LIV. II. CHAP. I. § IV,

Plus généralement : — Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales, plus quatre fois le carré de la droite qui Joint les milieux de ces diagonales (Proposition à démontrer).

§ IV. — Détermination des aires.

IV** 208. — Définitions et notions préliminaires. — Dans Tévahiation des surfaces, on convient d*appeler basss à^nnï parallélogramme deux des côtés parallèles ; la hautkue est alors la perpendiculaire commune aux deux bases , dont l'une est dite la base inférieure et Tautre la base supérieure (voir la remarque du n« 147).

Dans le rectangle, deux côtés consécutifs quelconques formeot la base et la hauteur ; — on peut prendre indifféremment pour base le plus grand côté ou le plus petit.

Dans le carré, la base et la hauteur sont égales.

De même , on nomme base d*un triangle un quelconque de ses côtés ; sa hauteur est alors la perpendiculaire abaissée fur ce côté, du sommet opposé.

N** 209. -^ Uaire d*une surface, ou son étendue superficielle , est, comme noits Pavons déjà dit (n** 3), le rapport numérique de cette surface ^ son unité. Or, o^ conçoit facilement que des figures déformes très-différentes peuvent néanmoins avoir la même étendue superficielle.

Fie. 54. Ainsi, par exemple, dans la figure 54» relative au théorème du numéro 81, comme on a démontré Tégalité des deux triangles BFG, DFH , il s'ensuit que le parallélogramme ÀGHG a la même étendue superficielle que le trapèze ABDG.

Pour exprimer cette propriété de deux figures qui ont même étendue , ou même aire, sans cependant être égales ou superpo-

FiG. 54. sables f on dit qu^elles sont équivalentes. — Dans \a figure Si, le parallélogramme AGHC et le trapèze ABDC sont équivalents : ils sont composés d^une partie commune , AGFDC y et de deux triangles égaux , BGF, DFH , mais réunis à la partie commune

DÉTERMUfATION DES AIEES. 169

par des angles différents , GFB , FDH y ce qui fait voir pourquoi ib ne sont pas superposables.

Ainsi y deux polygones composés d'un même nombre de triangles égaux, maïs non assemblés de la même manière, sont équivalents comme formés par l'assemblage de figures égales et superposables chacune à chacune.

Un polygone quelconque peut être équipaient à un triangle, ou même à un carré,

y 810. — Maintenant, il est facile de reconnûtre, d'après la théorie des triangles égaux , que

Deux parallélogrammes quelconques de même base et de même katueur sont équivalents.

En effet, comme nous pouvons toujours supposer les deux %ure$ placées Tune sur l'autre de manière que leurs bases inférieures coïncident, soient ABCD (Jig. i36) le premier parallélo- Fio. i36. gramme, et ABEF [ou ABE'F'] le second: ces parallélogrammes auront nécessairement leurs bases supérieures , CD , £F [ou E' F'] , situées sur une même droite indéfinie , LL^ parallèle à la base inférieure, puisque, par hypothèse, ils ont aussi même hauteur.

Cela posé, en ne considérant que les parallélogrammes ABCD, AfiEF, nous voyons d'abord que les deux triangles ADF, BCE , sont égaux comme ayant un angle égal [DAF = CB£ (n** X9)] compris entre côtés égaux [AD = BC, AF = BE (n<> 78)]. Mais si du quadrilatère ABED nous retranchons alternativement les <ieux triangles ADF, CBE, ce qui doit donner deux restes égaux ^ sur&ce , nous obtenons, d'une part le parallélogramme ABEF, <le l'antre le parallélogramme ABDC. — Donc ces deux parallélûgrammes sont équivalents.

On prouverait de la même manière que ABCD, AB£'F% sont «jnivalents.

Gomme cas particuliei^s, — i° — Un parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hauteur;

3^ — Deux rectangles de même base et de même hauteur sont ^^fiux , et par conséquent équivalents.

l^O LIV. II. — CHAP. I. — § IV.

N^ fit I . — Un triangle quelconque est la moitié d'un paralltLgramme [ou d^un rectangle] de même base et de même hauteur. Fio. 137. Car, si par les sommets B et C du triangle ABC {fig. 137), os mène BD, CD 9 parallèles aux côtés AC, AB, respectivement opposés, on forme ainsi un parallélogranuiie , ABDC, dont ABC n'est que la moitié (n^ 79) ; donc, etc.

Conséquemment aussi : — Deux triangles àe même base et de même hauteur sont équivalents , comme moitiés de paraUékh grammes équivalents.

Ainsiy tous les triangles CAB, C'AB, G^AB, G*AB, . . ., qui ont même base AB, et leurs sommets C, C^ C, C,. . . situés sor une même droite parallèle à AB , sont équivalents , conojne ayant | CH pour hauteur commune.

Ces premières notions étant établies , nous pouvons passer à Yéçaluation des différentes sortes de surfaces.

^»«' '38. Lemme. {Fig. i38.)

Pï® lilS. — Dtfiur rectangles ABCD, A'B'C'IV, de même base [AB = A^B'] sont proportionnels à leurs hauteurs, AD, A'D'; — [c'est-à-dire que l'on a