ABCD : A'B'C'D' :: AD : A'D

En effet, supposons d'abord que les hauteurs soient commensurables entre elles, et dans le rapport i3 : 7 par exemple; j« dis que les rectangles sont aussi dans le même rapport.

Portons la commune mesure i3 fois sur AD et 7 fois sur A'I^; puis menons par les points de division , des parallèles aux bases AB, A'B'; nous obtiendrons ainsi, dans le premier rectangle, i3 rectangles partiels, et dans le second, 7. Or, tous ces rectangles sont égaux entre eux (n** 210) comme ayant même base et même hauteur; donc le rapport de ABCD à A'B'C'D^ est aussi i3 : 7-

Quant au cas de deux hauteurs incommensurables entre elles, le moyen de démonstration est tout à fait analogue à celui des numéros 118 et 18&:

Il suffit de prouver que chacune, des valeurs approchées.

oiTE&MIÏfATIOR DES AIEVS. I7I

-, -^,... du rapport de AD à A! D'y exprime avec le même degré n n

i'approximatioa celui de ABCD à A' B'C ly ; et pour cela, en divi-

ant d^abord A'IÏ enn parties égales , et portant l'une de ces parties

n fois sur AD, puis, menant par tous les points de division des

[Mrallèles à AB , A'B', on parvient à faire voir que le rapport des

ieux rectangles se trouve compris entre — et , etc.

N, B, — Gomme on peut (n** 908) prendre indifféremment la bauteur pour la base, et vice versd, il s'ensuit encore que

Deux rectangles de même hauteur sont proportionnels à leurs hases,

GotouLAiaB. — Deux rectangles quelconques , ÂBCD ^ AY,¥G [fis- i^}» sont proportionnels aux produits de leurs bases par kun hauteurs. Fig. iS^.

Plaçons d'abord les rectangles de manière quMls aient un angle commun A. Cela posé, soiti le point d'intersection de DG avec £F [prolongé s'il est nécessaire]; on aura d'abord, en comparant les deux rectangles ABGD, AEID, qui ont même hauteur AD,

ABCD : AEH) :: AB : A£;

puis les deux recUngles AEID , AEFG, qui ont même base A£ ,

AEID : AEFG :: AD : AG;

d'où, en multipliant ces proportions par ordre , et supprimant le bcleor commun AEID (vofez n^ i 8tt) ,