CHAP. I. — § IV

GoAOLiAïaE III. — Un polygone pouvant toujours se décomposer en un certain nombre de triangles (n^ 83) y il s'ensuit qne

La mesure ou Vaire d*un polygone quelconque est égale à k somme des aires de tous les triangles dont il est formé.

L'évaluation des diverses étendues superficielles se ramenant presque toujours à celle du triangle , il peut être utile de connaître plusieurs expressions de son aire. Nous démontrerons, en conséquence y les théorèmes suivants :

^^^' '4o- THioKKME m. {Fig. i4o.)

N» 1116. — L'aire d'un triangle, ABC , est égale à la moitié de produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit, , Soit O le centre du cercle inscrit (n^ 127). — Abaissons de co point les perpendiculaires OD, OE , OF, respectivement sur K^ côtés AB , BG , AG , et tirons les droites AO , BO , GO. Gela posé y on a évidemment

ABG = AOB H- GOB -h AOC; mais (no 91tf)

;,0B=^^><^, coB^BCXOE ^qç^ACxOF

donc , à cause de OD =r OE = OF,

AOB = (^■^^C+-^C)XQP. I

ScoLiB. — Désignons, pour abréger, par* l'aire du triangle, par a y b ^ c, les trois côtés, et par r le rayon du cerde inscrit; l'égalité ci-cTessus devient

expression facile à retenir, et qui, donnant d'ailleurs

conduit à cet autre théorème :

DÉTKRMINATION DES AIRES. 176

Le rayon du cercle inscrit à un triangle a pour valeur numérique le quotient du double de l'aire de ce triangle diçisé par son périmètre.

THioaiME IV. {Flg, i4i.) Fie. 141.

N" ttI7. — L'aire d'un triangle, ABC , est égale au quotient de la division du produit des trois côtés par le double du diamètre du cercle circonscrit.

Soit O' le centre du cercle circonscrit (n** 127) ; tirons le diamètre ClCyDf et la corde AD; soit, en outre, CH la hauteur du triangle.

Les deux triangles CAD, CHB, sont rectangles, l'un en A (d'' iS5} , Tautre en H ; de plus , les angles en D et en B sont égaux comme inscrits dans le même segment ADBG (n° 126). Ainsi , ces Criangies, ayant deux angles égaux, sont semblables (n° i95); et, en comparant leurs côtés homologues, on a

CD : CB :: AC : ch;

doù CH = CD '

is on a aussi (n** Sitf)